스트링 다이어그램

범주 이론에서 문자열 도표는 단일 범주의 형태론, 또는 보다 일반적으로 2-범주의 2-셀을 나타내는 방법이다.

정의

아이디어는 Poincaré 이중성을 이용하여 차원 2-d의 구조로 차원 d의 구조를 표현하는 것이다.그러므로,

물체는 평면의 한 부분으로 표현된다.
1-셀 $f:A\to B$ : $f:A\to B$ → $f:A\to B$ $[\디스플레이 스타일$ f $:$ $A\to B}$ 은 $f:A\to B$ (는) 두 개의 평면(A에 해당하는 오른쪽 부분과 B에 해당하는 왼쪽 부분)을 분리하는 문자열이라고 하는 수직 세그먼트로 표시된다.
a 2-셀 $\alpha :f\Rightarrow g:A\to B$ : $\alpha :f\Rightarrow g:A\to B$ $\alpha :f\Rightarrow g:A\to B$ : f $\alpha :f\Rightarrow g:A\to B$ g : $\alpha :f\Rightarrow g:A\to B$ → $\alpha :f\Rightarrow g:A\to B$ ${\displaystyle \alpha :f\Rightarrow g:$ $A\to B}$ 은(링크 위 f에 해당하는 문자열, 링크 아래 g에 해당하는 문자열) 문자열의 교차점으로 표현된다 $\alpha :f\Rightarrow g:A\to B$ .

2-셀의 병렬 구성은 다이어그램의 수평 대칭에 해당하며 순차적 구성은 다이어그램의 수직 대칭에 해당한다.

정류 다이어그램(왼쪽)과 문자열 다이어그램(오른쪽) 사이의 이중성

예

Consider an adjunction $(F,G,\eta ,\varepsilon )$ between two categories ${\mathcal {C}}$ and ${\mathcal {D}}$ where $F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {D}}$ is left adjoint of ${\displays$ $Tyle G:{\mathcal{C}\오른쪽$ 화살표 ${\mathcal{D}}$ 및 자연 $G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ 변환 $\eta :I\rightarrow GF$ : $\eta :I\rightarrow GF$ → $\eta :I\rightarrow GF$ F ${\displaystyle \eta$ : $I\rightarrow GF}$ 및 $\eta :I\rightarrow GF$ $\varepsilon :FG\rightarrow I$ : F $\varepsilon :FG\rightarrow I$ → $\varepsilon :FG\rightarrow I$ ${\displaystyle \varepsilon$ : $FG\rightarrow I}$ 은(는) 유닛과 카운슬링이다 $\varepsilon :FG\rightarrow I$ .이러한 자연적 변환에 해당하는 문자열 다이어그램은 다음과 같다.

장치의 문자열 다이어그램

상담의 스트링 다이어그램

ID의 문자열 다이어그램

ID functor에 해당하는 문자열은 점선으로 그려지며 생략할 수 있다.부속문제의 정의에는 다음과 같은 동일성이 필요하다.

{\begin}(\varepsilon F)\circ F(\eta )&=1_{F}\\G(\eta G)\circle(\eta G)&=1_{G}\end{igned}}}}}}}}

첫 번째는 로 묘사된다.

동일성의 도표적 표현

(\varepsilon F)\circ F(\eta )=1_{F}

)

(\varepsilon F)\circ F(\eta )=1_{F}

(\varepsilon F)\circ F(\eta )=1_{F}

(

(\varepsilon F)\circ F(\eta )=1_{F}

) =

(\varepsilon F)\circ F(\eta )=1_{F}

(\varepsilon F)\circ F(\eta )=1_{F}

{\

(\

varempsilon F)\circle

F

(\eta )=1_{F}}

기타 다이어그램 언어

단면체 범주의 형태론도 스트링 다이어그램으로 그릴 수 있는데, 엄격한 단면체 범주는 하나의 개체만을 가진 2개의 범주로 볼 수 있고(따라서 하나의 평면 영역만 있을 것이다) 맥 레인의 엄격화 정리에서는 어떤 단면체 범주도 엄격한 범주와 단면적으로 동등하다고 기술하고 있기 때문이다.단면형 범주에 대한 문자열 다이어그램의 그래픽 언어는 단면형 범주, 단도 범주 ^[2]등과 같은 다른 구조와의 범주에서 표현을 나타내도록 확장할 수 있으며, 단면형 범주^[3] 및 리본 범주에 대한 기하학적 표현과 관련이 있다.^[4]양자 컴퓨팅에서는 큐비트 사이의 선형 지도에 대한 추론을 위해 문자열 도표를 기반으로 하는 여러 가지 도형 언어가 있는데, 그 중 가장 잘 알려진 언어는 ZX-미적분이다.

외부 링크

TheCatsters (2007). String diagrams 1 (streamed video). Youtube. Archived from the original on 2021-12-19.
nLab의 문자열 다이어그램

참조

^ Joyal, André; Street, Ross (1991). "The geometry of tensor calculus, I" (PDF). Advances in Mathematics. 88 (1): 55–112. doi:10.1016/0001-8708(91)90003-P. ISSN 0001-8708.
^ Selinger, P. (2010). "A Survey of Graphical Languages for Monoidal Categories" (PDF). In Bob Coecke (ed.). New Structures for Physics. Lecture Notes in Physics. Vol. 813. Springer Berlin Heidelberg. pp. 289–355. arXiv:0908.3347. Bibcode:2009arXiv0908.3347S. doi:10.1007/978-3-642-12821-9_4. ISBN 978-3-642-12820-2.
^ Joyal, A.; Street, R. (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics. 102 (1): 20–78. doi:10.1006/aima.1993.1055. ISSN 0001-8708.
^ Shum, Mei Chee (1994-04-11). "Tortile tensor categories". Journal of Pure and Applied Algebra. 93 (1): 57–110. doi:10.1016/0022-4049(92)00039-T. ISSN 0022-4049.

외부 링크

Wikimedia Commons의 문자열 다이어그램과 관련된 미디어

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[1] Joyal, André; Street, Ross (1991). "The geometry of tensor calculus, I" (PDF). Advances in Mathematics. 88 (1): 55–112. doi:10.1016/0001-8708(91)90003-P. ISSN 0001-8708.

[2] Selinger, P. (2010). "A Survey of Graphical Languages for Monoidal Categories" (PDF). In Bob Coecke (ed.). New Structures for Physics. Lecture Notes in Physics. Vol. 813. Springer Berlin Heidelberg. pp. 289–355. arXiv:0908.3347. Bibcode:2009arXiv0908.3347S. doi:10.1007/978-3-642-12821-9_4. ISBN 978-3-642-12820-2.

[3] Joyal, A.; Street, R. (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics. 102 (1): 20–78. doi:10.1006/aima.1993.1055. ISSN 0001-8708.

[4] Shum, Mei Chee (1994-04-11). "Tortile tensor categories". Journal of Pure and Applied Algebra. 93 (1): 57–110. doi:10.1016/0022-4049(92)00039-T. ISSN 0022-4049.

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