모듈 카테고리

Category of modules

대수학에서, 링 R이 주어지면, R보다 왼쪽 모듈들의 범주는 모든 물체가 R보다 왼쪽 모듈이고, 모든 형태는 왼쪽 R-모듈들 사이의 모든 모듈 동형성인 범주다.예를 들어, R이 정수 Z의 고리일 때, 그것은 아벨 그룹들의 범주와 같은 것이다.올바른 모듈의 범주는 유사한 방식으로 정의된다.

참고: 일부 저자는 모듈의 범주에 모듈 범주라는 용어를 사용한다.이 용어는 단일 범주 동작의 범주를 나타낼 수도 있기 때문에 모호할 수 있다.[1]

특성.

왼쪽과 오른쪽 모듈의 범주는 아벨의 범주다.이러한 범주에는 투영량과[2] 주입량이 충분하다.[3]미첼의 임베딩 정리는 모든 아벨의 범주가 모듈 범주의 완전한 하위 범주로 발생한다고 말한다.

투영 한계와 귀납 한계치는 좌우 모듈 범주에 존재한다.[4]

모듈 ⊗의 텐서 제품과 함께 정류 링 위에 있는 모듈의 범주는 대칭 단면체 범주다.

벡터 공간 범주

범주 K-벡트(일부 저자는 Vect를K 사용함)는 필드 K 위에 있는 모든 벡터 공간을 개체로, K-선형 맵은 형태론으로 가지고 있다.K 위의 벡터 공간(필드로서)은 K 위의 모듈과 동일하므로 K-Vect는 왼쪽 R-모듈의 범주인 R-Mod의 특수한 경우다.

선형대수의 많은 부분은 K-Vect의 설명과 관련이 있다.예를 들어 벡터 공간의 치수 정리는 K-Vect의 이형성 등급이 기형수와 정확히 일치한다고 하며, K-Vect는 그 대상인 벡터 공간n K를 가지는 K-Vect의 하위 범주와 동등하며 여기서 n은 기형수라고 한다.

일반화

링이 있는 공간에 걸쳐 있는 모듈 쉘의 범주에도 충분한 주입물이 있다(투사량이 항상 충분한 것은 아님).

참고 항목

참조

  1. ^ "module category in nLab". ncatlab.org.
  2. ^ 어떤 모듈도 무료 모듈의 몫이기 때문에 사소한 것으로.
  3. ^ 더밋-풋, 10장, 정리 38.
  4. ^ 부르바키, § 6.

외부 링크


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