하위 카테고리

수학, 특히 범주 이론에서 범주 C의 하위 범주는 개체 C의 범주 S이며, 형태는 동일한 정체성과 형태 구성을 가진 C의 형태론이다. 직관적으로 C의 하위 범주는 C의 일부 대상과 화살표를 "제거"하여 C로부터 얻은 범주다.

형식 정의

C를 범주로 삼자. C의 하위 범주 S는 다음과 같이 주어진다.

C의 물체 하위 집합, Ob(S)로 표시됨.
홈(S)으로 표시된 C의 형태론 하위 집합

그런

OB(S)의 모든 X에 대해, ID 형태론_X ID는 홈(S)에 있다.
모든 형태론 f : X → Y in hom(S)에 대해, 소스 X와 대상 Y는 모두 ob(S)에 있다.
hom(S)의 모든 형태변수 f와 g 쌍에 대해 합성 f o g는 정의될 때마다 hom(S)에 있다.

이러한 조건들은 S가 그 자체의 권리 범주임을 보장한다: 그 개체들의 집합은 ob(S)이고, 형태론의 집합은 hom(S)이며, 그 정체성과 구성은 C와 같다. 물체와 형태성을 스스로 가져가는 포함형 펑터라고 불리는 명백한 충실한 펑터 I : S → C가 있다.

S를 범주 C의 하위 범주가 되도록 하자. 우리는 S가 C의 완전한 하위 범주라고 말한다. 만약 각 쌍의 물체 X와 Y에 대해,

\mathrm {Hom} _{\mathcal {S}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}(X,Y).

전체 하위카테고리란 S의 물체들 사이에 있는 C의 모든 형태들을 포함하는 것이다. C에 있는 물체 A의 컬렉션에는 A에 있는 물체인 C의 고유한 전체 하위 범주가 있다.

예

유한 집합의 범주는 집합 범주의 전체 하위 범주를 형성한다.
객체가 집합이고 형태변수가 편향인 범주는 집합 범주의 완전한 하위 범주를 형성한다.
아벨 그룹 카테고리는 그룹 카테고리의 완전한 하위 카테고리를 형성한다.
링의 범주(형태란 단위 보존형 링 동형체)는 rng 범주의 완전하지 않은 하위 범주를 형성한다.
필드 K의 경우 K-벡터 공간의 범주는 (왼쪽 또는 오른쪽) K-modules 범주의 전체 하위 범주를 형성한다.

임베딩스

C의 하위 범주 S가 주어질 경우, 포함 펑터 I : S → C는 모두 충실한 펑터(functor)이며 물체에 주입된다. S가 완전한 하위 범주인 경우에만 가득 찬다.

어떤 저자들은 임베딩이 완전하고 충실한 functor라고 정의한다. 그러한 방광자는 반드시 이형성까지의 물체에 주입된다. 예를 들어 요네다 임베딩은 이런 의미에서 임베딩이다.

어떤 저자들은 임베딩이 물체에 주입되는 완전하고 충실한 functor라고 정의한다.^[1]

다른 저자들은 functor가 충실하고 사물에 주입되는 경우 임베딩으로 정의한다. 마찬가지로 F는 형태론에 주입되는 경우 임베딩이다. functor F는 full functor와 embedding일 경우 full embedding이라고 불린다.

앞 단락의 정의로, 어떤 (전체) 내장 F : B → C에 대해 F의 이미지는 C의 (전체) 하위 카테고리 S이며, F는 B와 S 사이의 카테고리의 이형성을 유도한다. 만약 F가 물체에 주입되지 않는다면 F의 이미지는 B와 동일하다.

어떤 범주에서는 임베딩되는 범주의 형태에 대해서도 말할 수 있다.