푸시아웃(범주론)

범주론에서 수학의 한 분야인 푸시아웃(섬유화된 합금 또는 섬유화된 합금 또는 코코아테스 사각형 또는 아말감 합금이라고도 함)은 공통영역을 갖는 두 가지 형태 f : Z → X 및 g : Z → Y로 구성된 도표의 콜리밋이다.푸시아웃은 주어진 두 개의 모피즘 f와 g로 교감 사각형을 완성하는 두 개의 모피즘 X → P, Y → P와 함께 물체 P로 구성된다.사실 푸시아웃의 정의 보편적 특성(아래에 제시)은 푸시아웃이 이 정류적 광장을 완성하는 "가장 일반적인" 방법이라고 본질적으로 말한다.푸시아웃에 대한 일반적인 $P=X\sqcup _{Z}Y$ 은 $P=X\sqcup _{Z}Y$ P = $P=X\sqcup _{Z}Y$ Z $P=X\sqcup _{Z}Y$ ${\displaystyle$ P= $X\sqcup _{Z}$ 이다. $Y}$ 및 $P=X\sqcup _{Z}Y$ $P=X+_{Z}Y$ = $P=X+_{Z}Y$ + $P=X+_{Z}Y$ $P=X+_{Z}Y$ ${\디스플레이$ 스타일 $P=X+_{Z}$ $Y}$ $P=X+_{Z}Y$

푸시 아웃은 풀백의 범주형 이중이다.

보편적 재산

명시적으로, 형태론 f와 g의 푸시아웃은 물체 p와 두 개의 형태론₁ i : X → P와 i : Y₂ → P로 구성된다.

통근 및 이와 같은 것(P₁, i, i₂)은 이 다이어그램과 관련하여 보편적이다.즉, 다음 도표가 통근하는 다른 집합(Q, j, j₁₂)의 경우, 도표를 통근하는 고유한 u가 있어야 한다. P → Q도 통근한다.

모든 보편적인 구조와 마찬가지로, 푸시 아웃은, 존재한다면, 독특한 이소모르피즘에 따라 독특하다.

푸시아웃의 예

다음은 익숙한 범주의 푸시아웃의 몇 가지 예들이다.각 경우에 있어서, 우리는 푸시아웃의 이소모르피즘 등급의 물체를 구성하는 것만을 제공하고 있다. 위에서 언급한 바와 같이, 그것을 구성하는 다른 방법이 있을 수 있지만, 그것들은 모두 동등하다.

위와 같은 X, Y, Z가 설정되고, f : Z → X, g : Z → Y가 설정함수라고 가정한다.X, Y, 요소가 일반적인 preimage(Z에)공유 확인된다 즉 Pf, g의 pushout은 차갑조합이 함께 morphisms i1과, X, Y에서 i2,)(X⊔ Y)/∼을{\displaystyle P=\left(X\sqcup Y\right)/\sim)}어디일 있는 것 중에서 최고의 동치 관계(비교하라. 또한 이)가 f(z)일 g(z)에 대한 모든 z. in Z. 특히 X와 Y가 일부 대형 집합의 하위 집합인 경우, X와 G에 Z를 X와 Y에 포함시키는 지도를 가진 X와 Z가 $X\cup Y\subseteq W$ 인 경우, 푸시아웃은 X $X\cup Y\subseteq W$ Y $X\cup Y\subseteq W$ $X\cup Y\subseteq W$ ${\displaystyle$ X $\cup Y\subseteq W}$ 와 함께 표준적으로 식별될 수 있다 $X\cup Y\subseteq W$
부속공간의 건설은 위상공간의 범주에서 푸시아웃의 예다.보다 정확히 말하면, Z가 Y의 하위공간이고 g : Z → Y가 포함지도라면, 우리는 "첨부지도" f : Z → X를 이용하여 Z를 따라 다른 공간 X에 Y를 "글링"할 수 있다.결과는 부속 공간 $X\cup _{f}Y$ ∪ $X\cup _{f}Y$ Y $X\cup _{f}Y$ 인데 $X\cup _{f}Y$ 이 공간은 f와 g의 푸시아웃에 불과하다.보다 일반적으로 모든 식별 공간은 이러한 방식으로 푸시아웃으로 간주될 수 있다.
위의 특별한 경우는 쐐기 합이나 원포인트 합이다. 여기서 우리는 X와 Y를 뾰족한 공간으로, Z를 원포인트 공간으로 삼는다.그 다음 푸시아웃은 $X\vee Y$ Y $X\vee Y$ {\ $displaystyle X\vee Y}$ 이며 $X\vee Y$ X의 기준점을 Y의 기준점에 붙여서 얻은 공간이다.
아벨 그룹 범주에서 푸시아웃은 부속 공간을 "접착과 함께 분해되는 결합"이라고 생각하는 것과 같은 방식으로 "접착과 함께 직접 합"이라고 생각할 수 있다.0 그룹은 모든 그룹의 하위 그룹이기 때문에, 모든 아벨 그룹 A와 B에 대해, 우리는 $f:0\to A$ : $f:0\to A$ → A $,$ $g:0\to B$ : 0 → $displaystyle f:0\to A$ $},$ g $f:0\to A$ $g:0\to B$ : $g:0\to B$ → b $g:0\to B$ 이 지도들의 푸시 아웃은 A와 B의 직접 합이다.f와 g가 공통 영역 Z로부터 임의의 동형상인 경우에 일반화하면, 직접 합계의 인용 부문을 구한다. 즉, 우리는 쌍(f(z), -g(z)으로 구성된 하위그룹을 구한다.따라서 우리는 F와 g 아래의 Z의 이미지를 따라 "영광"을 얻었다.유사한 접근방식은 모든 링 R에 대한 R-모듈 범주의 푸시아웃을 산출한다.
그룹의 범주에서, 푸시아웃은 합병과 함께 자유 상품이라고 불린다.대수 위상의 세이퍼트-반 캄펜 정리(아래 참조)에 나타난다.
CRING에서 푸시아웃은 조합형 링의 범주(링 범주의 전체 하위 범주)로, A $A\otimes _{C}B$ $A\otimes _{C}B$ $A\otimes _{C}B$ $A\otimes _{C}B$ 의 텐서 제품에 의해 주어지며, $g':A\rightarrow A\otimes _{C}B$ 는 $A\otimes _{C}B$ $g':A\rightarrow A\otimes _{C}B$ → $g':A\rightarrow A\otimes _{C}B$ $g':A\rightarrow A\otimes _{C}B$ $g':A\rightarrow A\otimes _{C}B$ $g':A\rightarrow A\otimes _{C}B$ ${\displaystyty g:$ $A\rightarrow A\otimes _{C}B}$ 및 $g':A\rightarrow A\otimes _{C}B$ $f':B\rightarrow A\otimes _{C}B$ $f':B\rightarrow A\otimes _{C}B$ : $f':B\rightarrow A\otimes _{C}B$ → $f':B\rightarrow A\otimes _{C}B$ $f':B\rightarrow A\otimes _{C}B$ $f':B\rightarrow A\otimes _{C}B$ B ${\displaystyle$ f $':$ $B\rightarrow A\otimes _{C}B}$ that satisfy $f'\circ g=g'\circ f$ . In fact, since the pushout is the colimit of a span and the pullback is the limit of a cospan, we can think of the tensor product of rings and the fibered product of rings (see the examples section) as dual notions to each other.특히 CRing에서는 A, B, C를 객체(identity가 있는 커뮤티컬 링)로 하고, CRing에서는 f : C → A, g : C → B를 형태(링 동형체)로 한다.그 다음 텐서 제품은 다음과 같다.

A\otimes _{C}B=\left\{\sum _{i\in I}(a_{i},b_{i})\;{\big  }\;a_{i}\in A,b_{i}\in B\right\}{\Bigg /}{\bigg \langle }(f(c)a,b)-(a,g(c)b)\;{\big  }\;a\in A,b\in B,c\in C{\bigg \rangle }

비고리의 경우 연관성 알헤브라의 무료 제품을 참조하십시오.
In the multiplicative monoid of positive integers $\mathbf {Z} _{+}$ , considered as a category with one object, the pushout of two positive integers m and n is just the pair ${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatornam$ $e {lcm}(m,n)}{n}}\오른쪽$ 여기서 분자는 모두 m과 n의 최소 공통 배수량이다.동일한 쌍이 풀백이라는 점에 유의하십시오.

특성.

푸시아웃 A ⊔_C B가 존재할 때마다 B ⊔_C A도 존재하며 자연 이형성 A ⊔_C B ⊔_C A가 있다.
아벨 범주에서는 모든 푸시아웃이 존재하며, 다음과 같은 의미로 코커넬을 보존한다: (P₁, i₂)가 f : Z → X 및 g : Z → Y의 푸시아웃이라면, 자연지도 코커르(f) → 코커르(i₂)는 이형성(isomorphism), 자연지도 코커르(g) → 코커(i₁)이다.
자연 이형성(A ⊔_CB) ⊔_BD ≅ A ⊔_CD가 있다.명시적으로 이는 다음을 의미한다.
- 지도 f : C → A, g : C → B, h : B → D가 주어지면
- f와 g의 푸시아웃은 i : A → P, j : B → P에 의해 주어지고
- j와 h의 푸시아웃은 k : P → Q, l : D → Q,
- f와 hg의 푸시아웃은 ki : A → Q, l : D → Q에 의해 주어진다.

그래픽적으로 이것은 내면의 공유 형태론을 무시할 때 두 개의 푸시아웃 사각형이 나란히 배치되고 하나의 형태론을 공유하는 것을 의미한다.

코프로덕트 및 동급자를 통한 시공

푸시아웃은 다음과 같은 의미에서 (초기 물체가 있는 경우) 코프로덕트와 동등제(coqualizer)에 해당한다.

Coproducts는 초기 물체로부터의 푸시아웃이며, f, g : X → Y의 동등분자는 [f, g] 및 [1_X, 1_X]의 푸시아웃이므로, 푸시아웃(및 초기 물체)이 있는 경우, 동등분자와 동일분석이 있다.
푸시아웃은 아래 설명된 대로 공동 유도체와 동등분자로 구성할 수 있다(푸시아웃은 공동 유도로의 맵의 동등분자임).

위의 모든 예는 C 범주에 해당하는 다음과 같은 매우 일반적인 시공의 특별한 경우로 간주할 수 있다.

C의 물체 A와 B의 경우, 그 결합물은 C에 존재한다.
동일한 영역과 대상을 가진 C의 어떤 형태변수 j와 k의 경우, j와 k의 동등분자가 C에 존재한다.

이 설정에서는 대상 X와 Y의 결합체를 먼저 형성하여 모피즘 f : Z → X, g : Z → Y의 푸시아웃을 얻는다.그리고 나서 Z에서 이 결합체에 이르는 두 가지 형태를 갖게 된다.우리는 F를 통해 Z에서 X로 갈 수 있고, 그리고 나서 공동 생산물에 포함시킬 수도 있고, 아니면 G를 통해 Z에서 Y로 갈 수도 있고, 그리고 다음을 포함할 수도 있다.f와 g의 푸시아웃은 이 새 지도들의 동위제다.

적용: 세이퍼트-반 캄펜 정리

세이퍼트-반 캄펜 정리는 다음과 같은 질문에 대답한다.경로로 연결된 공간 X가 있고, 교차점 D가 경로로 연결된 경로로 연결된 개방형 서브스페이스 A와 B로 덮여 있다고 가정합시다.(또한 기준점 *이 A와 B의 교차점에 있다고 가정)우리가 A, B의 기본 그룹과 그들의 교차점 D를 안다면 X의 기본 그룹을 되찾을 수 있을까?The answer is yes, provided we also know the induced homomorphisms $\pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(A,*)$ and ${\displaystyle \pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(B,*).$ $}}$ 그러면 정리에서는 $\pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(B,*).$ X의 근본 집단이 이 유도된 지도 두 개의 푸시아웃이라고 한다.물론 X는 D의 두 포함 지도를 A와 B로 밀어내는 것이다.따라서 우리는 그 정리를 기본 그룹 펑터가 포함물의 푸시아웃을 보존하고 있음을 확인하는 것으로 해석할 수 있다.우리는 D가 단순히 연결되었을 때 이것이 가장 간단할 것으로 예상할 수 있는데, 그 이유는 위의 두 동음이의어가 모두 사소한 영역을 가지기 때문이다.실제로, 그 이후로 (그룹들의) 푸시아웃은 그룹의 카테고리에 있는 공동 생산물인 무료 제품으로 감소한다.대부분의 경우에 우리는 합병을 포함한 무료 상품에 대해 말할 것이다.

참고문헌에 수록된 J. P. 메이(J. P. May)의 저서에서 좀 더 일반적인 설정(그룹로이드 포함)으로 이것에 대한 상세한 설명이 있다.

참조

5월 J. P.대수적 위상에서의 간결한 과정.시카고 대학 출판부, 1999.
대수적 위상에 대한 범주적 접근법의 도입: 초점은 대수학에 있으며 위상학적 배경을 가정한다.

로널드 브라운 "토폴로지 및 Groupoids" pdf 이용 가능 위상에서의 몇 가지 범주형 방법에 대한 설명을 제공하고, 일련의 베이스 포인트에서 기본 그룹oid를 사용하여 세이퍼트-반 캄펜 정리를 일반화한다.

Philip J. Higgins, "Categories and Groupoids" 무료 다운로드 그룹 이론과 토폴로지에 있는 Groupoids의 몇 가지 용도를 설명한다.

외부 링크

nLab에서 푸시아웃

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