심플렉스 카테고리

수학에서 심플렉스 범주(또는 단순 범주 또는 비어 있지 않은 유한 서수 범주)는 비어 있지 않은 유한 서수 및 순서 보존 맵의 범주다.그것은 단순하고 비위생적인 물체를 정의하는데 사용된다.

형식 정의

심플렉스 범주는 보통 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$로 표시된다$.$ 이 범주에는 몇 가지 동등한 설명이 있다.${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta }$은(는) 비어 있지 않은 유한 서수의 범주로, 완전히 순서 집합으로 생각되며, (비강제적으로) 순서 보존 함수를 형태론으로 설명할$$ 수 있다.개체는 일반적으로${\displaystyle }$[${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }${ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle [n]=\{0,1,\dots,n\}}}($따라서 [${\displaystyle n}{\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$[${\displaystyle \mathrm{n}}$$]$은 서수 $n{\displaystyle }$+ 1 ${\displaystyn+1})$로 표시된다.$$범주는 코페이스 및 코드 생성 맵에 의해 생성되며, 이는 순서의 요소를 삽입하거나 삭제하는 양이다.(이 지도에 대한 내용은 단순 세트를 참조하십시오.)

단순화된 물체는 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$에 대한 사전 검사로,$$$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$에서 다른$$ 범주로의 왜곡된 펑터다.예를 들어, 단순 집합은 코도메인 범주가 집합의 범주가 되는 것과 상반된다.균사체는 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$에서 발생하는 공변량 펑터로 유사하게 정의된다$.$

증강 심플렉스 카테고리

The augmented simplex category, denoted by ${\displaystyle \Delta _{+}}$ is the category of all finite ordinals and order-preserving maps, thus ${\displaystyle \Delta _{+}=\Delta \cup [-1]}$, where ${\displaystyle [-1]=\emptyset }$. Accordingly, this category might also be denoted FinOrd.증강 심플렉스 카테고리를 대수학자의 심플렉스 카테고리라고 부르기도 하며, 위의 버전은 토폴로지학자의 심플렉스 카테고리라고 부른다.

$\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$+ ${\$에 정의된 역변성 펑터를 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$+ ${\$\Delta $_{+}$ Δ + {\displaystyle \$Delta$ _{+}}에서 정의한 공변성 펑터를 Δtemptorcomplex commonical or라고 한다$$$$. 예를 들어 코드 카테고리가 세트의 범주인 경우, 강화 setitical setitical setectors and \crimissionalone setectorcremissionallemental각각 증강된 균사체 세트.

증강 심플렉스 카테고리는 심플렉스 카테고리와는 달리 자연스러운 단면 구조를 인정한다.단면제품은 선형순서의 결합에 의해 주어지며, 단위는 빈 서수${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-1]}($단위가 부족하면 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta$})에 단면구조가 되는 것을 막을 수 있다.$$$$실제로 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$+ ${\$은(는) 단일 모노이드 객체에 의해 자유롭게 생성되는 모노이드 범주로서$,{\displaystyle }$ [${\displaystyle 0}$] ${\displaystyle [0]$이 부여하며, 가능한 고유한 단위와 곱셈을 가지고$$ 있다.이 설명은 단일체 범주의 모든 코모노이드 물체가 단순화된 물체를 생성하는 방법을 이해하는 데 유용하다. 단조체를 포함하는 단일체 범주에 대한$$ $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\text{op}}_{}^{}}$ ${\$의 functor 이미지로 볼 수 있기 때문이다. 즉, 단순체를 획득하는 증강을 잊어버림.반대하다마찬가지로, 이는 또한 모노드를 내복자 범주에서 모노이드 개체로 볼 수 있기 때문에 모노드(따라서 조정자)로부터 단순한 물체의 구성을 조명한다.

증강 심플렉스 카테고리는 콤팩트한 폐쇄 카테고리의 간단한 예를 제공한다.

참고 항목

• 단순분류
• PROP(범주 이론)
• 추상적 단순화 복합체

참조

• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Simplicial Homotopy Theory. Progress in Mathematics. Vol. 174. Basel–Boston–Berlin: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN 978-3-7643-6064-1. MR 1711612.

외부 링크

• nLab의 Simplex 범주
• 심플렉스 카테고리의 특별한 점은?