반대 카테고리

범주 이론에서 수학의 한 분야, 주어진 범주 C의 반대 범주 또는 이중 범주 C는^op 형태론을 반대로 하여 형성된다. 즉, 각 형태론의 근원과 대상을 서로 바꾸어 놓는다.반전을 두 번 하면 원래의 범주가 되기 때문에 반대 범주의 반대는 원래 범주 자체가 된다.기호에서${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}{}^{}{\text{op}}^{}}$ ) ${\displaystyle {\text{op}}^{}}$= ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (C^{\text{op}})^{\text{op}=C}$.

예

• 불평등의 방향을 부분 순서로 뒤집는 데서 그 예가 나온다.따라서 X가 세트이고 ≤ 부분 주문 관계인 경우 ≤^op에 의해 새로운 부분 주문 관계를 정의할 수 있다.

x ≤^op y if and only y ≤ x.

이 새로운 질서는 일반적으로 dual의 이중질서로 불리며, 대부분 ≥으로 표기된다.그러므로 이중성은 질서 이론에서 중요한 역할을 하며 모든 순수의 이론적 개념은 이중성을 가진다.예를 들어, 반대 쌍의 자식/부모, 후손/앵커, 최소/최소, 하향 설정/업셋, 이상/필터 등이 있다.이러한 주문 이론적 이중성은 모든 주문 집합을 범주로 이해할 수 있기 때문에 반대 범주를 구성하는 특별한 경우다.

• sem그룹(S, ·)을 주어지면, 보통 반대되는 sem그룹을 (S,^op ·) = (S, *)로 정의하는데, 여기서 x*y ≔ y·x는 S의 모든 x,y이다.그래서 세미그룹에도 강력한 이중성 원칙이 있다.분명히, 같은 구조가 그룹에게도 작용하며, 링 이론에서도 알려져 있는데, 링 이론에서는 반지를 주기 위해 링의 승법적인 세미그룹에 적용되는 경우도 있다.다시 말하지만, 이 과정은 해당 반대 범주를 취하여 단일 그룹에 대한 세미그룹을 완료한 다음, 그 단원에서 단위를 제거하는 것으로 설명할 수 있다.
• 부울알헤브라와 부울동형식의 범주는 스톤공간과 연속함수의 범주와 정반대되는 것과 같다.
• 아핀 체계 범주는 교환 고리 범주의 반대 범주와 동일하다.
• 폰트랴긴의 이중성은 콤팩트 하우스도르프 아벨의 위상학적 그룹과 (구체적) 아벨리아 그룹의 반대편 범주 사이의 동등성으로 제한된다.
• Gelfand-Neumark 정리에서는 국소적으로 측정할 수 있는 공간의 범주(측정 가능한 지도 포함)는 정류형 폰 노이만 알헤브라스(*-알게브라의 정상적인 단이탈 동형성 포함)의 범주와 동일하다.^[1]

특성.

반대쪽은 제품을 보존한다.

${\displaystyle (C}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle D{}^{}}$) ${\displaystyle {\text{op}}^{}{\text{op}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{op}}^{}}$ ${\$ D$)^{\text{op}}\cong C^{\text{op}\time$ D$^{\text{op}}}}}}($제품 카테고리 참조)

반대쪽은 펑커를 보존한다.

${\displaystyle (\mathrm {Funct} (C,D))^{\text{op}}\cong \mathrm {Funct} (C^{\text{op}},D^{\text{op}})}$^[2][3] (see functor category, opposite functor)

반대쪽은 슬라이스 보존:

${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle G{}^{}}$)${\displaystyle {\text{op}}^{}}$ op${\displaystyle {}^{}}$op${\displaystyle {}^{}}$op op ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{op}}^{}}$op )$${\$displaystyle (F\downarrow G)^{\text{op}\cong (G^{\text{op}\downarrow$ F$^{\text}}}\$comma 범주 참조$)$

참고 항목

• 이중 객체
• 이중(범주론)
• 이중성(수학)
• 보조 펑터
• 상쇄성 펑터
• 반대편 펑터

참조

• nLab의 반대 범주
• Danilov, V.I. (2001) [1994], "Dual Category", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Mac Lane, Saunders (1978). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). New York, NY: Springer New York. p. 33. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.
• Awodey, Steve (2010). Category theory (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. pp. 53–55. ISBN 978-0199237180. OCLC 740446073.