분류

수학에서 분류란 집합이론적 이론들을 범주이론적 유사성으로 대체하는 과정이다. 분류가 성공적으로 완료되면 세트는 범주로, 함수는 펑크로, 방정식은 추가 특성을 만족하는 펑커스의 자연 이형성으로 대체된다. 이 용어는 루이 크레인(Louis Crane)에 의해 만들어졌다.

분류의 역방향은 분류의 과정이다. 분류해제는 범주 내 이형성 물체가 동일하다고 식별되는 체계적 과정이다. 분류해제는 간단한 과정이지만, 분류는 보통 훨씬 덜 간단하다. 리 알헤브라의 대표이론에서 특정 알헤브라에 대한 모듈이 주요 연구 대상이며, 그러한 모듈의 분류가 무엇이어야 하는가에 대한 몇 가지 프레임워크가 있다. 예를 들어, (약) 아벨의 분류가 그것이다.^[1]

분류와 분류해제는 정밀한 수학적 절차가 아니라 가능한 유사성의 한 종류다. 그것들은 '일반화'와 같은 단어와 비슷한 방식으로 사용되며, '세정화'^[2]와 같은 단어와는 다르다.

분류 예제

분류의 한 형태는 집합의 관점에서 기술된 구조를 취하며, 집합들을 범주 내 객체의 이형성 등급으로 해석한다. 예를 들어, 자연수 집합은 유한 집합의 추기경 집합으로 볼 수 있다(그리고 동일한 카디널리티를 가진 두 집합은 이형성이다). 이 경우, 덧셈과 곱셈과 같은 자연수 집합에 대한 연산은 유한 집합 범주의 제품 및 조합물에 대한 정보를 운반하는 것으로 볼 수 있다. 덜 추상적으로, 여기서의 생각은 실제 물체의 집합을 조작하고, 조합물(조합으로 두 세트를 결합한 것)이나 제품(대수를 추적할 수 있는 여러 가지 것들을 쌓는 것)을 취하는 것이 우선이라는 것이다. 나중에, 추상적인 산술 이론을 만들기 위해 집합의 구체적인 구조는 추상화되었다 - "이소모형주의까지만" 가져갔다. 이것은 "분류 구분"이다. 분류는 이 단계를 반대로 한다.

다른 예로는 위상에서의 동종학 이론을 들 수 있다. 에미 노에더는 베티 숫자의 개념을 분류하여 특정 자유 아벨리아 집단의 계급으로 현대적인 호몰로지 공식화를 주었다.^[3] 매듭 이론에서 불변하는 매듭으로 Kovanov homology도 참조한다.

유한집단 이론의 예로는 대칭함수의 링이 대칭군 표현 범주에 의해 분류된다는 것이다. 디카테고리화 맵은 파티션 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 의해 인덱싱된 Specht 모듈을 동일한 파티션에 의해 인덱싱된 Schur 함수로 전송한다.

${\displaystyle S^{\lambda }{\\stackrel {\varphi }{\\s_{\lambda }}}$

기본적으로 관련된 그로텐디크 그룹의 즐겨찾기 기반에서 대칭함수의 링의 표현-이론적 즐겨찾기 기반까지 문자도를 따른다. 이 지도는 구조물이 어떻게 유사한지를 반영한다. 예를 들어

${\displaystyle \left[\operatorname {Ind}_{S_{m}\otimes S_{n+m}}(S^{\mu }}\otimes S^{\nu }\right]\qquad {\text}, }}\qquad s_{}s_{{{{nu\no}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

리틀우드-리처드슨 계수에 의해 주어진 각각의 베이스에 대해 동일한 분해 수치를 가진다.

아벨의 분류

$범주{\displaystyle \mathcal{}}$ B ${\$의 경우 $K{\displaystyle (B)}$ ${\displaystyle$ K$({\mathcal {B})$를 $B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 Grotherndeck 그룹이 되게$$ 하십시오$.$

Let ${\displaystyle A}$ be a ring which is free as an abelian group, and let ${\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{i}\}_{i\in I}}$ be a basis of ${\displaystyle A}$ such that the multiplication is positive in ${\displaystyle \mathbf {a} }$, i.e.

${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle a_{i}a_{j}=\sum _{k}c_{k}^{$k}$a_{k}}}},$ $c$ i ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle c_{ij}^{k$}^{k}\in \in ${Z}\mathb _{{{\{\{\geq$ 0$}.$$}$

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) A ${\displaystyle A}$ - module로 한다$$. Then a (weak) abelian categorification of ${\displaystyle (A,\mathbf {a} ,B)}$ consists of an abelian category ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, an isomorphism ${\displaystyle \phi :K({\mathcal {B}})\to B}$, and exact endofunctors ${\displaystyle F_{i}:$${\mathcal{B}\to$ ${\mathcal{B}}.$

1. functor $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 모듈 B$$ ${\displaystyle A_$i$},$ 즉 $\varphi {\displaystyle }$[$F_{i}]$= i ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \pi},$ 그리고$$\ ${\$$i$}=a_{$i$$}\pi}}$의 ${\displaystyle {동작}_{}}$을 들어 올린다$$.
2. there are isomorphisms ${\displaystyle F_{i}F_{j}\cong \bigoplus _{k}F_{k}^{c_{ij}^{k}},}$, i.e. the composition ${\displaystyle F_{i}F_{j}}$ decomposes as the direct sum of functors ${\displaystyle F_{k}}$ in the same way that the product ${\displaystyle a_i{a}_{}}$${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ 기본 원소의 선형 조합으로$$ 분해된다$.$

참고 항목

• 조합론적 증명, 숫자 이론적 정리를 이론적 유사성으로 대체하는 과정.
• 상위분류론
• 고차원대수학
• 범주형 링

참조

추가 읽기

• 위의 저자들 중 한 명이 올린 블로그 게시물: https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html.