카테고리(수학)

이것은 객체 A, B, C의 집합과 f, g, g f f로 표시된 형태론의 집합이 있는 범주이며, 루프는 식별 화살표이다.이 카테고리는 보통 굵은 글씨 3으로 표시됩니다.

수학에서 범주(category)는 화살표로 연결된 "객체"의 집합이다.범주에는 화살표를 연관지어 구성하는 기능과 각 개체에 대한 ID 화살표가 있는 두 가지 기본 속성이 있습니다.단순한 예는 집합의 범주입니다. 개체는 집합이고 화살표는 함수입니다.

범주 이론은 모든 수학의 대상과 화살표가 나타내는 것과 무관하게 범주 측면에서 일반화하는 수학의 한 분야입니다.사실상 현대 수학의 모든 분야는 범주의 관점에서 설명될 수 있고, 그렇게 하는 것은 종종 겉으로 보기에 다른 수학 영역들 사이의 깊은 통찰력과 유사성을 드러낸다.이와 같이 범주 이론은 수학이 이론과 다른 제안된 공리적인 토대를 설정하기 위한 대체 토대를 제공한다.일반적으로 물체와 화살표는 모든 종류의 추상적 실체일 수 있으며 범주라는 개념은 수학적 실체와 그 관계를 설명하는 기본적이고 추상적인 방법을 제공한다.

범주 이론은 수학을 공식화하는 것 외에도 프로그래밍 언어의 의미론 같은 컴퓨터 과학에서 많은 다른 시스템을 공식화하는 데에도 사용됩니다.

동일한 객체 집합, 동일한 화살표 집합 및 동일한 화살표 쌍을 구성하는 동일한 연관 방법이 있는 경우 두 범주는 동일합니다.두 개의 다른 범주가 정확히 동일한 구조를 가지고 있지 않더라도 범주 이론의 목적상 "동등한" 것으로 간주될 수 있다.

잘 알려진 범주는 짧은 대문자 또는 이탤릭체로 표시됩니다.예를 들어 집합과 집합 함수의 범주인 Set, 링과 링 동형사상의 범주인 Ring, 토폴로지 공간과 연속 맵의 범주인 Top 등이 있습니다.위의 모든 카테고리는 아이덴티티 맵을 아이덴티티 화살표로, 구성을 화살표 관련 조작으로 가지고 있습니다.

범주 이론에서 여전히 많이 사용되는 고전적인 텍스트는 손더스 맥 레인의 수학자를 위한 범주입니다.기타 참고 자료는 아래 참고 자료에 나와 있습니다.이 기사의 기본적인 정의는 이 책들의 처음 몇 장에 포함되어 있습니다.

그룹형 구조
	토탈리티^α	연관성	신원	나누기	정류성
반군체	불필요.	필수의	불필요.	불필요.	불필요.
소분류	불필요.	필수의	필수의	불필요.	불필요.
그룹상	불필요.	필수의	필수의	필수의	불필요.
마그마	필수의	불필요.	불필요.	불필요.	불필요.
준군	필수의	불필요.	불필요.	필수의	불필요.
유니탈 마그마	필수의	불필요.	필수의	불필요.	불필요.
세미그룹	필수의	필수의	불필요.	불필요.	불필요.
고리	필수의	불필요.	필수의	필수의	불필요.
모노이드	필수의	필수의	필수의	불필요.	불필요.
그룹.	필수의	필수의	필수의	필수의	불필요.
가환성 모노이드	필수의	필수의	필수의	불필요.	필수의
아벨 군	필수의	필수의	필수의	필수의	필수의
^α 많은 선원에 의해 사용되며 다르게 정의되는 폐쇄 공리는 동등하다.

모든 모노이드는 특별한 종류의 카테고리로 이해될 수 있으며(모노이드의 요소에 의해 자기모형이 표현되는 단일 객체와 함께), 어떤 사전 주문도 가능하다.

정의.

카테고리에는 ^[1]많은 동등한 정의가 있습니다.일반적으로 사용되는 정의는 다음과 같습니다.카테고리 C는 다음과 같이 구성됩니다.

오브젝트의 클래스 ob(C)
형태, 화살표 또는 객체 사이의 지도의 클래스 홈(C)
도메인 또는 소스 객체 클래스 $\mathrm {dom} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ $\mathrm {dom} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ $\mathrm {dom} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ m : $\mathrm {dom} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ $\mathrm {dom} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ m ( $\mathrm {dom} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ ) $\mathrm {dom} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ $\mathrm {dom} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ b ( $\mathrm {dom} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ ) \ $display$ \ $mathrm$ { $dom$ } \ $mathrm$ { $hom$ } ( $C$ ) \ $rightarrow$ \ $mathrm { ob$ ( $\mathrm {dom} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ C ) ,
코드메인 또는 타겟오브젝트 클래스 $\mathrm {cod} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ $\mathrm {cod} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ $\mathrm {cod} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ d $\mathrm {cod} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ : $\mathrm {cod} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ $\mathrm {cod} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ m ( $\mathrm {cod} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ ) $\mathrm {cod} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ b ( $\mathrm {cod} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ ) \ $display style$ \ $mathrm$ { cod } \ $display$ \ $mathrm$ { hom } ( $C$ ) \ $rightarrow$ \ $mathrm { ob$ } ( $C$ ) $\mathrm {cod} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$ ,
모든 세 물체 a, b, c에 대하여, 형태소 구성이라고 불리는 이진 연산 hom(a, b, c) × hom(a, c) → hom(a, c)이다. f : a → b와 g : b → c의 구성은 g f f 또는 gf로 작성된다. (일부 저자는 "비교적 순서", fg 또는 fg 또는 fg를 사용한다.)

주: 여기서 hom(a, b)은 hom(C)에서 $\mathrm {dom} (f)=a$ m( $\mathrm {dom} (f)=a$ $=$ {\ $displaystyle \mathrm {dom}(f$ )= $a}$ 및 $\mathrm {dom} (f)=a$ $\mathrm {cod} (f)=b$ $\mathrm {cod} (f)=b$ d $\mathrm {cod} (f)=b$ $=$ {\ $displaystyle$ \ $mathrm$ {cod $}(f$ )=b $\mathrm {cod} (f)=b$ 등 형태소 f의 서브클래스를 나타낸다.

다음과 같은 공리가 성립한다.

(연관성) f : a → b, g : b → c 및 h : c → d일 경우 h ∘ f(g h f) = (h ∘ g) ∘ f,
(물리학적) 모든 물체 x에 대하여 x에 대하여 x에 대한 항등성 형태소라고 불리는 형태소 1_x : x → x (일부 저자_x id)가 존재하며, 모든 형태소 f : a → x는 1 µ f = f를 만족하고_x, 모든 형태소 g : x → b는 g ≤ 1_x = g를 만족한다.

f: a → b라고 쓰고 "f는 a에서 b로의 형태론이다"라고 말한다.범주 hom(a, b)이 a에서 ^[2]b까지의 모든 형태소의 hom-class를 나타내기 위해 hom(a_C, b)에 대해 혼동이 있을 수 있는 경우 hom(a, b)로 쓴다.이러한 공리로부터, 모든 물체에 대해 정확히 하나의 정체성 형태가 있다는 것을 증명할 수 있다.일부 저자는 각 개체가 대응하는 정체성 형태론과 식별되는 정의의 약간의 변화를 사용한다.

소분류 및 대분류

카테고리 C는 ob(C)와 hom(C)이 모두 실제로 설정되어 적절한 클래스가 아닌 경우 small, 그렇지 않은 경우 large라고 불립니다.로컬로 작은 카테고리는 모든 오브젝트 a와 b에 대해 홈 클래스 hom(a, b)이 홈 세트라고 불리는 집합인 카테고리입니다.수학에서 많은 중요한 범주(예: 집합 범주)는 작지는 않지만 최소한 국소적으로 작습니다.작은 범주에서는 객체가 집합을 형성하기 때문에 작은 범주는 닫힘 특성을 필요로 하지 않고 모노이드와 유사한 대수 구조로 볼 수 있다.반면에 큰 범주는 대수 구조의 "구조"를 만드는데 사용될 수 있다.

예

모든 집합(개체로서의)의 클래스와 그 사이의 모든 함수(모피즘으로서의)의 클래스는 큰 범주인 집합을 형성합니다.그것은 수학에서 가장 기본적이고 가장 일반적으로 사용되는 범주이다.범주 Rel은 이항 관계(형태론)를 가진 모든 집합(개체)으로 구성됩니다.함수 대신 관계에서 추상화하면 범주의 특별한 종류인 우화가 생성됩니다.

모든 클래스는 동일 형태만이 유일한 형태인 범주로 볼 수 있습니다.이러한 카테고리를 이산이라고 합니다.주어진 집합 I에 대해, I의 이산 범주는 개체로서의 I의 요소들과 형태론으로서의 정체성 모피즘만을 가진 작은 범주이다.개별 카테고리는 가장 단순한 카테고리입니다.

임의의 사전순서 집합(P, θ)은 작은 카테고리를 형성하며, 여기서 오브젝트는 P의 멤버이며, 모피즘은 x y y일 때 x에서 y를 가리키는 화살표이다.또한 θ가 반대칭이면 임의의 두 물체 사이에 최대 1개의 형태소가 존재할 수 있다.동일 형태소의 존재와 형태소의 구성성은 사전 순서의 반사성과 전달성에 의해 보장된다.같은 인수로 부분 순서 집합과 등가 관계는 작은 범주로 볼 수 있다.순서 집합으로 볼 때 모든 서수를 범주로 볼 수 있습니다.

모든 모노이드(단일 연관 2진수 연산과 항등원소를 갖는 모든 대수 구조)는 단일 객체 x를 가진 작은 범주를 형성합니다. (여기서 x는 고정 집합입니다.)x에서 x까지의 형태소는 정확히 모노이드의 요소이고, x의 형태소는 모노이드의 동일성이고, 형태소의 범주 구성은 모노이드의 연산에 의해 주어진다.모노이드에 대한 몇 가지 정의와 정리가 범주로 일반화 될 수 있다.

마찬가지로, 어떤 그룹도 모든 형태소가 반전 가능한 단일 객체를 가진 범주로 볼 수 있다. 즉, 모든 형태소에 대해 구성 아래 f와 반대되는 좌우의 형태소 g가 존재한다.이런 의미에서 반전할 수 있는 형태를 동형사상이라고 한다.

군체는 모든 형태가 동형인 범주이다.groupoid는 그룹, 그룹 액션 및 동등 관계를 일반화한 것입니다.사실 카테고리의 관점에서 groupoid와 groupoid의 유일한 차이점은 groupoid가 여러 개체를 가질 수 있지만 group은 하나만 가져야 한다는 것입니다.토폴로지 공간 X를 고려하여 베이스 $x_{0}$ 0 $($ X의 0(\ $displaystyle x_{0})$ 을 $x_{0}$ 고정하고, $\pi _{1}(X,x_{0})$ 으로 $X,$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ 0 $)$ 을 $\pi _{1}(X,x_{0})$ 토폴로지 공간 X의 기본 그룹으로서 베이스 $x_{0}$ 0 $(\$ 을 설정합니다. $x_{0}$ 0 $({$ $})$ 은 $x_{0}$ X의 모든 포인트에서 실행되며, 모든 $,$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $0)$ 의 합을 취합니다.그러면 취득한 세트에는 그룹로이드 구조(X, x_ ${0$ 의 기본 그룹로이드라고 함)만 있습니다.두 개의 루프(호모티 포인트의 등가 동일하지 않을 수 있습니다.그들은 서로 증식할 수 없다.카테고리 언어에서 이것은 여기서 두 개의 모피즘이 동일한 소스 오브젝트(또는 타깃 오브젝트)를 가지지 않을 수 있다는 것을 의미합니다.왜냐하면 이 경우 소스 오브젝트와 타깃 오브젝트는 동일하기 때문에 베이스 포인트)는 서로 합성할 수 없기 때문입니다.

방향 그래프

방향 그래프는 작은 카테고리를 생성합니다. 객체는 그래프의 꼭지점이며, 형태소는 그래프 내의 경로(필요에 따라 루프로 증가)이며, 형태소의 구성은 경로의 연결입니다.이러한 범주를 그래프에서 생성된 자유 범주라고 합니다.

형태론으로서 단조 함수를 갖는 모든 사전 정렬 집합의 클래스는 Ord 범주를 형성합니다.이것은 구체적인 범주, 즉 세트에 어떤 종류의 구조물을 추가하여 얻은 범주이며, 형태형이 이 추가된 구조를 존중하는 함수임을 요구한다.

구성 연산이 큰 범주 Grp. Ord와 마찬가지로 Grp.는 구체적인 범주이다.모든 아벨 군과 그 군 동형사상으로 구성된 범주 Ab는 Grp의 완전한 하위 범주이며, 아벨 범주의 원형이다.구체적인 범주의 다른 예는 다음 표에 제시되어 있다.

카테고리	물건들	형태론
그르프	무리	군 동형사상
마그	마그마	마그마 동형사상
남자^p	매끄러운 다양체	p-times 연속 미분 가능 맵
만났다	미터법 공간	짧은 지도
R-Mod	R 모듈(R은 링)	R-모듈 동형사상
몬	모노이드	모노이드 동형사상
울리다	반지.	링 동형사상
세트	놓다	기능들
정상	위상 공간	연속 함수
유니	균일한 공간	균일 연속 함수
벡터_K	필드 K 위의 벡터 공간	K-선형 지도

번들 맵을 사이에 둔 파이버번들은 구체적인 카테고리를 형성합니다.

Cat 카테고리는 모든 작은 카테고리로 구성되어 있으며, 그 사이에 형태소로서 함수가 있습니다.

새로운 카테고리의 구축

이중 카테고리

카테고리 C 자체는 다른 방법으로 새로운 카테고리로 간주할 수 있습니다.즉, 오브젝트는 원래 카테고리의 오브젝트와 동일하지만 화살표는 원래 카테고리의 오브젝트와 반대입니다.이것은 이중 또는 반대 범주라고 불리며 C로 표기됩니다^op.

제품 카테고리

C와 D가 범주일 경우, 제품 카테고리 C × D를 형성할 수 있다. 즉, 오브젝트는 C와 D에서 각각 하나의 오브젝트로 이루어진 쌍이며, 형태소도 C와 D에서 각각 하나의 형태소로 이루어진 쌍이다.이러한 쌍은 구성요소별로 구성할 수 있습니다.

형태소의 종류

형태론 f : a → b는 다음과 같다.

단형(또는 모노믹)은 좌변환 가능한 경우, 즉 fg₁ = fg는₂ 모든 형태소₁ g, g₂ : x → a에 대해 g = g를₂ 의미한다₁.
에피모피즘(또는 에피모피즘)은 우변화가 가능한 경우, 즉 gf₁ = gf는₂ 모든 형태소₁ g, g₂ : b → x에 대해 g = g를₂ 의미한다₁.
단형성과 에피모르피즘 둘 다일 경우 이형성
즉, fg = 1인_b 형태소 g : b → a가 존재하는 경우 후퇴한다.
즉, gf = 1인_a 형태소 g : b → a가 존재하는 경우.
즉, fg = 1_b, gf = 1인_a 형태소 g : b → a가 존재하는 경우 등형사상.
a = b인 경우 내형사상.a의 내형성 클래스는 end(a)로 표기된다.
f가 내형성과 동형성을 모두 갖는다면 자기동형성.a의 자기동형 클래스는 aut(a)로 표시됩니다.

모든 후퇴는 에피모피즘이다.모든 섹션은 단일 형태이다.다음 3개의 문장은 동일합니다.

f는 단일 동형 및 후퇴이다.
f는 에피모피즘 및 단면이다.
f는 동형사상입니다.

형태소 사이의 관계(예: fg = h)는 교환 다이어그램으로 가장 편리하게 표현될 수 있으며, 여기서 개체는 점으로, 형태소는 화살표로 표현된다.

카테고리의 종류

예를 들어 Ab 또는 Vect와_K 같은 많은 범주에서, 호모 집합 hom(a, b)은 단순한 집합이 아니라 실제로 아벨 그룹이며, 형태소의 구성은 이러한 그룹 구조와 양립할 수 있다. 즉, 쌍선형이다.이러한 카테고리를 프리애디티브라고 합니다.또한 범주가 모든 유한 산물과 공동 산물을 갖는 경우, 이를 가법 범주라고 한다.만약 모든 형태소가 커널과 코커널을 가지고 있고, 모든 에피모르피즘이 코커넬이고, 모든 모노모르피즘이 커널이라면, 우리는 아벨 범주에 대해 이야기한다.아벨 범주의 대표적인 예는 아벨 군 범주이다.
범주는 모든 작은 제한이 존재할 경우 완전하다고 불립니다.집합, 아벨 군 및 위상 공간의 범주가 완전합니다.
범주는 유한한 직접적 산물을 가지고 있고 유한적 산물에 정의된 형태론은 항상 요인 중 하나에 정의된 형태론에 의해 표현될 수 있는 경우 데카르트 폐쇄라고 불린다.Scott-continuous 함수의 완전 부분 주문 범주인 Set과 CPO가 이에 해당합니다.
토포스는 모든 수학이 집합의 범주로 공식화되는 것과 같이 모든 수학이 공식화될 수 있는 데카르트적 닫힌 범주이다.토포스는 논리 이론을 나타내기 위해서도 사용될 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Bar & Wells 2005, 제1장
^ 어떤 작가들은 대신 Mor(a, b) 또는 간단히 C(a, b)라고 쓴다.

레퍼런스

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990), Abstract and Concrete Categories (PDF), Wiley, ISBN 0-471-60922-6 (현재는 무료 온라인 에디션, GNU FDL).
를 클릭합니다Asperti, Andrea; Longo, Giuseppe (1991), Categories, Types and Structures, MIT Press, ISBN 0-262-01125-5.
를 클릭합니다Awodey, Steve (2006), Category theory, Oxford logic guides, vol. 49, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856861-2.
를 클릭합니다Barr, Michael; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories, Reprints in Theory and Applications of Categories, vol. 12 (revised ed.), MR 2178101.
를 클릭합니다Borceux, Francis (1994), "Handbook of Categorical Algebra", Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 50–52, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-06119-9.
"Category", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
를 클릭합니다Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), Category Theory, Heldermann Verlag, ISBN 978-3-88538-001-6.
를 클릭합니다Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.
를 클릭합니다Lawvere, William; Schanuel, Steve (1997), Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press, ISBN 0-521-47249-0.
를 클릭합니다Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, vol. 5 (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8.
를 클릭합니다Marquis, Jean-Pierre (2006), "Category Theory", in Zalta, Edward N. (ed.), Stanford Encyclopedia of Philosophy.
를 클릭합니다Sica, Giandomenico (2006), What is category theory?, Advanced studies in mathematics and logic, vol. 3, Polimetrica, ISBN 978-88-7699-031-1.
nLab의 카테고리

[1] Bar & Wells 2005, 제1장

[2] 어떤 작가들은 대신 Mor(a, b) 또는 간단히 C(a, b)라고 쓴다.

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