후르비츠 제타 함수

수학에서 후르비츠 제타 함수는 많은 제타 함수 중 하나이다.이 값은 다음과 같이 Re(s) > 1과 ≠ 0, -1, -2, ...을 갖는 복잡한 변수에 대해 공식적으로 정의된다.

${\displaystyle \zeta(s,a)=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {1}{{n+a)^{s}}}}.}$

이 시리즈는 s와 a의 주어진 값에 절대적으로 수렴되며 모든 ss1에 대해 정의된 용적함수로 확장될 수 있다.리만 제타 함수는 ζ(s,1)이다.후르비츠 제타 함수는 1882년 이를 도입한 아돌프 후르비츠(Adolf Hurwitz)의 이름을 딴 것이다.^[1]

적분표현

후르비츠 제타 함수는 일체형 표현을 가지고 있다.

${\displaystyle \zeta(s,a)={\frac {1}{\frac {1}{0}^{0}{0}^{\inflt }{x^{-e-1}^{-x}dx}}$

( )> ${\displaystyle \operatorname {Re} ($$)1}$및 ()> ${\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0.}$ (이 적분은 Mellin 변환으로 볼 수 있다.)그 공식은 대략 글로 얻을 수 있다.

${\displaystyle \제타(s,a)\감마(s)=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {1}{(n+a)^{s.}}}\int _{0}^{{0}^{\x^{-x}{-x}}{\frac {dx}}}}}}=\sum _{n=0}^{n=0}{n=0}}{0}^{n+a)y}{-(n+a)}{frac {y}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 합계와 적분을 교환한다.^[3]

위의 적분 표현은 등고선 적분 표현으로 변환할 수 있다.

${\displaystyle \제타(s,a)=-\감마(1-s){\frac {1}{2\pi i}\int _{C}{\frac {(-z)^{s-1e^{-e^{-az}{1-e^{-z}dz}}$

여기서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은 양의 실제 축을 중심으로 시계 반대방향으로 한클 등고선이며, 주 분기는 복합 지수에 사용된다$({\displaystyle }$- z${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{s}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ 이전의 적분과는 달리 이 적분은 모든 s에 유효하며, 실제로 s의 전체 함수인 것이다.^[4]

등고선 적분 표현은 ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ( ,${\displaystyle }$) ${\displaystyle \zeta (s,a)}$의 분석적 연속성을 모든 s ${\displaystyle \ne }$ 1 ${\displaystyle s\neq 1$$}$에 ${\displaystyle \mathrm{제공}}$한다$.$ $s{\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle$ s$=1$}에서$,$ $잔류물{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystystyle 1}$이 있는 간단한 폴을 갖는다$.$^[5]

후르비츠의 공식

허위츠 제타 함수는 리만 제타 함수의 함수 방정식을 일반화하는 ID를 만족한다.^[6]

${\displaystyle \zeta (1-s,a)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\left(e^{-\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi ina}}{n^{s}}}+e^{\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi ina}}{n^{s}}}\right),}$

Re(s) > 1과 0 < a ≤ 1에 유효하다.리만 제타 함수 방정식은 특별한 경우 a = 1:^[7]

${\displaystyle \제타(1-s)={\frac {2\Gamma(s)}{{s}}}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\오른쪽)\제타(s)}$

후르비츠의 공식도 다음과^[8] 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {2\Gamma (1-s)}{(2\pi )^{1-s}}}\left(\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi na)}{n^{1-s}}}+\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi na)}{n^{1-s}}}\right)}$

(Res (s) < 0과 0 < a ≤ 1)의 경우.

후르비츠의 공식은 다양한 증거들을 가지고 있다.^[9]하나의 증거는 잔존 정리 및 등고선 통합 표현을 사용한다.^[6][8]두 번째 증거는 세타 함수 ID 또는 동등하게 포아송 합계를 사용한다.^[10]이 증명들은 리만 제타 함수의 기능 방정식에 대한 두 가지 증명과 1859년 리만 논문과 유사하다.후르비츠 공식의 또 다른 증거는 후르비츠 제타 함수를 적분으로 표현하기 위해 오일러-마클라우린 합산을 사용한다.

${\displaystyle \zeta(s,a)=s\int _{-a}^{-a}^{\infload }{\frac {\lfloor -x+{1}{1}{1}{{1}{{{n1}:{s+a}dx}$

(-1 < Re(s) < 0과 0 < a ≤ 1)>을 한 다음 푸리에 시리즈로 분자를 확장한다.^[11]

합리적인 a를 위한 함수 방정식

a가 합리적인 숫자일 때, 허위츠의 공식은 다음과 같은 기능 방정식으로 이어진다.정수 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le m}$ ${\displaystyle \le n}$ ${\displaystyle 1\leq m\leq n}$의 경우$,$

${\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]}$

s의 모든 값에 대한 보유.^[12]

이 기능 방정식은 다른 동등한 형태로 작성할 수 있다.

${\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[e^{\frac {\pi is}{$$2}}e^{-{\frac {2\pi ikm}{n}}}\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)+e^{-{\frac {\pi is}{2}}}e^{\frac {2\pi ikm}{n}}\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]}$.

일부 유한금

함수 방정식과 밀접하게 관련되는 다음과 같은 유한 합계가 있으며, 그 중 일부는 폐쇄적인 형태로 평가될 수 있다.

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\sin {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)+\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}-\zeta (s)}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)-\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta ^{2}\left(s,{\frac {r}{m}}\right)={\big (}m^{2s-1}-1{\big )}\zeta ^{2}(s)+{\frac {2m\Gamma ^{2}(1-s)}{(2\pi m)^{2-2s}}}\sum _{l=1}^{m-1}\left\{\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)-\cos \pi s\cdot \zeta \left(1-s,1-{\frac {l}{m}}\right)\right\}\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)}$

여기서 m은 2보다 큰 양의 정수이고 s는 복잡하다(예: 참조).부록 B in.^[13]

시리즈 표현

(실제) a > 0과 어떤 복잡한 s ≠ 1에 대해 정의된 수렴 뉴턴 시리즈 표현은 1930년에 헬무트 하세가 다음과 같이 하였다.^[14]

${\displaystyle \zeta(s,a)={\frac {1}{s-1}\sum _{n=0}^{n1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n}-s}{n \c}(a+k)^{1-s}.}$

이 시리즈는 s-평면의 콤팩트 서브셋에서 전체 기능으로 균일하게 수렴된다.내부 합계는 ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle s^{}}$ ${\$ a$^{1-s}$의 n번째 전방 차이$,$ 즉,

${\displaystyle \Delta ^{n}a^{1-s}=\sum _{k=0}^{n-k}{n \선택 k}(a+k)^{1-s}}$

여기서 Δ는 전방차 측정 시스템이다.따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle{\pregated}\zeta(s,a)&={\frac {1}{s-1}\sum _{n=0}^{n=0}}\flack{(-1)^{n+1}\}\델타 ^{n}a^{1-s}\&={\frac {1}{s-1}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }a^{1-s}\ended}}}}}}$

테일러 시리즈

두 번째 주장에서 제타의 부분적 파생상품은 다음과 같은 변화다.

${\displaystyle {\frac {\property }{\pa}\zeta(s,a)=-s\zeta(s+1,a)}$

따라서 테일러 시리즈는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \zeta(s,x+y)=\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {y^{k}}}{k!}}{{\frac{\frac }{k}}{{k}}}\제타(s,x)=\sum _{k=0}^{\inflt }{s+k-1 \선택 s-1(-y)^{k,x)}$

또는,

${\displaystyle \zeta(s,q)={\frac {1}{q^{s}}+\sum _{n=0}^{n=0}^{n(-q)^{s+n-1 \n}선택 n}\zeta(s+n),}$

< 1 ${\displaystyle q <1$^[15]

Stark-Keiper 공식과 밀접하게 관련되어 있다.

${\displaystyle \zeta(s,N)=\sum _{k=0}^{\inflt }\왼쪽[N+{n+1}{k-1}}\s+k-1 \select s-1(-1)(-1)^{k}\zeta(s+k,N)}$

정수 N과 임의 s를 보유한다.한정된 정수의 힘에 대한 유사한 관계에 대한 Faulhaber의 공식도 참조하십시오.

로랑 시리즈

Laurent 시리즈 확장은 시리즈에서 발생하는 일반화된 Stilltjes 상수를 정의하는 데 사용할 수 있다.

${\displaystyle \zeta(s,a)={\frac {1}{s-1}+\sum _{n=0}^{n}}{\frac {(-1)^{n}}{n!}}}\message _{n}(a)(s-1)^{n}}$

특히 상수 항은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \lim_{s\to 1}\왼쪽[\zeta(s,a)-{\frac {1}{s-1}\right]={\frac {-\gamma '(a)}{\Gamma(a)}}}=-\psi(a)}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) 감마 함수이고${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ =$$ / γ {\$displaystyle$ \$psi =\Gamma$'/\$Gamma$}은(는$)$ 디감마 함수다.특별한 경우로 ${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= -${\displaystyle \psi }$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ = γ${\displaystyle \gamma_{0}(1)=-\psi(1)=\gamma _{0}=\gamma$ $\}.$

이산 푸리에 변환

오더 s에 관한 허위츠 제타 함수의 이산 푸리에 변환은 레전드레 키함수다.^[16]

특정 값

음정수

s = 0, -1, -2, ...에서 ζ(s, a) 값은 베르누이 다항식(bernouli polyomials)과 관련이 있다.^[17]

${\displaystyle \zeta(-n,a)=-{\frac {B_{n+1}(a)}{n+1}.}$

예를 들어, $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n=0}$의 경우^[18]

${\displaystyle \zeta(0,a)={\frac {1}{2}}-a.}$

s-through

s = 0에서 s에 대한 부분파생물은 감마함수와 관련이 있다.

$왼쪽.{\frac {\partial s}{\partial s}}\제타(s,a)\right _{s=0}=\log \감마(a)-{\frac {1}{1}{2}}\log(2\pi )}$

특히 $\zeta {}^{}$($0$)$$=$$- 1 $\frac{2}{}$ $\log$ $$( $2$ $\pi$)$$. ${\textstyle \zeta '(0)=-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )}}$$$ 그 공식은 Lerch 때문이다.^[19][20]

야코비 세타 함수와의 관계

$\vartheta {\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$ ,${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$이(가) 자코비 세타 함수라면,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}$

> ${\displaystyle \Re>0}$ 및 z 콤플렉스에 대해 고정되지만 정수는 고정되지 않는다.z=n 정수의 경우 이렇게 하면

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).}$

여기서 ζ은 리만 제타 함수다.이 후자의 형태는 리만이 원래 제공한 대로 리만 제타 함수에 대한 함수 방정식이라는 점에 유의한다.z가 정수인지 아닌지에 기반한 구별은 자코비 세타 함수가 주기적인 델타 함수에 수렴한다는 사실 또는 z의 디라크 빗이 $t{\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ $[\displaystyle t\rightarrow 0}$으로 수렴된다는 사실을 설명한다$.$

디리클레 L-기능과의 관계

합리적인 주장에서 Hurwitz zeta 함수는 Dirichlet L 기능의 선형 조합으로 표현될 수 있으며, 그 반대의 경우도 다음과 같다.허위츠 제타 함수는 a = 1일 때, a = 1/2일 때, (2-1^s)ζ과 같으며, ^[21]a = k > 2, (n,k) > 1, 0 < k일 경우, 그 다음에^[22] 리만의 제타 함수 ζ(s)과 일치한다.

${\displaystyle \zeta(s,n/k)={\frac {k^{s}}{\varphi(k)}\sum _{\chi }{\ci }{\cHI }{\cHI }{\cHI }}}L(s,\chi }),}}}}$

모든 디리클레 문자의 총계 mod k반대 방향에서 우리는 선형 결합을^[21] 가진다.

${\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\(n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}}\오른쪽).}$

곱셈 정리도 있다.

${\displaystyle k^{s}\zeta(s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s, {\frac {n}{k}\오른쪽),}$

그 중 유용한 일반화가 유통 관계다^[23].

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\제타(s,a+p/q)=q^{s}\,\제타(s,qa)}$

(이 마지막 양식은 q 자연수와 1 - qa가 아닐 때마다 유효하다.)

제로스

a=1 후르비츠 제타 함수가 리만 제타 함수 자체로 감소하고, a=1/2가 되면 리만 제타 함수에 복합 인수 s(비디오 수프라)의 단순한 함수를 곱한 리만 제타 함수로 감소시켜, 각각의 경우에 리만 제타 함수의 0에 대한 어려운 연구로 이어진다.특히 실제 부품이 1보다 크거나 같은 0은 없을 것이다.그러나 0<a<1>과 a/1/2일 경우, 스트립 1<Re><1+1>에 후르비츠의 제타 함수의 0이 존재하게 된다.이것은 이성적이거나 초월적인 비합리적 a에 대해 데이븐포트와 헤이즐브론, 대수학적 비합리적 a에 대해 캐슬에 의해 증명되었다.^[24][21][25]

합리적 가치

후르비츠 제타 기능은 합리적인 가치에서 다수의 두드러진 정체성에서 발생한다.^[26]특히 오일러 다항식 ${\displaystyle E_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle E_{n}(x)}$의 측면에서 값$:$

${\displaystyle E_{2n-1}\왼쪽({\frac {p}{q}\오른쪽)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}}{{{\pi q)^{2n}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n, {\frac {2k-1}{2q}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle E_{2n}\왼쪽({\frac {p}{q}\오른쪽)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}}{{{n+1}:{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1, {\frac{2k-1}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}}}}}}}}}}$

한 사람도 가지고 있다.

${\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\왼쪽({\frac {k}{q}\오른쪽)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}\오른쪽)}}}$

which holds for ${\displaystyle 1\leq p\leq q}$. Here, the ${\displaystyle C_{\nu }(x)}$ and ${\displaystyle S_{\nu }(x)}$ are defined by means of the Legendre chi function ${\displaystyle \chi _{\nu }}$ as

${\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re}\,\chi _{\nu }(e^{ix})}$

그리고

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix}).}$

ν의 정수 값의 경우, 이 값은 오일러 다항식 단위로 표시할 수 있다.이러한 관계는 위에서 주어진 허위츠의 공식과 함께 기능 방정식을 채택함으로써 도출될 수 있다.

적용들

허위츠의 제타 기능은 다양한 분야에서 발생한다.가장 일반적으로, 그것은 숫자 이론에서 발생하는데, 그 이론이 가장 깊고 발전된 곳이다.그러나 그것은 프랙탈과 역동적인 시스템에 대한 연구에서도 일어난다.적용된 통계에서 그것은 Zipf의 법칙과 Zipf-Mandelbrot 법칙에서 발생한다.입자물리학에서는 줄리안 슈윙거에 의한 공식으로 발생하며,^[27] 균일한 전기장에서 디락 전자 한 쌍의 생산율에 대해 정확한 결과를 제공한다.

특수 사례 및 일반화

양수 m의 허위츠 제타 함수는 다감마 함수와 관련이 있다.

${\displaystyle \cHB ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\제타(m+1,z)\ .}$

반즈 제타 기능은 허위츠 제타 기능을 일반화한다.

레르치는 허위츠 제타를 초월한다.

${\displaystyle \Phi(z,s,q)=\sum _{k=0}^{\flac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}}$

따라서

$\displaystyle \zeta(s,a)=\Phi(1,s,a)\,}$

초기하 함수

${\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)}$ where ${\displ$$aystyle a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{s}=a{\text{ 및 }a\notin \mathb {N}{\text{ 및 }s\in \mathb {N}^{+}.$$}$

메이저 G-기능

${\displaystyle \zeta(s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\1\,\s+1}\좌측(-1\;\\\\\\\\\\\begin{matrix}0, 1-a\0,-a,\ldots,-a\dots}오른쪽)\right\right\\qquad \qquad s\in \mathb {N} ^{+}.}$

메모들

참조

• Apostol, T. M. (2010), "Hurwitz zeta function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• 의 12장 참조
• 밀턴 아브라모위츠와 아이린 A.Stegun, Handbook of Mathemical Functions, (1964) 도버 출판사, 뉴욕.ISBN 0-486-61272-4. (다감마 기능과의 관계는 제6.4.10항 참조)
• Davenport, Harold (1967). Multiplicative number theory. Lectures in advanced mathematics. Vol. 1. Chicago: Markham. Zbl 0159.06303.
• Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. (1998). "Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments". Journal of Computational and Applied Mathematics. 100 (2): 201–206. doi:10.1016/S0377-0427(98)00193-9.
• Mező, István; Dil, Ayhan (2010). "Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function". Journal of Number Theory. 130 (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005. hdl:2437/90539.
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course Of Modern Analysis (4th ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press.

외부 링크

• Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein. "Hurwitz Zeta Function". MathWorld.