리에즈 함수

수학에서 리에즈 함수는 리만 가설과 관련하여 파워 시리즈를 이용하여 마르셀 리에스가 정의한 전체 함수다.

${\displaystyle {\rm {Riesz}=-\sum _{k=1}^{\flac {(-x)^{k-1){{(k-1)!\제타(2k)}}=x\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {\mu(n)}{n^{2}}\exp \left \frac{-x}{n^{2}}}\오른쪽).}$

If we set ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}{\rm {Riesz}}(4\pi ^{2}x)}$ we may define it in terms of the coefficients of the Laurent series development of the hyperbolic (or equivalently, the ordinary) cotangent around zero.만약

${\displaystyle {\frac {x}{2}}\cots {\frac {x}{2}}=\sum _{n=0}^{n_{n}x^{n}=1+{12}x^{1}{12}-{{12}}}}}}{prac}x^{4}\cd}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그러면 F는 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\inflt }{\frac {x^{k}}{c_{2k}(k-1)!}}}=12x-164x^{2}+15120x^{3}-\cdots }$

k를 증가시키기 위해 approach(2k) 접근법을 1로 하고, riesz 함수에 대한 영상 $시리즈$를 x ${\displaystyle \exp (}$( - ${\displaystyle x}$)$${\$displaystyle$ x$\ \exp(-x)}$에 대한 영상 시리즈와 비교하면 전체 함수를 정의한다는 것을 알 수 있다$$.또는 F는 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\inflit }{\frac {k^{k+1}x^{k}{B_{2k}}}.\ }$

${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {k\stackrel{\text{'}}{}}^{}}$ ${\$ n$^{\overline{k}}}$은(는) D의 표기법에서 상승 요인 검정력을 나타낸다. E. 크누스와 숫자 B는_n 베르누이 번호다.시리즈는 교대 항 중 하나이며 함수는 점점 더 부정적인 x 값에 대해 곧 무한을 빼는 경향이 있다. x의 양의 값은 더 흥미롭고 섬세하다.

리에츠 기준

라는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Riesz}(x)=O(x^{e})\qqquad({\text{as }}}x\to \inflt )}$

1/2보다 큰 모든 지수 e에 대해, 여기서 큰 O 표기법, 양수 및 음수 값 모두 취한다.Riesz는 Riemann 가설이 1/4보다 큰 e에 대해 위의 주장이 사실이라는 주장과 동등하다는 것을 보여주었다.^[1]같은 논문에서 그는 약간 비관적인 쪽지도 덧붙였다: jeJe ne sais pas encore deccer si cette 조건 촉진제라 la vérification de l'hypothese »("이 조건이 가설의 검증을 용이하게 할 지에 대해 어떻게 결정해야 할지 모르겠다").

리에즈 함수의 멜린 변환

리에즈 기능은 멜린 변환을 통한 리만 제타 기능과 관련이 있다.만약 우리가 가져가면

${\displaystyle {\mathbf {M}}({\rm {Riesz})(z)=\int _{0}^{\inful }{\rm {Riesz}}(z)^{s}{\frac {dz}{z}}}}}}$

( )> - ${\displaystyle \Re(s)}-1$}일경우

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\rm {Riesz}}(z)^{s}{\frac {dz}{z}}}}}$

반면 성장 조건에서는 )<- 2 ${\$}}:00$)$이면 수렴이 된다.

${\displaystyle \int _{1}^{\inflt }{\rm {Riesz}}(z)^{s}{\frac {dz}{z}}}}}$

수렴하다이것을 종합하면, 는 Riesz 함수의 Mellin 변환이 스트립에 정의된 것을 볼 수 있다- 1< ( s)<- ${\$ 이 스트립에는 (cf)가 있다라마누잔의 마스터 정리) $\gamma {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$(${\displaystyle \frac{\mathrm{s}}{}}$+ 1${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle s\frac{}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle M}$( ${\displaystyle \mathrm{Ri}}$ e ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle \mathrm{z}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$} ${\pressstyle {\frac$ {\\prac ${\\gamma (s+1)}{\\zeta (-2s)}}}}}}={\mattime {Riesz}}}}}}$

역 멜린 변환으로부터, 우리는 이제 Riesz 함수에 대한 표현을 얻는다.

${\displaystyle {\rm {Riesz}=\int _{c-i\infit }^{c+i\inflt }{\frac {\Gamma(s+1)}{\\제타(-2s)}z^{-s}ds}$

여기서 c는 마이너스 1과 마이너스 2분의 1 사이에 있다.리만 가설이 사실이라면 우리는 통합의 선을 마이너스 4분의 1 이하의 값으로 이동할 수 있고, 따라서 리즈 함수의 4루트 성장률과 리만 가설 사이의 동등성을 얻을 수 있다.

J. garcia(참고문헌 참조)는 Borel retrimation을 사용하여$$ $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$을(를) 통합적으로 표현했다.

${\displaystyle \exp(-x)-1=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\rho ({\sqrt {x/t}})dt}$ and ${\displaystyle \rho (x)=x-\lfloor x\rfloor }$ is the fractional part of 'x'

Riesz 함수의 계산

F의 Maclaurin 계열 계수는 40번째 기간인 -1.753×10에서¹⁷ 최대치에 도달할 때까지 절대값이 증가한다.109번째 임기까지 그들은 절대값에서 1 아래로 떨어졌다.첫번째 1000조건을 가져가는 것은 혼자 쓰기에 충분하 z<>에 F(z){F(z)\displaystyle}을 위한 매우 정확한 가치를 줄;9{\displaystyle z<>9}. 그러나 이 정도 1000다항식거나 큰 분자 또는 분모의 계수가, 또는 부동 소수 점 comput을 사용하여 합리적인 산수를 사용하여 평가가 필요할 것이다.ation100자리 이상의 s대안은 위에서 정의한 역 멜린 변환과 숫자로 적분하는 것이다.어느 접근법도 계산적으로 쉽지 않다.

또 다른 접근방식은 수렴 가속을 사용하는 것이다.우리는 가지고 있다.

${\displaystyle {\rm {Riesz}=\sum _{k=1}^{{k=1}^{\frac {(1)^{k+1}x^{k-1)}{{(k-1)!\zeta(2k)}}.}$

k(2k)은 k가 커질수록 1이 가까워지기 때문에, 이 시리즈 접근법의 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\frac {(-1)^{k+1}x^{k-1){$$}}=x\exp(-$$x)}$ 실제로$,$ Riesz는 다음과 같이 언급했다:${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$:${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle \mathrm{z}}$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$/ ${\displaystyle n{}^{}{2\mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$-${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) .$${\$displaystyle \{\sum _{n=1}^{\rm {Riesz}}}}=x\ex(-x).$$}$

융합을 가속화하기 위해 쿠머의 방법을 사용하는 것은

${\displaystyle {\rm{Riesz}}(x)=x\exp(-x)-\sum _{k=1}^{k=1}{k=1}}\flt(\제타(2k)-1\오른쪽)\{\frac {(-1)^{k+1}{(k-1)!\제타(2k)}\오른쪽)x^{k}}}$

정합화 속도가 향상되어

이 프로세스를 계속하면 훨씬 더 나은 수렴 특성을 가진 Riesz 기능에 대한 새로운 시리즈로 이어진다.

${\displaystyle {\rm {Riesz}=\sum _{k=1}^{{k=1}^{\frac {(1)^{k+1}x^{k-1)}{{(k-1)!\제타(2k)}}}}}=\sum _{k=1}^{{k=1}{\inflat }{\frac {(1)^{k+1}x^{k-1)}{{(k-1)!}}}\왼쪽(\sum _{n=1}^{\infit }\mu(n)n^{-2k}\오른쪽)}}$

${\displaystyle \sum \sum \{k=1}^{n=1}^{n=1}{n=1}\flac {(-1)^{k+1}\좌측(x/n^{2}\오른쪽)^{k}}{(k-1)!}}}=x\sum _{n=1}^{n1}^{\inflat }{n^{n^{n}}}}{n^{n^{n}}}\exp \frac{n^}}\right).}$

여기서 μ는 뫼비우스 mu 함수로, 용어의 재배열은 절대 수렴에 의해 정당화된다.우리는 이제 다시 쿠머의 방법을 적용하고, 글을 쓸지도 모른다.

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\left({\frac {6}{\pi ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\left(\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)-1\right)\right)}$

그 항들은 결국 n의 역 4번째 힘으로 감소한다.

위의 시리즈는 어디에서나 절대적으로 수렴되므로 용어에 따라 구별될 수 있으며, 리에즈 함수의 파생형에 대해 다음과 같은 표현이 나올 수 있다.

${\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}-x\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)}$

로 재배열될 수 있는

${\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}+x\left(-{\frac {90}{\pi ^{4}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\left(1-\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)\right).}$

마레크 울프(Marek Wolf)는^[2] 리만 가설이 큰 x에 대해 다음과 같은 것을 보여주었다고 가정한다.

${\displaystyle {\rm {Riesz}=\mathrm {const} \times x^{1/4}\sin \left(\phi -{1}{1}{1}2}}\gamma _{1}\log(x)\right)}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{14.13472514...}}$$\displaystyle \property _{1}=14.13472514...$$}$은(는) 제타함수의 첫 번째 비경쟁적 0의 가상 부분, $co{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ n ${\displaystyle \mathrm{t}}$= ${\displaystyle \mathrm{7.7750627...}}$${\$$\times$ 10$^{-5}},$ $\varphi$ =${\displaystyle \mathrm{}}$- 0${\displaystyle \mathrm{.54916...}}$${\displaystyle \phi =-0.54916...$$==(-31,46447^{\circle$ $\}\}\}).$ 허버트 윌프가 1964년에 입증한 리에즈 함수의 0에 대한 일반적인 이론에 동의한다.^[3]

Riesz 함수의 모양

0 ~ 50 범위의 그림은 위에 제시되어 있다.현재까지, 그것은 매우 빠른 성장을 나타내지 않으며 아마도 리만 가설의 진실에 대한 좋은 징조가 될 것이다.

메모들

참조

• Titchmarsh, E. C, Theory of the Riemann Zeta Function, 두 번째 개정판(Heath-Brown), 옥스퍼드 대학 출판부, 1986, [제14.32절]