아고-기가 추측

숫자_k 이론에서, 베르누이 수 B에 대한 아고-기가의 추측에 의하면 p는 만약의 경우에 한해서만 프라임 수라고 한다.

${\displaystyle pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.}$

아고 다카시와 주세페 주가의 이름을 따서 지은 것이다.

등가제식

위에서 말한 추측의 근거는 아고 다카시(1990년)에 있다. 이와 동등한 공식은 1950년부터는 주세페 지우가에게, p는 만약의 경우에 한해서만 프라임이라는 효과에 기인한다.

${\displaystyle 1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod{pmod}}}}$

라고도 쓰일 수 있다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.}$

p가 prime이면 p가 prime이라면 Fermat의 작은 정리에서는 p가 prime이라고 기술하고 있기 때문에 p가 prime이 되는 것이 두 번째 등가성을 보유하기에 충분하다는 것을 보여주는 것은 사소한 일이다.

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod{p}}}$

$a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$- 1$\{\backslash$$displaystyle a=1,2,\displaystyle, p-1}$의 경우 p ${\displaystyle -}$ 1${\displaystyle \mathrm{and}}$ -${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle \mathrm{모드}}$ p${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle p-1\equiv -1{\pmod {p}$ 이후 동등성이 뒤따른다.$}$

상태

숫자 n이 prime(즉, n은 복합체)이 아니라면 공식이 유지되지 않는다는 것이 아직 증명되지 않았기 때문에 그 진술은 여전히 추측이다.합성수 n은 카마이클 번호와 기우가 숫자 둘 다일 경우에만 공식을 만족하며, 그러한 숫자가 존재할 경우 최소 1만3800자리(보르웨이인, 보르웨이인, 보르웨이인, 지르겐손 1996년)를 갖는 것으로 나타났다.라에르테 소리니, 마침내 2001년의 작품에서 가능한 백작 샘플은 10보다³⁶⁰⁶⁷ 큰 숫자 n이어야 한다는 것을 보여주었는데, 이는 기우가 자신의 추측에 명시한 데모 기법에 대해 베도치가 제시한 한계를 나타낸다.

윌슨의 정리와의 관계

아고-기가 추측에는 사실임이 입증된 윌슨의 정리와 유사성이 있다.윌슨의 정리에는 숫자 p는 만약의 경우에 한해 프라임이라고 되어 있다.

$(p-1)!\equiv -1{\pmod{p},}$

라고도 쓰일 수 있다.

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1i\equiv -1{\pmod {p}.}$

좀 이상한 p를 위해 우리는 가지고 있다.

${\displaystyle \pod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv(-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod{pmod},}$

그리고 p=2는 우리가 가지고 있다.

${\displaystyle \pod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv(-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}$

그러므로 아고-기가 추측의 진실은 윌슨의 정리와 결합되어 다음과 같은 것을 줄 것이다: 숫자 p는 만약의 경우에 한해 프라임이다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}}$

그리고

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}$

참조

• Giuga, Giuseppe (1951). "Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi". Ist.Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Sci. Mat. Natur. (in Italian). 83: 511–518. ISSN 0375-9164. Zbl 0045.01801.
• Agoh, Takashi (1995). "On Giuga's conjecture". Manuscripta Mathematica. 87 (4): 501–510. doi:10.1007/bf02570490. Zbl 0845.11004.
• Borwein, D.; Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Girgensohn, R. (1996). "Giuga's Conjecture on Primality" (PDF). American Mathematical Monthly. 103 (1): 40–50. CiteSeerX 10.1.1.586.1424. doi:10.2307/2975213. JSTOR 2975213. Zbl 0860.11003. Archived from the original (PDF) on 2005-05-31. Retrieved 2005-05-29.
• Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (in Italian). 68. ISSN 1720-9668.