복합 평면의 직사각형 영역에서 삼각함수 ψ 1 (z ) 도메인 컬러링 방식으로 생성된다.수학 에서 ψ 1 (z )삼각함수 (trigamma function )는 다감마 함수 의 두 번째로서, 에 의해 정의된다.
ψ 1 2 d z l { \psi }(z)={\frac{d^{2 dz^{2}}}\ln \감마(z)} 이 정의에서 다음과 같다.
ψ 1 ( z ) = d d z ψ ( z ) {\displaystyle \property_{1}(z)={\frac {d}{dz}\properties (z)} 여기서 ψ (z )디감마 함수 다. 이 값은 시리즈 합으로도 정의될 수 있다.
ψ 1 ( z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( z + n ) 2 , {\displaystyle \property_{1}(z)=\sum _{n=0}^{\n}{\frac {1}{{1}(z+n)^{2}}}} 후르비츠 제타 함수 의 특별한 경우로 만들기
ψ 1 ( z ) = ζ ( 2 , z ) . \displaystyle \cHB _{1}(z)=\zeta(2,z) } 마지막 두 공식은 1 - z 자연수 가 아닐 때 유효하다는 점에 유의하십시오.
계산 위에 주어진 것에 대한 대안으로서 이중 적분 표현은 다음과 같은 시리즈 표현에서 도출될 수 있다.
ψ 1 ( z ) = ∫ 0 1 ∫ 0 x x z − 1 y ( 1 − x ) d y d x {\displaystyle \cHB_{1}(z)=\int_{0}^{1}\! \!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}{y(1-x)}}}\,dy\,dx} 기하 계열 의 합계에 대한 공식을 사용하여.y
ψ 1 ( z ) = − ∫ 0 1 x z − 1 ln x 1 − x d x {\displaystyle \property_{1}(z)=-\int_{0}^{1}{0}{0^{x^{z-1}\ln {x}{1-x}}\,dx} 로랑 시리즈 로서의 점증적 팽창은
ψ 1 ( z ) = 1 z + 1 2 z 2 + ∑ k = 1 ∞ B 2 k z 2 k + 1 = ∑ k = 0 ∞ B k z k + 1 {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}}{z^{k+1}}}} 만약 우리가 선택했다 B1).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{.Border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/2, 두번째 종류의 친척들은 베르누이의 번호입니다.
재발과 반성의 공식 삼각함수는 반복 관계 를 만족한다.
ψ 1 ( z + 1 ) = ψ 1 ( z ) − 1 z 2 {\displaystyle \property_{1}(z+1)=\properties _{1}-{1}{z^{2}}: 그리고 반사식
ψ 1 ( 1 − z ) + ψ 1 ( z ) = π 2 죄를 짓다 2 π z {\displaystyle \cHB_{1}(1-z)+\cHB_{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}\,},} z = 1 2 : ψ 1 1 2 π 2 2 {\ displaystyle \property_{1}({\tfrac{1}{2}})={\tfrac pi 2
특수값 양의 반정수 값에서는 다음과 같은 값을 갖는다.
ψ 1 ( n + 1 2 ) = π 2 2 − 4 ∑ k = 1 n 1 ( 2 k − 1 ) 2 . {\displaystyle \preck _{1}\좌(n+{\frac {1}{1}:{2}}:{\pi^{2}}-4\sum_{k=1}^{n}{\frac {1}{1}{{{k-1)^{2}}. } 더욱이 삼각함수에는 다음과 같은 특수값이 있다.
ψ 1 ( 1 4 ) = π 2 + 8 G ψ 1 ( 1 2 ) = π 2 2 ψ 1 ( 1 ) = π 2 6 ψ 1 ( 3 2 ) = π 2 2 − 4 ψ 1 ( 2 ) = π 2 6 − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\quad \end{aligned}}} 여기서 G 는 카탈로니아의 상수 를 나타낸다.
ψ 1 실제 축에는 뿌리가 없지만, Re z 0 에 대해서는 무한히n 뿌리 n z, z가 존재한다. 그러한 뿌리의 각 쌍은 Re zn -n + 1 2 n 으로 서서히 로그가 증가한다.예를 들어 z 1 -0.4121345... + 0.5978119...i 와 z 2 -1.4455692... + 0.6992608...i 는 임(z )이 0인 처음 두 근이다.
클로스 기능과의 관계 합리적인 주장에서의 디감마 함수 는 삼각함수 및 로그의 관점에서 디감마 정리 를 통해 표현할 수 있다. 삼각함수에는 비슷한 결과가 있지만 원형 함수는 클라센 함수 로 대체된다. 즉,[1]
ψ 1 ( p q ) = π 2 2 죄를 짓다 2 ( π p / q ) + 2 q ∑ m = 1 ( q − 1 ) / 2 죄를 짓다 ( 2 π m p q ) CL 2 ( 2 π m q ) . {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2\sin ^{2}(\pi p/q)}}+2q\sum _{m=1}^{(q-1)/2}\sin \left({\frac {2\pi mp}{q}}\right){\textrm {Cl}}_{2}\left({\frac {2\pi m}{q}}\right). } 계산 및 근사치 삼각함수를 대략적으로 추정하는 쉬운 방법은 디감마함수의 점근 팽창 의 파생물을 취하는 것이다.
ψ 1 ( x ) ≈ 1 x + 1 2 x 2 + 1 6 x 3 − 1 30 x 5 + 1 42 x 7 − 1 30 x 9 + 5 66 x 11 − 691 2730 x 13 + 7 6 x 15 {\displaystyle \cHB_{1}(x)\약 {\frac {1}{1}{x}+{1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{1}{6x^{3}}-{\frac {1}{1}{30x^{5} }}}+{\frac{1}{42x^{7}-{\frac {1}{30x^{9} }}}}+{\frac{5}{66x^{11}-{\frac {691}{2730x^{13}}+{\frac {7}{6x^{15}}}}}}}}}} 외관 삼각함수는 다음과 같은 놀라운 합계 공식에 나타난다.[2]
∑ n = 1 ∞ n 2 − 1 2 ( n 2 + 1 2 ) 2 ( ψ 1 ( n − i 2 ) + ψ 1 ( n + i 2 ) ) = − 1 + 2 4 π 나무늘보 π 2 − 3 π 2 4 징징거리다 2 π 2 + π 4 12 징징거리다 4 π 2 ( 5 + 코쉬 π 2 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\ pi ^{4}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt{2}}}}\왼쪽(5+\cosh \pi {\sqrt{2}}\오른쪽). } 참고 항목 메모들 ^ Lewin, L., ed. (1991). Structural properties of polylogarithms . American Mathematical Society. ISBN 978-0821816349 ^ Mező, István (2013). "Some infinite sums arising from the Weierstrass Product Theorem". Applied Mathematics and Computation . 219 (18): 9838–9846. doi :10.1016/j.amc.2013.03.122 .
참조 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\quad \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e24e4208057e7060a32421f0059d7c3db5255f)
