고차원대수학
Higher-dimensional algebra수학, 특히 (높은) 범주 이론에서 고차원 대수학은 분류된 구조를 연구하는 학문이다. 비아벨식 대수 위상에서의 응용을 가지고 있으며, 추상 대수학을 일반화한다.
고차원 범주
고차원 알헤브라를 정의하기 위한 첫 번째 단계는 상위 카테고리 이론의 2-범주 개념이고, 그 다음으로 이중 카테고리의 '지오메트리' 개념이다.[1][2]
따라서 상위 수준 개념은 범주의 범주 또는 슈퍼 범주로 정의되며, 범주의 개념은 보다 높은 차원으로 일반화된다. – 추상 범주(ETAC)의 기본 이론에 대한 로베리아의 공리 해석인 구조로 간주된다.[3][4] Ll.
따라서,[5][6] 슈퍼카테고리 및 슈퍼카테고리 역시 메타카테고리,[7] 다중카테고리, 다중그래프, k-partite 그래프 또는 컬러 그래프(색채 그림 참조, 그래프 이론에서의 정의 참조)의 개념을 자연적으로 확장한 것으로 볼 수 있다.
슈퍼카테고리들은 1970년에 처음 도입되었고,[8] 이후 이론물리학(특히 양자장 이론과 위상 양자장 이론)과 수학 생물학 또는 수학적 생물물리학에 응용하기 위해 개발되었다.[9]
고차원 대수학의 다른 경로로는 바이카테고리, 바이카테리어의 동형질성, 가변 범주(일명, 지수 또는 파라메타이드 범주), 토포이, 유효 강하, 농축 및 내부 범주가 포함된다.
이중 조로이드
고차원 대수학(HDA)에서, 더블 그룹오이드는 1차원 그룹오이드를 2차원으로 일반화하는 것으로,[10] 후자 그룹오이드는 모든 반전성 화살표, 즉 형태론을 가진 범주의 특수한 경우로 간주할 수 있다.
Double groupoids는 종종 고차원 다지관(또는 n차원 다지관)과 같은 기하학적 물체에 대한 정보를 포착하기 위해 사용된다.[11] 일반적으로 n차원 다지관은 국소적으로는 n차원 유클리드 공간처럼 보이지만 지구 구조가 비유클리드 공간일 수 있는 공간이다.
이중의 조로이드는 1976년에 Ronald Brown에 의해 ref.[11]에 처음 도입되었고, 비아벨식 대수 위상에서의 응용을 위해 추가적으로 개발되었다.[12][13][14][15] 관련된 '이중' 개념은 이중 알헤브로이드의 개념이며, R-알제브로이드의 개념은 보다 일반적이다.
비아벨 대수 위상
적용들
이론물리학
양자장 이론에는 양자 범주가 존재한다.[16][17][18] 양자 이중 그룹화.[19] 양자 이중조직을 2폭자를 통해 정의한 기본조직을 생각할 수 있는데, 이를 통해 2폭분법 스판(Groupoids)의 관점에서 물리적으로 흥미로운 양자기본조형(QFGs) 사례를 생각해본 뒤 다지관과 거미집을 위한 2-힐버트 공간과 2선형 지도를 구축할 수 있다. 다음 단계에서는 이러한 2-기능의 자연적 변형을 통해 모서리와 함께 코보디즘을 얻는다. 그 후 게이지 그룹 SU(2), "확장 TQFT, 또는 ETQFT는 양자 중력의 폰자노-레게 모델에 준하는 이론을 제시한다"는 주장이 제기되었다.[19] 마찬가지로 투레프-바이로q 모델은 SU(2)의 표현으로 획득될 것이다. 따라서 게이지 이론의 상태 공간, 또는 많은 종류의 양자장 이론(QFT)과 국소 양자 물리학에서, 예를 들어 게이지 이론의 경우, 게이지 이론의 경우, 게이지 변환이 연결인 상태에 작용하는 게이지 변환에 의해 주어진 변환 그룹오이드의 관점에서 설명할 수 있다. 양자 그룹과 관련된 대칭의 경우, 그룹노이드의 표현 범주인 2 벡터 공간 대신 양자 그룹오이드의 표현 범주인 구조를 얻게 된다.[16]
참고 항목
- 범주 이론 및 관련 수학 연표
- 상위분류론
- 로널드 브라운
- 리알헤브로이드
- 더블그룹로이드
- 아나벨 기하학
- 비확정 기하학
- 범주형 대수학
- 그로텐디크의 갈루아 이론
- 그로텐디크 위상
- 위상역학
- 범주형 역학
- 교차 모듈
- 의사게브라
- 양자 물리학의 적용 영역:
메모들
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추가 읽기
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- Brown, R.; Spencer, C.B. (1976). "Double groupoids and crossed modules". Cahiers Top. Géom. Diff. 17: 343–362.
- Brown, R.; Mosa, G.H. (1999). "Double categories, thin structures and connections". Theory and Applications of Categories. 5: 163–175.
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- 많은 참고문헌이 있는 웹 기사에서는 어떻게 groupoid 개념이 homotopy 이론과 group chomology에 응용되어 그룹 이론에서는 이용할 수 없는 고차원 groupoids 개념으로 이어지게 되었는지를 설명하고 있다Brown, R. "Higher dimensional group theory"..
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- R., Brown (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4. 1968년과 1988년에 이전에 출판된 책의 개정판과 연장판. e-버전은 웹사이트에서 이용할 수 있다.
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