지수분류

수학에서, 지수 범주는 형태론의 집합을 식별하여 다른 범주로부터 얻은 범주다.형식적으로는 (로컬리적으로 작은) 범주의 범주에 속하는 인용 객체로서, 인용 그룹이나 인용 공간과 유사하지만, 범주형 설정에서는 인용 객체다.

정의

C를 범주로 삼자.C에 대한 적합성 관계 R은 다음과 같이 주어진다: 각 개체 쌍에 대해 X, Y in C에 대한 동등성 관계_X,Y R (X,Y)에 대해 동등성 관계가 형태론의 구성을 존중하도록 한다.즉, 만약

${\displaystyle f_{1},f_{2}:X\to Y\,}$

Hom(X, Y) 및

${\displaystyle g_{1},g_{2}:Y\to Z\,}$

Hom(Y, Z)과 관련이 있고, 그 다음 gf와₁₁ gf는₂₂ Hom(X, Z)과 관련이 있다.

C에 대한 일치 관계 R을 고려할 때, 우리는 C/R을 C의 대상과 C의 형태에 대한 동등성 등급인 C/R 범주로 정의할 수 있다.그것은

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}/R}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}(X,Y)/R_{X,Y}.}$

R은 합치 관계이기 때문에 C/R에서 형태론의 구성은 잘 정의되어 있다.

특성.

C에서 C/R까지의 자연 지수 펑터가 있어 각 형태론을 동등성 등급으로 보낸다.이 functor는 물체에 대해 편향적이고 Hom-set(즉, 완전한 functor)에 대해 낙심적이다.

모든 functor F : C → D는 f ~ g ifff F(f) = F(g)라고 말해 C에 대한 합치를 결정한다.그러면 functor F는 고유한 방식으로 quotient functor C → C/~를 통해 인자를 구한다.이것은 범주에 대한 "첫 번째 이형성 정리"로 간주될 수 있다.

예

• 모노이드와 그룹은 하나의 물체를 가진 범주로 간주될 수 있다.이 경우, 지수 범주는 지수 단조 또는 지수 집단의 개념과 일치한다.
• 위상공간 hTop의 호모토피 카테고리는 위상공간 카테고리인 Top의 지수 카테고리다.형태론의 동등성 등급은 연속 지도의 동종성 등급이다.
• k를 필드로 하고 k-선형 지도가 있는 k 위에 있는 모든 벡터 공간의 아벨 범주 Mod(k)를 형태론으로 간주한다.모든 유한차원 공간을 "킬"하기 위해, 우리는 두 개의 선형 지도 f,g : X → Y 합치물 if의 차이가 유한차원 이미지를 가지고 있다.그 결과의 몫 범주에서 모든 유한차원 벡터 공간은 0에 대해 이등형이다.[이는 실제로 첨가물 범주의 몫의 예다. 아래 참조].

관련개념

첨가제 범주의 모듈로 이상 인용

C가 가법 범주이고 C에 대한 합치 관계를 가법(f₁, f₂, g₁, g, g가₂ f ~ f₂ 및₁ g ~g와₁ 함께₂ X에서 Y까지의 형태인 경우, f₁ + g₁ ~ f + g₂ ~ f₂ + g)으로 요구하면, 가법 범주 C/~도 가법이며, 가법자 → C/~가 가법인이 된다.

The concept of an additive congruence relation is equivalent to the concept of a two-sided ideal of morphisms: for any two objects X and Y we are given an additive subgroup I(X,Y) of Hom_C(X, Y) such that for all f ∈ I(X,Y), g ∈ Hom_C(Y, Z) and h∈ Hom_C(W, X), we have gf ∈ I(X,Z) and fh ∈ I(W,Y).Hom_C(X, Y)의 두 형태는 차이가 I(X,Y)에 있다면 합치된다.

모든 유니탈 링은 단일 물체를 가진 첨가물 범주로 볼 수 있으며, 위에서 정의한 첨가물 범주의 몫은 이 경우 양면 이상에 대한 몫의 링 모듈의 개념과 일치한다.

범주의 지역화

어떤 범주의 국산화에는 원래의 범주의 형태 중 몇 가지를 이소모형으로 바꾸기 위한 새로운 형태론이 도입된다.이것은 지수 범주의 경우처럼 물체들 사이의 형태화 수를 감소시키기 보다는 증가시키는 경향이 있다.그러나 두 구조에서 두 물체가 원래 범주에서 이형성이 아닌 이형성이 되는 경우가 종종 있다.

아벨 범주 세레 인용구

세레 하위 카테고리에 의한 아벨 범주 세레 지수는 새로운 아벨 범주로서, 인용 범주와 유사하지만, 많은 경우 카테고리의 국산화 성격을 가진다.

참조

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (Second ed.). Springer-Verlag.