정규 프라임
Regular prime
수 이론에서 규칙적인 프라임은 페르마의 마지막 정리의 특정 사례를 증명하기 위해 1850년 에른스트 쿠메르가 정의한 특별한 종류의 프라임 넘버다.규칙적인 소수점은 등급 번호 또는 베르누이 번호의 구분성을 통해 정의될 수 있다.
처음 몇 개의 정기적인 홀수 간격은 다음과 같다.
- 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 83, 89, 97, 109, 103, 127, 137, 139, 151, 151, 163, 167, 173, 173, 179, 181, 193, 199, … (OEIS에서의 순차 A007703).
역사와 동기
1850년, 쿠머는 p가 정규라면 페르마의 마지막 정리(Last Organization)가 1차 지수의 p에 대해 사실임을 증명했다.이것은 불규칙한 소수에게 주의를 집중시켰다.[1]1852년, 컬페치는 (p, p - 3)이 불규칙한 쌍이 아니라면, 페르마의 마지막 정리(Last Organization)의 첫 사례가 지수 p에 대한 사실임을 증명할 수 있었다.쿠메르는 1857년 페르마의 마지막 정리(소피 제르맹의 정리 참조)의 "첫 번째 경우"에 대해 (p, p - 3) 또는 (p, p - 5) 중 하나가 불규칙한 쌍이 되지 않는다는 것을 확립하기에 충분하다는 것을 보여줌으로써 이것을 더욱 개선했다.
Kummer는 불규칙적인 소수점 이하를 발견했다.1963년 레머는 최대 10000개의 결과를 보고했고, 1964년 셀리지와 폴락은 최대 25000개의 불규칙한 프리타임 표를 완성했다고 발표했다.비록 후자의 두 테이블이 인쇄물에 나타나지는 않았지만, 존슨은 (p, p - 3)은 사실 p = 16843에 대한 불규칙한 쌍이며, 이것이 p < 30000에 대해 처음이자 유일한 현상이라는 것을 발견했다.[2]1993년에 이런 일이 다음에 일어날 때는 p = 2124679인 것으로 밝혀졌다; Wolstenholme prime을 보라.[3]
정의
등급번호기준
홀수 소수 p는 p-th 사이클로토믹 필드 Q(classp number)의 등급 번호를 나누지 않으면 규칙적인 것으로 정의되며, 여기서 ζ은p 단결의 원시 p-th 루트로 OEIS: A000927에 나열된다.프라임 넘버 2도 종종 규칙적인 것으로 여겨진다.
사이클로토믹 필드의 등급 번호는 등가성까지의 정수 Z(ζp) 링의 이상 수입니다.Q( ideals)에 nonzerop u가 있어서 I = uJ가 될 경우 두 개의 이상 I, J는 동등한 것으로 간주된다.
쿠메르의 기준
에른스트 쿠메르(Kummer 1850)는 규칙성에 대한 동등한 기준이 p가 베르누이 숫자 B 중k 어느 하나의 분자를 k = 2, 4, 6, ..., p - 3으로 나누지 않는다는 것을 보여주었다.
이것이 클래스 번호 정의와 같다는 쿠머의 증거는 이 베르누이 숫자들 중 하나를 나누는 p의 어떤 결과를 기술하는 헤르브란트-리벳 정리에 의해 강화된다.
시겔의 추측
규칙적인 소수들이 무한히 많다고 추측되어 왔다.보다 정확하게 칼 루드비히 시겔(1964)은 자연 밀도에 대한 무증상적 의미에서 모든 소수 중 약 60.65%인 e가−1/2 규칙적이라고 추측했다.어떤 추측도 현재까지 증명되지 않았다.
불규칙 소수
규칙적이지 않은 홀수 프라임은 불규칙한 프라임(또는 아래에서 논의된 다른 유형이나 불규칙성과 구별하기 위한 베르누이 불규칙 또는 B-비정규)이다.처음 몇 개의 불규칙한 프리타임은 다음과 같다.
- 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, ... (sequence A000928 in the OEIS)
부정도
K. L. 옌센(그 외에는 알려지지 않은 닐슨[4] 학생)은 1915년에 4n + 3 형태의 불규칙한 소수들이 무한히 많다는 것을 증명했다.[5] 1954년 칼리츠는 일반적으로 불규칙한 소수들이 무한히 많다는 더 약한 결과에 대한 간단한 증거를 제시했다.[6]
Metzenkylé는 어떤 정수 T > 6에 대해서도 mT + 1 또는 mT - 1 형태가 아닌 불규칙한 소수들이 무한히 많다는 것을 증명했고,[7] 나중에 그것을 일반화했다.[8]
불규칙 쌍
p가 불규칙한 프라임이고 p가 베르누이 숫자 B의2k 분자를 0 < 2k < p - 1로 나눈다면, (p, 2k)를 불규칙한 쌍이라고 한다.즉, 불규칙한 prime p의 경우, 규칙성이 실패하는 베르누이 숫자의 특정 지수를 기록하기 위한 부기 장치다.처음 몇 쌍의 불규칙한 쌍(k가 주문한 경우)은 다음과 같다.
- (691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (22), (223, 22), (223, 22), (229, 22), (6294797, 24), (657931, 26), (9, 28), (362903, 28), (OEIS에서 연속 A189683).
n번째 불규칙한 프라임이 B를k 나누는 가장 작은 짝수 k는
- 32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, 126, 240, 196, 292, 292, 292, 94, 400, 86, 270, 222, 90, 22, 22, 186, 186, 186, 100, 200, 200, 200, 200, 200, 200, 382, 382, 382, 382, 292, 292, 292, 292, 292, 292, 186, 292, 292, 292, 292, 292,
주어진 prime p의 경우, 그러한 쌍의 수를 p의 불규칙성 지수라고 한다.[9]따라서, 프라임은 그것의 불규칙성 지수가 0일 경우에만 규칙적이다.마찬가지로, 프라임은 그것의 불규칙성 지수가 양수인 경우에만 불규칙하다.
(p, p - 3)은 사실 p = 16843의 불규칙한 쌍이며, p = 2124679의 쌍이라는 것이 밝혀졌다.p < 10에9 대해서는 더 이상 발생이 없다.
불규칙지수
p가 b를 나누고 k가2k (p - 1)/2보다 작은 경우에만 홀수 p는 불규칙한 지수를 갖는다.불규칙지수가 1보다 큰 첫 번째 불규칙 프라임은 B와62 B를110 나누는 157이므로 불규칙지수 2를 가진다.분명, 정규 프라임의 불규칙한 지수는 0이다.
n 프라임의 불규칙지수는
- 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... (Start with n = 2, or the prime = 3) (sequence A091888 in the OEIS)
n차 불규칙 프라임의 불규칙 지수는
- 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, ... (sequence A091887 in the OEIS)
1지수가 불규칙한 프라임은
- 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 971, ... (sequence A073276 in the OEIS)
Primime이 불규칙적인 지수 2를 갖는 것은
- 157, 353, 379, 467, 547, 587, 631, 673, 691, 809, 929, 1291, 1297, 1307, 1663, 1669, 1733, 1789, 1933, 1997, 2003, 2087, 2273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957, ... (sequence A073277 in the OEIS)
3지수가 불규칙한 프라임은
- 491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 14533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869, ... (sequence A060975 in the OEIS)
불규칙한 색인 n이 있는 최소 프리타임은 다음과 같다.
- 2, 3, 3, 37, 157, 491, 12613, 78233, 527377, 3238481, ... (OEIS의 순서 A061576) (이 순서는 "2의 불규칙 지수"를 -1로 정의하고 n = -1에서 시작하기도 한다.
일반화
오일러 불규칙한 소수
마찬가지로 오일러 불규칙 프라임(또는 E-비규칙)을 0 < 2n ≤ p - 3으로 오일러 숫자 E를2n 적어도 한 개씩 나누는 프라임 p로 정의할 수 있다.처음 몇 개의 오일러 불규칙한 프라임은
- 19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587, ... (sequence A120337 in the OEIS)
오일러 불규칙한 쌍은
- (61, 6), (277, 8), (19, 10), (2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437, 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28), ...
밴디버는 페르마의 마지막 정리(xp + yp = zp)가 gcd(xyz, p) = 1인 정수 x, y, z에 대한 해결책이 없다는 것을 증명했다.구트는 p가 E-비정규도 지수를 5 미만일 경우 x2p + y2p = z는2p 해결책이 없음을 증명했다.[10]
E-비정규적인 프리임이 무한히 존재한다는 것이 증명되었다.더 강력한 결과를 얻었다: 1모듈로 8에 해당하는 E-비정규 소수점이 무한히 존재한다.금머의 B정기 프리임의 경우처럼 E정기 프리임이 무한히 많다는 증거는 아직 없지만 이는 사실일 것 같다.
강한 불규칙적 소수
프라임 p는 B-비규칙과 E-비규칙 둘 다일 경우 강한 불규칙(p로 구분할 수 있는 베르누이와 오일러 숫자의 지수는 같거나 다를 수 있다)이라고 한다.처음 몇 번의 강한 불규칙적인 소수들은
- 67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, 887, 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, ... (sequence A128197 in the OEIS)
To prove the Fermat's Last Theorem for a strong irregular prime p is more difficult (since Kummer proved the first case of Fermat's Last Theorem for B-regular primes, Vandiver proved the first case of Fermat's Last Theorem for E-regular primes), the most difficult is that p is not only a strong irregular prime, but 2p + 1, 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1,14p + 1, 16p + 1도 모두 복합적이다(레전드르는 적어도 2p + 1, 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1, 16p + 1 중 하나가 프라임과 같은 프리타임 p에 대한 페르마의 마지막 정리의 첫 번째 경우를 증명했다). 이러한 p는 처음 몇 개이다.
- 263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283, ...
약한 불규칙 소수
프라임 p는 B-비정규어 또는 E-비정규어(또는 둘 다)일 경우 약한 불규칙이다.처음 몇 개의 약한 불규칙적인 소수들은
- 19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 571, 577, 587, 593, ... (sequence A250216 in the OEIS)
베르누이 부정기와 마찬가지로, 약한 규칙성은 사이클로토믹 분야의 등급 번호의 불분명한 것과 관련이 있다.실제로 prime p는 4p 사이클로토믹 필드 Q( q)의4p 클래스 번호를 p가 나눈 경우에만 약하게 불규칙하다.
약한 불규칙 쌍
이 절에서 "an"는 n번째 베르누이 숫자의 분자를 의미하며, "an"는 n이 홀수일 경우 (n - 1)번째 오일러 숫자를 의미한다(OEIS에서 순서 A246006).
모든 홀수 p에 대해 p는 if를p 나누고 p가 1모드 4로 합치되는 경우에만 p를 분할하며, p는 홀수 p마다 (p - 1)번째 베르누이 수의 분모를 분할하므로 홀수 p에 대해 p는 a를p−1 분할할 수 없다.게다가 만일 홀수 p가 an(그리고 2p가 n을 나누지 않는 경우)를n+k(p−1) 나누면 p도(만약 2p가 n을 나누면, 문장도 "p도 a를n+2kp 나눈다"로 바꾸어야 한다.실제로 2p가 n을 나누고 p(p - 1)가 n을 나누지 않으면, p는 모든 정수 k(조건은n n + k(p - 1)에 대해 a.)를 나눈다.예를 들어 19는 a를11 나누고 2 × 19 = 38은 11을 나누지 않기 때문에 19는 모든 k에 대해18k+11 a를 나눈다.따라서 불규칙한 쌍(p, n), n의 정의는 최대 p - 2이어야 한다.
다음 표는 홀수 p ≤ 661을 갖는 모든 불규칙 쌍을 보여준다.
| p | 정수 0 ≤ n ≤ p − 2 p가 a를n 나누는 것. | p | 정수 0 ≤ n ≤ p − 2 p가 a를n 나누는 것. | p | 정수 0 ≤ n ≤ p − 2 p가 a를n 나누는 것. | p | 정수 0 ≤ n ≤ p − 2 p가 a를n 나누는 것. | p | 정수 0 ≤ n ≤ p − 2 p가 a를n 나누는 것. | p | 정수 0 ≤ n ≤ p − 2 p가 a를n 나누는 것. |
| 3 | 79 | 19 | 181 | 293 | 156 | 421 | 240 | 557 | 222 | ||
| 5 | 83 | 191 | 307 | 88, 91, 137 | 431 | 563 | 175, 261 | ||||
| 7 | 89 | 193 | 75 | 311 | 87, 193, 292 | 433 | 215, 366 | 569 | |||
| 11 | 97 | 197 | 313 | 439 | 571 | 389 | |||||
| 13 | 101 | 63, 68 | 199 | 317 | 443 | 577 | 52, 209, 427 | ||||
| 17 | 103 | 24 | 211 | 331 | 449 | 587 | 45, 90, 92 | ||||
| 19 | 11 | 107 | 223 | 133 | 337 | 457 | 593 | 22 | |||
| 23 | 109 | 227 | 347 | 280 | 461 | 196, 427 | 599 | ||||
| 29 | 113 | 229 | 349 | 19, 257 | 463 | 130, 229 | 601 | ||||
| 31 | 23 | 127 | 233 | 84 | 353 | 71, 186, 300 | 467 | 94, 194 | 607 | 592 | |
| 37 | 32 | 131 | 22 | 239 | 359 | 125 | 479 | 613 | 522 | ||
| 41 | 137 | 43 | 241 | 211, 239 | 367 | 487 | 617 | 20, 174, 338 | |||
| 43 | 13 | 139 | 129 | 251 | 127 | 373 | 163 | 491 | 292, 336, 338, 429 | 619 | 371, 428, 543 |
| 47 | 15 | 149 | 130, 147 | 257 | 164 | 379 | 100, 174, 317 | 499 | 631 | 80, 226 | |
| 53 | 151 | 263 | 100, 213 | 383 | 503 | 641 | |||||
| 59 | 44 | 157 | 62, 110 | 269 | 389 | 200 | 509 | 141 | 643 | ||
| 61 | 7 | 163 | 271 | 84 | 397 | 521 | 647 | 236, 242, 554 | |||
| 67 | 27, 58 | 167 | 277 | 9 | 401 | 382 | 523 | 400 | 653 | 48 | |
| 71 | 29 | 173 | 281 | 409 | 126 | 541 | 86, 465 | 659 | 224 | ||
| 73 | 179 | 283 | 20 | 419 | 159 | 547 | 270, 486 | 661 |
1000 미만의 소수점 이하인 소수점 이하로는 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751, 929가 유일하다.게다가 491은 1000 이하의 프라임으로 변칙지수 4가 약하며 다른 모든 홀수들은 1000 이하의 약한 변칙지수 0, 1 또는 2가 약하다.(약간 변칙지수는 p가 a를n 나누는 정수의 수 0 ≤ n ≤ p - 2로 정의된다.)
다음 표는 n ≤ 63의 모든 불규칙 쌍을 나타낸다.(이 불규칙 쌍들을 얻으려면 a만n 인수하면 된다.예를 들어, a34 = 17 × 151628697551, 그러나 17 < 34 + 2>이므로 n = 34를 갖는 유일한 불규칙한 쌍은 (15162869751, 34) (더 자세한 정보는 (짝수 ns 최대 300, 홀수 ns 최대 201)을 참조한다.
| n | p가 a를n 나누는 primes p ≥n + 2 | n | p가 a를n 나누는 primes p ≥n + 2 |
| 0 | 32 | 37, 683, 305065927 | |
| 1 | 33 | 930157, 42737921, 52536026741617 | |
| 2 | 34 | 151628697551 | |
| 3 | 35 | 4153, 8429689, 2305820097576334676593 | |
| 4 | 36 | 26315271553053477373 | |
| 5 | 37 | 9257, 73026287, 25355088490684770871 | |
| 6 | 38 | 154210205991661 | |
| 7 | 61 | 39 | 23489580527043108252017828576198947741 |
| 8 | 40 | 137616929, 1897170067619 | |
| 9 | 277 | 41 | 763601, 52778129, 359513962188687126618793 |
| 10 | 42 | 1520097643918070802691 | |
| 11 | 19, 2659 | 43 | 137, 5563, 13599529127564174819549339030619651971 |
| 12 | 691 | 44 | 59, 8089, 2947939, 1798482437 |
| 13 | 43, 967 | 45 | 587, 32027, 9728167327, 36408069989737, 238716161191111 |
| 14 | 46 | 383799511, 67568238839737 | |
| 15 | 47, 4241723 | 47 | 285528427091, 1229030085617829967076190070873124909 |
| 16 | 3617 | 48 | 653, 56039, 153289748932447906241 |
| 17 | 228135437 | 49 | 5516994249383296071214195242422482492286460673697 |
| 18 | 43867 | 50 | 417202699, 47464429777438199 |
| 19 | 79, 349, 87224971 | 51 | 5639, 1508047, 10546435076057211497, 67494515552598479622918721 |
| 20 | 283, 617 | 52 | 577, 58741, 401029177, 4534045619429 |
| 21 | 41737, 354957173 | 53 | 1601, 2144617, 537569557577904730817, 429083282746263743638619 |
| 22 | 131, 593 | 54 | 39409, 660183281, 1120412849144121779 |
| 23 | 31, 1567103, 1427513357 | 55 | 2749, 3886651, 78383747632327, 209560784826737564385795230911608079 |
| 24 | 103, 2294797 | 56 | 113161, 163979, 19088082706840550550313 |
| 25 | 2137, 111691689741601 | 57 | 5303, 7256152441, 52327916441, 2551319957161, 12646529075062293075738167 |
| 26 | 657931 | 58 | 67, 186707, 6235242049, 37349583369104129 |
| 27 | 67, 61001082228255580483 | 59 | 1459879476771247347961031445001033, 8645932388694028255845384768828577 |
| 28 | 9349, 362903 | 60 | 2003, 5549927, 109317926249509865753025015237911 |
| 29 | 71, 30211, 2717447, 77980901 | 61 | 6821509, 14922423647156041, 190924415797997235233811858285255904935247 |
| 30 | 1721, 1001259881 | 62 | 157, 266689, 329447317, 28765594733083851481 |
| 31 | 15669721, 28178159218598921101 | 63 | 101, 6863, 418739, 1042901, 91696392173931715546458327937225591842756597414460291393 |
다음 표는 불규칙 쌍(p, p - n) (n ≥ 2)을 나타내는데, 자연수 n ≥ 2마다 불규칙 쌍(p, p - n)이 무한히 많지만 고정 n에 대해서는 거의 발견되지 않았다는 추측이다.n의 일부 값에는 그러한 prime p도 알려져 있지 않다.
| n | p가 a를p−n 나누는 primes p (이 p는 최대 20000까지 점검됨) | OEIS 시퀀스 |
| 2 | 149, 241, 2946901, 16467631, 17613227, 327784727, 426369739, 1062232319, ... | A198245 |
| 3 | 16843, 2124679, ... | A088164 |
| 4 | ... | |
| 5 | 37, ... | |
| 6 | ... | |
| 7 | ... | |
| 8 | 19, 31, 3701, ... | |
| 9 | 67, 877, ... | A212557 |
| 10 | 139, ... | |
| 11 | 9311, ... | |
| 12 | ... | |
| 13 | ... | |
| 14 | ... | |
| 15 | 59, 607, ... | |
| 16 | 1427, 6473, ... | |
| 17 | 2591, ... | |
| 18 | ... | |
| 19 | 149, 311, 401, 10133, ... | |
| 20 | 9643, ... | |
| 21 | 8369, ... | |
| 22 | ... | |
| 23 | ... | |
| 24 | 17011, ... | |
| 25 | ... | |
| 26 | ... | |
| 27 | ... | |
| 28 | ... | |
| 29 | 4219, 9133, ... | |
| 30 | 43, 241, ... | |
| 31 | 3323, ... | |
| 32 | 47, ... | |
| 33 | 101, 2267, ... | |
| 34 | 461, ... | |
| 35 | ... | |
| 36 | 1663, ... | |
| 37 | ... | |
| 38 | 101, 5147, ... | |
| 39 | 3181, 3529, ... | |
| 40 | 67, 751, 16007, ... | |
| 41 | 773, ... |
참고 항목
참조
- ^ Gardiner, A. (1988), "Four Problems on Prime Power Divisibility", American Mathematical Monthly, 95 (10): 926–931, doi:10.2307/2322386, JSTOR 2322386
- ^ Johnson, W. (1975), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants", Mathematics of Computation, 29 (129): 113–120, doi:10.2307/2005468, JSTOR 2005468
- ^ Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993). "Irregular primes and cyclotomic invariants to four million". Math. Comp. 61 (203): 151–153. Bibcode:1993MaCom..61..151B. doi:10.1090/s0025-5718-1993-1197511-5.
- ^ 레오 코리: 숫자 크런칭 vs.숫자 이론: 컴퓨터와 FLT, Kummer에서 SWAC(1850–1960), 그리고 그 이상
- ^ Jensen, K. L. (1915). "Om talteoretiske Egenskaber ved de Bernoulliske Tal". NYT Tidsskr. Mat. B 26: 73–83. JSTOR 24532219.
- ^ Carlitz, L. (1954). "Note on irregular primes" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. AMS. 5 (2): 329–331. doi:10.1090/S0002-9939-1954-0061124-6. ISSN 1088-6826. MR 0061124.
- ^ Tauno Metsänkylä (1971). "Note on the distribution of irregular primes". Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. 492. MR 0274403.
- ^ Tauno Metsänkylä (1976). "Distribution of irregular prime numbers". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1976 (282): 126–130. doi:10.1515/crll.1976.282.126. S2CID 201061944.
- ^ Narkiewicz, Władysław (1990), Elementary and analytic theory of algebraic numbers (2nd, substantially revised and extended ed.), Springer-Verlag; PWN-Polish Scientific Publishers, p. 475, ISBN 3-540-51250-0, Zbl 0717.11045
- ^ "The Top Twenty: Euler Irregular primes". primes.utm.edu. Retrieved 2021-07-21.
- ^ "Bernoulli and Euler numbers". homes.cerias.purdue.edu. Retrieved 2021-07-21.
추가 읽기
- Kummer, E. E. (1850), "Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung xλ + yλ = zλ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ−3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen", J. Reine Angew. Math., 40: 131–138
- Siegel, Carl Ludwig (1964), "Zu zwei Bemerkungen Kummers", Nachrichten der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, 1964: 51–57, MR 0163899
- Iwasawa, K.; Sims, C. C. (1966), "Computation of invariants in the theory of cyclotomic fields", Journal of the Mathematical Society of Japan, 18 (1): 86–96, doi:10.2969/jmsj/01810086
- Wagstaff, Jr., S. S. (1978), "The Irregular Primes to 125000", Mathematics of Computation, 32 (142): 583–591, doi:10.2307/2006167, JSTOR 2006167
- Granville, A.; Monagan, M. B. (1988), "The First Case of Fermat's Last Theorem is True for All Prime Exponents up to 714,591,416,091,389", Transactions of the American Mathematical Society, 306 (1): 329–359, doi:10.1090/S0002-9947-1988-0927694-5, MR 0927694
- Gardiner, A. (1988), "Four Problems on Prime Power Divisibility", American Mathematical Monthly, 95 (10): 926–931, doi:10.2307/2322386, JSTOR 2322386
- Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1991), "Cyclotomic Invariants for Primes Between 125000 and 150000", Mathematics of Computation, 56 (194): 851–858, doi:10.2307/2008413, JSTOR 2008413
- Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1992), "Cyclotomic Invariants for Primes to One Million" (PDF), Mathematics of Computation, 59 (199): 249–250, doi:10.2307/2152994, JSTOR 2152994
- Buhler, J. P.; Crandall, R. E.; Sompolski, R. W. (1992), "Irregular Primes to One Million", Mathematics of Computation, 59 (200): 717–722, doi:10.2307/2153086, JSTOR 2153086
- Boyd, D. W. (1994), "A p-adic Study of the Partial Sums of the Harmonic Series", Experimental Mathematics, 3 (4): 287–302, doi:10.1080/10586458.1994.10504298, Zbl 0838.11015
- Shokrollahi, M. A. (1996), Computation of Irregular Primes up to Eight Million (Preliminary Report), ICSI Technical Report, vol. TR-96-002
- Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T.; Shokrollahi, M.A. (2001), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to 12 Million", Journal of Symbolic Computation, 31 (1–2): 89–96, doi:10.1006/jsco.1999.1011
- Richard K. Guy (2004), "Section D2. The Fermat Problem", Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), Springer Verlag, ISBN 0-387-20860-7
- Villegas, F. R. (2007), Experimental Number Theory, New York: Oxford University Press, pp. 166–167, ISBN 978-0-19-852822-7
외부 링크
- Weisstein, Eric W. "Irregular prime". MathWorld.
- Chris Caldwell, The Prime Glogarary: The Prime Pages의 정규 프라임.
- 키이스 콘래드, 페르마의 마지막 정리.
- 베르누이 불규칙한 전성기
- 오일러 불규칙 소수
- 베르누이와 오일러는 불규칙한 프라임이다.
- 베르누이와 오일러 숫자의 인자화
- 베르누이와 오일러 숫자의 인자화
