모델 카테고리

수학에서, 특히 호모토피 이론에서, 모델 범주는 '약한 동등성', '파이버레이션', 그리고 그것과 관련된 특정 공리를 만족시키는 '공칭성'이라고 불리는 형태론의 구별된 분류('화살표')를 가진 범주다.위상학적 공간 또는 연쇄 복합체(원래 범주 이론)의 범주에서 이러한 추상화.이 개념은 다니엘 G. 퀼렌(1967년)에 의해 소개되었다.

최근 수십 년 동안, 모델 카테고리의 언어는 대수 K 이론과 대수 기하학의 일부 부분에서 사용되어 왔으며, 여기서 호모토피-이론적 접근은 깊은 결과로 이어졌다.

동기

모델 카테고리는 호모토피 이론에 자연적인 설정을 제공할 수 있다: 위상학적 공간의 카테고리는 모델 카테고리로서 일반적인 이론에 해당하는 호모토피를 가지고 있다.마찬가지로 공간이라고 생각되는 물체는 단순 집합의 범주처럼 모형 범주 구조를 인정하는 경우가 많다.

또 다른 모델 카테고리는 정류 링 R에 대한 R-모듈의 체인 복합체 카테고리다.이 맥락에서 호모토피 이론은 동질적 대수학이다.호몰로지(homology)는 호모토피(homotopy)의 한 종류로 볼 수 있으며, 이 이론의 첫 번째 주요 적용 분야 중 하나인 집단과 R-algebras와 같은 다른 개체에 대한 호몰로지 일반화가 가능하다.동질학에 관한 위의 예 때문에, 닫힌 모델 범주에 대한 연구는 동질 대수로 생각되기도 한다.

형식 정의

퀼렌이 처음에 제공한 정의는 폐쇄형 모델 범주의 정의였으며, 그 당시 가정은 강력해 보였으며, 다른 사람들이 모델 범주를 정의하기 위한 일부 가정을 약화시키도록 동기를 부여했다.실제로 그 구별은 유의미한 것으로 증명되지 않았으며 가장 최근의 작가들(예: 마크 호비, 필립 허쉬혼)은 폐쇄적인 모델 범주로 작업하고 형용사 'closed'를 간단히 삭제한다.

정의는 범주의 모델 구조와 그 범주에 대한 추가 범주형 조건의 정의로 분리되었다. 이 정의의 필요성은 처음에는 동기가 없어 보이지만 나중에 중요하게 될 수 있다.다음 정의는 호비가 준 정의를 따른다.

범주 C의 모델 구조는 다음과 같은 공리에 따라$$ 취약한 등가성, 섬유성 및 코파이브레이션의 세 가지 구별되는 등급과 두 가지 펑토성 인자화$({\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle (\alpha ,\beta$) 및 $({\displaystyle \gamma }$ ,${\displaystyle \Delta }$ $){\displaystystyle (\gma ,\delta$ )로$$ 구성된다$.$또한 약한 등가성이기도 한 진동을 ACyclic (또는 사소한) 진동이라고^[1] 하며, 또한 약한 등가성이기도 한 교정을 Acyclic (또는 사소한) 진동(또는 아노디네 형태론)이라고 부른다.

공리

1. 수축: g가 구별되는 등급 중 하나에 속하는 형태론이고, f가 g의 수축(화살표 $범주{\displaystyle {}^{}}$ C ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{2$ 여기서 2는 2-element 순서 집합)인 경우, f는 동일한 구분 등급에 속한다.명시적으로 f가 g의 수축이라는 요건은 i, j, r, s가 존재한다는 것을 의미하며, 다음과 같은 다이어그램이 통용된다.

   

2. 3개 중 2개: gf가 정의되는 C의 지도와 2개 중 어느 하나라도 약한 동등성이라면, 3번째도 마찬가지다.
3. 리프팅: 순환 공동은 섬유에 관한 왼쪽 리프팅 특성을 가지며, 교집합은 순환 섬유에 관한 왼쪽 리프팅 특성을 가진다.명시적으로, 다음 도표의 바깥쪽 사각형이 통근하고, 여기서 i는 교정이고 p는 교정이며, i 또는 p는 교정이면, 도표를 완성하는 h가 존재한다.

   

4. 인자화:
   • C의 모든 형태론 f는 진동 p와 반복적인 교정 i에 $대해$ p ${\displaystyle \circ }$ i ${\displaystyle p\circ i}$로 쓸 수 있다.
   • C에 있는 모든 형태론 f는 ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle p\circ i}$로 기록될 수 있다. acyclic fibration p와 coiibration i.

모델 카테고리는 모델 구조와 모든 (작은) 한계와 콜리미트를 가지는 카테고리, 즉 모델 구조를 가진 완전하고 완전한 카테고리를 말한다.

취약한 인자화 시스템을 통한 정의

위의 정의는 다음과 같은 동등한 정의로 간결하게 표현될 수 있다: 모델 범주는 범주 C이고 ( 소위) 약한 동등성 W, 섬유화 F, 공동조합 C의 세 등급이다.

• C는 모든 한계와 콜리미트를 가지고 있다.

• ${\displaystyle (C}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle (C\cap W,F)}$은(는) 약한 인자화 시스템이다.

• ${\displaystyle (C}$, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle W}$) ${\displaystyle (C,F\cap W)}$은(는) 약한 인자화 시스템이다.
• ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$은(는) 3개 속성 중 2개를 충족한다$$.^[2]

정의의 첫 번째 결과

공리는 세 가지 종류의 지도 중 어떤 두 가지 등급이 세 번째를 결정한다는 것을 암시한다(예: 공칭과 약한 동등성이 섬유화를 결정한다).

또한, 정의는 자기 이중화: C가 모델 범주라면, 반대 범주 $C{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle o^{}}$ p ${\$mathcal{C$}^{op}}}$도 모델 구조를 인정하여 약한 동등성이 자신의 반대, 코파이브레이션의 반대, 섬유화 및 섬유화 반대편에 대응하도록 한다.

예

위상학적 공간

위상학 공간의 범주인 Top은 일반적인 (Sere) 섬유와 약한 동등성을 가진 표준 모델 범주 구조를 약한 호모토피 동등성으로 인정한다.코피본은 여기서 흔히 볼 수 있는 개념이 아니라, 오히려 반복 세레 섬유에 관한 왼쪽 리프팅 특성을 갖는 좁은 등급의 지도들이다.동등하게, 그것들은 호베이의 모델 범주에서 설명했듯이 상대적 세포 복합체의 수축이다.이 구조는 고유하지 않다. 일반적으로 주어진 범주에는 많은 모델 범주 구조가 있을 수 있다.위상학적 공간의 범주에 대해서는 후레위츠 섬유와 표준 공동체에 의해 또 다른 그러한 구조가 주어지며, 약한 동등성은 (강력한) 호모토피 동등성이다.

체인 콤플렉스

R-모듈의 (부정 등급의) 체인 복합체 범주는 최소한 두 가지 모델 구조를 가지고 있으며, 이 두 구조는 모두 동질 대수학에서 두드러지게 나타난다.

• 약한 동등성은 동종학에서 이형성을 유도하는 지도.
• 코피브레이션은 투영 코커넬이 있는 각 도에서 단형화된 맵이다.
• 섬유화는 각 0도가 아닌 각도에서 경구체인 지도다.

또는

• 약한 동등성은 동종학에서 이형성을 유도하는 지도.
• 섬유화는 주입성 커널이 있는 각도에서 경구체인 맵이다.
• 코피브레이션은 각 0도가 아닌 도에서 단모형인 지도들이다.

이것은 왜 R-modules의 Ext-groups를 계획적으로 해결하거나 주입적으로 대상을 결정함으로써 계산할 수 있는지를 설명한다.이들은 각 모델 구조에서 동일 평면 또는 섬유 대체물이다.

R-modules의 임의 체인 복합체 범주는 다음과 같이 정의되는 모델 구조를 가지고 있다.

• 약한 동등성은 연쇄 동종류의 체인 호모토피 동등성이다.
• 코이브레이션은 기초 R-모듈의 형태로서 분할되는 단형성이다.
• 섬유화는 기초 R-모듈의 형태로서 분할되는 경구형성이다.

추가 예

모델 구조를 인정하는 다른 범주의 예로는 모든 작은 범주의 범주, 모든 작은 Grotendieck 부위의 단순화된 집합 또는 단순화된 프리히브의 범주, 위상학적 스펙트럼 범주, 작은 Grotendieck 부위의 단순화된 스펙트럼 또는 프리히브의 범주가 포함된다.

범주 내 단순화된 물체는 모델 범주의 빈번한 원천이다. 예를 들어 단순화된 조합 고리 또는 단순화된 R-모듈은 자연 모델 구조를 허용한다.이는 단순한 조합과 단순한 조합 고리(건망증 및 자유공작자가 부여함) 사이에 결합이 있고, 좋은 경우에는 부속물 아래에서 모형 구조물을 들어올릴 수 있기 때문이다.

단순 모델 범주는 단순 구조와 호환되는 모델 구조를 가진 단순 범주다.^[3]

범주 C와 모델 범주 M을 고려할 때, 특정 추가 가설에서 펑터 펑(C, M) 범주(M에서는 C-다이아그램이라고도 함)도 모델 범주가 된다.사실, 구별되는 모델 구조에는 항상 두 명의 후보가 있다. 한 가지에서 소위 투영 모델 구조, 섬유 및 약한 동등성은 C의 각 개체에서 평가할 때 섬유화 및 약한 동등성인 펑커스의 맵이다.일반적으로 주입 모델 구조는 공분사 및 약한 동등성과 유사하다.두 경우 모두 세 번째 등급의 형태는 리프팅 조건에 의해 주어진다(아래 참조).C범주가 리디 범주일 때 투영형과 주입형 사이에 제3의 모델 구조가 놓여 있는 경우도 있다.

동일한 기본 범주의 새로운 모델 카테고리 구조에서 특정 맵이 약한 동등성이 되도록 강요하는 과정을 부스필드 현지화라고 한다.예를 들어, 단순화 피복의 범주는 단순화 프레시브 모델 범주의 부스필드 국산화로서 얻을 수 있다.

데니스찰스 시신스키는 프리쉐프 카테고리에 대한 모델 구조 일반 이론을 개발했다^[4].

C가 모델 카테고리인 경우, C에서 프로 오브젝트의 카테고리 Pro(C)도 마찬가지다.그러나 프로(C)의 모델 구조는 C에 더 약한 공리 세트를 부과하여 구성할 수도 있다.^[5]

일부 공사

모든 폐쇄된 모델 범주에는 완전성에 의한 단자 객체 및 초자 물체가 있는데, 이들 물체는 각각 빈 다이어그램의 한계와 콜리밋이기 때문이다.모델 범주에서 개체 X가 주어지는 경우, 초기 개체에서 X까지의 고유 맵이 공진동이라면 X는 공진동이라고 한다.유사하게 X에서 단자 물체까지의 고유 지도가 진동이면 X는 섬유질이라고 한다.

만약 Z와 X가 Z가 동일하고 Z에서 X까지의 등가성이 약한 모델 범주의 객체라면, Z는 X에 대한 동일성 대체물이라고 한다.마찬가지로 Z가 섬유질이고 X에서 Z까지의 등가성이 약하다면 Z는 X에 대한 섬유질 대체물이라고 한다.일반적으로 모든 물체가 섬유질이나 공동섬유질인 것은 아니지만, 때로는 이런 경우도 있다.예를 들어, 모든 물체는 단순 집합의 표준 모델 범주에 속하며, 위상학적 공간에 대해 위에 제시된 표준 모델 범주 구조에 대해 모든 물체는 섬유상이다.

좌측 호모토피는 실린더 객체에 대해 정의되며 우측 호모토피는 경로 공간 객체에 대해 정의된다.이 개념들은 도메인이 공동선이고 코도메인이 섬유선일 때 일치한다.이 경우 호모토피는 호모토피 클래스를 발생시키는 모델 범주의 호모 집합에 대한 동등성 관계를 정의한다.

성질을 들어 올리는 방법에 의한 섬유 및 공동체의 특성

코피브레이션은 반복 섬유와 관련하여 왼쪽 리프팅 특성을 가진 맵으로 특징지어질 수 있으며, 반복적인 코피브레이션은 섬유와 관련된 왼쪽 리프팅 특성을 가진 맵으로 특징지어진다.마찬가지로, 섬유는 주기적인 결합과 관련하여 올바른 리프팅 특성을 가진 지도로 특징지어질 수 있으며, 주기적인 섬유는 결합에 관한 올바른 리프팅 특성을 가진 지도로 특징지어진다.

호모토피 및 호모토피 범주

모델 범주 C의 호모토피 범주는 취약한 등가 등급에 대한 C의 국산화다.이 호모토피 범주의 정의는 섬유와 공동체의 선택에 따라 달라지지 않는다.단, 섬유와 공동체의 종류는 서로 다른 방식으로 호모토피 범주를 기술하고 특히 범주의 일반 국부화에서 발생하는 설정-이론적 문제를 피하는 데 유용하다.좀 더 정확히 말하면, "모델 카테고리의 기본 정리"에 따르면 C의 호모토피 카테고리는 섬유질과 코파이브란트 둘 다인 C의 객체인 범주와 동일하며, 형태는 위에서 정의한 바와 같이 지도 좌호모피 클래스(동등, 우호모토피 클래스)인 범주와 동일하다.(예: Hovey별 모델 카테고리, Thm 1.2.10 참조)

이것을 위에 주어진 모델 구조를 가진 위상학적 공간의 범주에 적용하면, 결과적인 호모토피 범주는 CW 콤플렉스의 범주와 이름, 즉 연속 지도의 호모토피 클래스의 범주와 동일하다.

퀼렌 부속품

보조 펑커 한 쌍

$(\displaystyle F:C\왼쪽 화살표 D:G}$

두 가지 모델 범주 C와 D 사이에 F가 공변과 악순환 공정을 보존하거나 G가 섬유와 악순환 섬유들을 보존하는 폐쇄 모델 공리에 의해 동등하게 유지되는 경우 Quillen 부속물이라고 한다.이 경우 F와 G는 결합을 유도한다.

${\displaystyle LF:Ho(C)\좌우타로우 Ho(D):RG}$

호모토피 범주 사이에.후자가 등가성이라는 명확한 기준도 있다(F와 G는 그때 Quillen 등가성(Quillen 등가성(Quilen 등가성)이라고 한다.

대표적인 예가 단순 집합과 위상 공간 사이의 표준 부속물이다.

${\displaystyle - :\mathbf {sSet} \좌우타로우 \mathbf {top} :싱}$

단순한 집합의 기하학적 실현과 어떤 위상학적 공간의 단일한 사슬을 포함한다.sSet와 Top 카테고리는 동일하지 않지만, 호모토피 카테고리는 동일하다.따라서 단순 집합은 이러한 호모토피 범주의 동등성 때문에 위상학적 공간의 모델로 자주 사용된다.

참고 항목

• (1998,1)-기호
• 코키클 범주
• 안정적 모델 카테고리

메모들

참조

• 데니스찰스 시신스키:Les préfaisceau commes models d'homotopie, Astérisque, (308) 2006, xxiv+392 pp.
• Dwyer, William G.; Spaliński, Jan (1995), "Homotopy theories and model categories" (PDF), Handbook of algebraic topology, Amsterdam: North-Holland, pp. 73–126, doi:10.1016/B978-044481779-2/50003-1, MR 1361887
• 필립스Hirschhorn: 모델 카테고리 및 그들의 지역화, 2003, ISBN 0-8218-3279-4.
• Mark Hovey: 모델 카테고리, 1999, ISBN 0-8218-1359-5.
• 클라우스 하이너 캄프와 티모시 포터: 추상적인 호모토피와 단순한 호모토피 이론, 1997, 월드 사이언티픽, ISBN 981-02-1602-5.
• 조르주 말티니오티스:로호모토피 데 그로텐디크Astérisque, (301) 2005, vi+140 pp.

• Riehl, Emily (2014), Categorical homotopy theory, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781107261457, ISBN 978-1-107-04845-4, MR 3221774

• Quillen, Daniel G. (1967), Homotopical algebra, Lecture Notes in Mathematics, No. 43, vol. 43, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0097438, MR 0223432

추가 읽기

• "아직도 모델 카테고리가 필요한가?"
• "(1987,1)-모델 카테고리에서 직접 추출"
• Paul Goers and Kristen Schemerhorn, 모델 카테고리 및 단순화된 방법

외부 링크

• nLab의 모델 범주
• Joyal's catlab의 모델 카테고리