이퀄라이저(수학)

수학에서 이퀄라이저는 둘 이상의 함수가 동일한 값을 갖는 일련의 인수를 말한다.이퀄라이저는 방정식의 해법 집합이다.어떤 맥락에서 차이 커널은 정확히 두 함수의 등가물이다.

정의들

X와 Y를 설정해 두어라.f와 g를 X에서 Y까지 모두 함수가 되게 하라.그런 다음 f와 g의 이퀄라이저는 f(x)가 Y의 g(x)와 같도록 X의 원소 집합이다.상징적으로:

${\displaystyle \operatorname {Eq}(f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}}$

이퀄라이저는 Eq(f, g) 또는 해당 테마(예: 소문자 "eq")로 표기될 수 있다.비공식적인 맥락에서 {f = g} 표기법은 일반적이다.

위의 정의는 f와 g 두 가지 함수를 사용했지만, 두 가지 함수에 대해서만, 또는 심지어 미세하게 많은 함수에 대해서만 제한할 필요는 없다.일반적으로 F가 X에서 Y까지의 함수 집합인 경우, F의 멤버의 등가기는 X의 요소 집합으로 F의 두 멤버 f와 g를 감안할 때, f(x)는 Y의 g(x)와 같다.상징적으로:

${\displaystyle \operatorname {Eq}({\mathcal {F}):=\{x\in X\mid \f,g\in {\mathcal {F},\;f(x)=g(x)\}}$

$이퀄라이저$는 F {\$displaystyle {\mathcal$ {F}이$($가) {f, g$,$ h, ...} 집합인 경우 Eq(f, g, h, ...)로 쓸 수 있다.후자의 경우에도 비공식적인 맥락에서 {f = g = h = ···}을(를) 발견할 수 있다.

일반 정의의 퇴보적인 경우로서 F를 싱글톤 {f}이(가) 되게 한다.f(x)는 항상 그 자체와 같기 때문에, 이퀄라이저는 전체 도메인 X가 되어야 한다.더욱 타락한 경우로서 F를 빈 세트로 한다.그러면 이퀄라이저는 다시 전체 도메인 X가 되는데, 이는 정의의 보편적 정량화가 공허하게 참이기 때문이다.

차이 커널

2진수 이퀄라이저(즉, 두 함수의 이퀄라이저)를 차이 커널이라고도 한다.DiffKer(f, g), Ker(f, g) 또는 Ker(f - g)로 표시될 수도 있다.마지막 표기법은 이 용어가 어디에서 왔으며, 추상대수의 맥락에서 왜 가장 일반적인지를 보여준다.f와 g의 차이 커널은 단순히 차이 f - g의 차이 커널이다.나아가 단일함수 f의 커널은 차이 커널 Eq(f, 0)로 재구성할 수 있으며, 여기서 0은 값이 0인 상수함수다.

물론, 이 모든 것은 함수의 커널이 그 함수 아래 영의 프리이미지인 대수적 맥락을 가정한다; 그것은 모든 상황에서 사실이 아니다.그러나 '차이 커널'이라는 용어는 다른 뜻이 없다.

범주론에서

이퀄라이저는 범용적 속성으로 정의될 수 있으며, 이를 통해 개념은 집합 범주에서 임의 범주로 일반화될 수 있다.

일반적인 맥락에서, X와 Y는 객체인 반면, f와 g는 X에서 Y까지의 형태론이다.이러한 물체와 형태는 해당 범주에 있는 도표를 형성하며, 이퀄라이저는 단순히 그 도표의 한계일 뿐이다.

In more explicit terms, the equaliser consists of an object E and a morphism eq : E → X satisfying ${\displaystyle f\circ eq=g\circ eq}$, and such that, given any object O and morphism m : O → X, if ${\displaystyle f\circ m=g\circ m}$, then there exists a unique morphism u : O → E such that ${\displaystyle eq\circ u=}$${\displaystyle m}$ $[\displaystyle eq\put u=m$

형태론 $m{\displaystyle }$: ${\displaystyle O}$→ X ${\displaystyle m:$${\displaystyle O\backslash }$$rightarrow X$$}$은(는) ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$과$(와$) $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$을(를) 동일시한다고 한다$$$.$^[1]

차이 커널이 사용되는 범주를 포함한 모든 범용 대수학 범주에서, 그리고 집합 자체의 범주에서, 개체 E는 항상 이퀄라이저의 일반적인 개념으로 받아들여질 수 있으며, 그 경우에 형태론 eq는 X의 하위 집합으로서 E의 포함 함수로 받아들여질 수 있다.

이것을 세 개 이상의 형태론에 일반화하는 것은 간단하다; 단지 더 많은 형태론이 있는 더 큰 도표를 사용하라.오직 하나의 형태론만이 퇴보하는 경우는 또한 간단하다; 그렇다면 eq는 물체 E에서 X까지의 어떤 이형질일 수 있다.

형태론이 없는 퇴행형 사례에 대한 올바른 도표는 약간 미묘하다. 처음에 X와 Y 물체로 구성되고 형태론이 없는 것으로 도표를 그릴 수 있다.그러나 이러한 도표의 한계는 이퀄라이저가 아니라 X와 Y의 산물이기 때문에 이는 부정확하다. (그리고 실제로 제품과 이퀄라이저는 다른 개념이다. 제품의 설정 이데올로기적 정의는 위에서 언급한 이퀄라이저의 설정 이데아 정의와 일치하지 않기 때문에 실제로 다르다.)대신 모든 이퀄라이저 다이어그램은 Y가 다이어그램에 나타나는 형태론의 코도메인이기 때문에 Y를 포함한 X와 근본적으로 관계가 있다는 것이 적절한 통찰이다.이 관점으로, 만약 관련된 형태론이 없다면, Y는 모습을 나타내지 않으며, 이퀄라이저 도표는 X만으로 구성된다.이 도표의 한계는 E와 X 사이의 모든 이형성이다.

어떤 범주에서든 평등주의란 단형주의임을 증명할 수 있다.만약 역이 주어진 범주에 속한다면, 그 범주는 (단형성의 의미에서) 규칙적이라고 한다.더 일반적으로, 어떤 범주에서든 규칙적인 단형주의는 어떤 형태론의 집합의 균등화인 어떤 형태주의 m이다.어떤 저자들은 m이 정확히 두 형태론의 등가물인 이항 이퀄라이저라고 좀 더 엄격하게 요구한다.그러나 해당 범주가 완전한 경우 두 정의가 모두 일치한다.

차이 커널의 개념은 범주-이론적 맥락에서도 타당하다."차이 커널"이라는 용어는 이진 이퀄라이저에 대한 범주 이론 전반에 걸쳐 공통적이다.사전 가독성 범주(아벨리아 집단의 범주보다 강화된 범주)의 경우, 형태론의 뺄셈이 이치에 맞기 때문에 문자 그대로 "차이 커널"이라는 용어가 해석될 수 있다.즉, Eq(f, g) = Ker(f - g)이며 여기서 Ker는 범주-이론적 커널을 나타낸다.

파이버 제품(풀백)과 제품이 포함된 모든 범주는 동등성을 가진다.

참고 항목

• 이퀄라이저 정의에서 화살표를 반대로 하여 얻은 이중 개념인 코퀄라이저.
• 이퀄라이저에 대한 위상학적 접근방식인 우연의 일치 이론은 위상학적 공간을 배경으로 한다.
• 풀백(Pullback), 이퀄라이저와 제품으로 구성 가능한 특수 한계.

메모들

참조

• 이퀄라이저(nLab)

외부 링크

• 유한 집합의 범주에 있는 동등자의 예를 생성하는 인터랙티브 웹 페이지.조슬린 페인이 썼어