지수 객체

수학에서, 특히 범주 이론에서, 지수 객체나 지도 객체는 집합 이론에서 함수 공간의 범주형 일반화다. 모든 유한한 제품과 지수적 객체를 가진 범주를 데카르트 폐쇄 범주라고 한다. 결합 제품이 없는 범주(상단의 하위 범주 등)는 여전히 지수 법칙을 가질 수 있다.^[1][2]

정의

Let ${\displaystyle \mathbf {C} }$ be a category, let ${\displaystyle Z}$ and ${\displaystyle Y}$ be objects of ${\displaystyle \mathbf {C} }$, and let ${\displaystyle \mathbf {C} }$ have all binary products with ${\displaystyle Y}$. An object ${\textstyle Z^{Y}}$ together with a morphism ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\rightarrow Z}$ is an exponential object if for any object ${\displaystyle X}$ and morphism ${\textstyle g\colon X\times Y\to Z}$ there is a unique morphism ${\textstyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ (ca다음 도표가 통용되도록 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g$ )의 전치(transpose)를 표시했다.

This assignment of a unique ${\displaystyle \lambda g}$ to each ${\displaystyle g}$ establishes an isomorphism of hom-sets, ${\textstyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y}).$$}$

${\displaystyle Z}$ Y ${\$이(가) 모든 객체 $Z{\displaystyle }$, Y ${\displaystyle Z$에 대해 존재한다면$,$$Y}$ in ${\displaystyle \mathbf {C} }$, then the functor ${\displaystyle (-)^{Y}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ defined on objects by ${\displaystyle Z\mapsto Z^{Y}}$ and on arrows by ${\displaystyle (f\colon X\to Z)\mapsto (f^{$$Y}\colon X^{Y}\to Z^{Y$는 제품 ${\displaystyle \mathrm{펑터}}$ -${\displaystyle \times }$ Y ${\displaystyle -\time Y}$에 대한 오른쪽 연결점이다$.$ 이러한 이유로 형태론 $isms{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ $[\displaysty \lambda g}$ 및 $g$ ${\displaystysty$ g$}$을 지수 연결점이라고 부르기도$$ 한다.^[3]

등가 정의

또는 지수 객체는 방정식을 통해 정의할 수 있다.

• $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \lambda g}$의 존재는 $\lambda {\displaystyle }$- ${\displaystyle \lambda -}$의 작동으로 보장된다$.$
• Commutativity of the diagrams above is guaranteed by the equality ${\displaystyle \forall g\colon X\times Y\to Z,\ \mathrm {eval} \circ (\lambda g\times \mathrm {id} _{Y})=g}$.
• Uniqueness of ${\displaystyle \lambda g}$ is guaranteed by the equality ${\displaystyle \forall h\colon X\to Z^{Y},\ \lambda (\mathrm {eval} \circ (h\times \mathrm {id} _{Y}))=h}$.

보편적 재산

The exponential ${\displaystyle Z^{Y}}$ is given by a universal morphism from the product functor ${\displaystyle -\times Y}$ to the object ${\displaystyle Z}$. This universal morphism consists of an object ${\displaystyle Z^{Y}}$ and a morphism ${\textstyle \math$$rm {eval} \colon (Z^{Y}\time Y)\오른쪽$ 화살표 $Z}$.

예

집합 범주에서 지수 객체 ${\displaystyle Z^{}}$ Y ${\$ Z$^{Y}$는 모든 함수 $Y{\displaystyle }$→ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y\to Z}$의 집합이다$.$^[4] The map ${\displaystyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$ is just the evaluation map, which sends the pair ${\displaystyle (f,y)}$ to ${\displaystyle f(y)}$. For any map ${\displaystyle g\colon (X\times Y)\rightarrow Z}$ the map ${\displaystyle \lambda g:X\to Z^{}}$${\$$Y}$은$$$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 커스터드 형식:

$[\displaystyle \lambda g(x)(y)=g(x,y)]\,}$

헤이팅 대수 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$는 모든 지수 물체를 가진 경계 격자일 뿐이다$$. Heyting 시사점, $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$는$$${\displaystyle Z^{}}$ Y ${\$ Z$^{Y}$의 대체 표기법이다$.$ 위의 연결 결과는 시사점${\displaystyle (\Rightarrow :}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle H}$→ H ${\displaystyle \Rightarrow$:${\displaystyle H}$$\time H\to H$을(를) 만날 수 있는 적절한 장소( ${\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle H}$→ H ${\displaystyle \wedge$:$H\time H\to$ H$}.$ 이 부속서는${\displaystyle }$( -${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle ⊣}$ ${\displaystyle (Y}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$- )${\displaystyle (-\wedge$ Y$)\dashv (Y\Rightarrow -)}$ 또는$$더 완전하게 다음과 같이 쓸 수 있다.

위상학적 공간 범주에서 $Y{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $Z$$^{Y$$}$가 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간인 $경우{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {지수}^{}}$ 객체$$Z Y {\$displaystyle$ Z^{Y$}$가 존재한다$$. 이 경우 공간 ${\displaystyle Z^{}}$ Y ${\$는 콤팩트 오픈 토폴로지와 함께$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에서 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$까지의 모든 연속 함수의 집합이다$$. 평가 지도는 집합의 범주에서와 동일하며, 위의 위상과 연속된다.^[5] $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 로컬 컴팩트 Hausdorff가 아닐$$ 경우 지수 객체가 존재하지 않을 수 있다($Z{\displaystyle {}^{}}$ Y ${\$ Z$^{Y}$ ${\displaystyle {공간}^{}}$은 여전히$$ 존재하지만 평가 함수가 연속적일 필요가 없으므로 지수 객체가 되지 않을 수 있다). 이러한 이유로 위상학적 공간의 범주는 데카르트적으로 닫히지 않는다. 그러나 Z ${\displaystyle Y^{}}$ ${\$$displaystyle$ $Z^{$$Y}}$ 로컬$$ 소형 공간에 대해 로컬로 압축할 필요가$$ 없으므로 로컬 소형 위상학적 공간의 범주도 카트리지어 닫히지 않는다$.$ $예$를 들어$,$ 카트리지어 닫힌 공간의 범주는 t에 의해 확장된 전체 하위 범주에 의해 주어진다.그는 하우스도르프 공간을 압축적으로 만들었다.

기능 프로그래밍 언어에서 형태론 ${\displaystyle \mathrm{평가판}}$ ${\displaystyle \operatorname {eval} }$을(를) 적용$${\$displaystyle$\$operatorname$${apply}$}이라고 하며$,$ 구문 ${\displaystyle g}$ g$$${\displaysty \lambda$$$g}은$$ $g)$로 쓰는 경우가 많다$.$ 여기에서모피즘 평가{\displaystyle \operatorname{심리 검사}}은(는)인용된 식을 평가하는 일부 프로그래밍 언어의 평가 함수와 혼동해서는 안 된다.

참고 항목

• 폐쇄단면분류

메모들

참조

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006) [1990]. Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats). John Wiley & Sons.
• Awodey, Steve (2010). "Chapter 6: Exponentials". Category theory. Oxford New York: Oxford University Press. ISBN 978-0199237180.
• MacLane, Saunders (1998). "Chapter 4: Adjoints". Categories for the working mathematician. New York: Springer. ISBN 978-0387984032.

외부 링크

• 지수 객체 및 기타 범주형 구성의 예를 생성하는 대화형 웹 페이지. 조슬린 페인이 썼어