나비에-스토크스 방정식

나비에–스토크스 방정식(/n æv ˈje ɪ ʊ/nav-YAY STOHKS)은 점성 유체 물질의 운동을 설명하는 편미분 방정식입니다. 그것들은 프랑스의 공학자이자 물리학자인 클로드 루이 나비에와 아일랜드의 물리학자이자 수학자인 조지 가브리엘 스톡스의 이름을 따서 지어졌습니다. 이 이론들은 1822년 (네이비에)부터 1842년 - 1850년 (스토크스)까지 수십 년에 걸쳐 점진적으로 이론을 구축하면서 발전되었습니다.

나비에–스토크스 방정식은 뉴턴 유체에 대한 운동량 균형과 질량 보존을 수학적으로 표현합니다. 이들은 때때로 압력, 온도 및 밀도와 관련된 상태 방정식을 동반합니다.^[1] 이들은 유체 운동에 아이작 뉴턴의 제2법칙을 적용하는 것에서 비롯되며, 유체의 응력은 확산 점성항(속도의 구배에 비례)과 압력항(따라서 점성 흐름을 설명하는)의 합이라는 가정과 함께 발생합니다. 그들과 밀접하게 관련된 오일러 방정식의 차이점은 나비에–스토크스 방정식은 점도를 고려하는 반면 오일러 방정식은 불연속적인 흐름만 모형화합니다. 결과적으로 나비에는–스토크는 포물선 방정식이므로 더 나은 분석 특성을 갖는데, 수학적 구조가 더 적음에도 불구하고(예를 들어, 그들은 결코 완전히 적분할 수 없습니다).

나비에–스토크 방정식은 과학과 공학에 관심이 있는 많은 현상의 물리학을 설명하기 때문에 유용합니다. 이들은 날씨, 해류, 파이프의 물 흐름, 날개 주위의 공기 흐름을 모델링하는 데 사용될 수 있습니다. 나비에–스토크스 방정식은 전체적이고 단순화된 형태로 항공기와 자동차의 설계, 혈류 연구, 발전소의 설계, 오염 분석 및 기타 많은 문제에 도움이 됩니다. 맥스웰 방정식과 결합하여 자기유체역학을 모델링하고 연구하는 데 사용할 수 있습니다.

나비에– 스톡 방정식은 순수하게 수학적인 의미에서도 큰 관심을 갖습니다. 다양한 실용적 용도에도 불구하고 원활한 솔루션이 항상 3차원으로 존재하는지, 즉 도메인의 모든 지점에서 무한히 차별화(또는 경계화)되는지 여부는 아직 입증되지 않았습니다. 이것은 나비에라고 불립니다.–존재 및 평활성 문제를 유발합니다. 클레이 수학 연구소는 이것을 수학에서 가장 중요한 7개의 미해결 문제 중 하나라고 불렀고 풀이나 반례에 대해 미화 100만 달러의 상금을 제공했습니다.^[2]^[3]

유속

방정식의 해는 유속입니다. 이것은 벡터장입니다. 유체의 모든 점에, 시간 간격의 어떤 순간에도, 그것은 그 방향과 크기가 공간의 그 지점과 그 순간의 유체의 속도의 벡터를 제공합니다. 일반적으로 3개의 공간 차원과 1개의 시간 차원으로 연구되지만 두 개의 (공간) 차원과 정상 상태 사례가 모델로 사용되는 경우가 많고 순수 수학과 응용 수학 모두에서 고차원의 유사체가 연구됩니다. 속도 필드가 계산되면 동적 방정식 및 관계를 사용하여 압력 또는 온도와 같은 다른 관심 양을 찾을 수 있습니다. 이것은 일반적으로 해결책이 입자의 위치 궤적 또는 연속체의 편향인 고전 역학에서 일반적으로 보는 것과는 다릅니다. 시각화 목적을 위해 다양한 궤적을 계산할 수 있지만 위치 대신 속도를 연구하는 것이 유체에 더 합리적입니다. 특히, 유속으로 해석되는 벡터장의 유선은 질량이 없는 유체 입자가 이동하는 경로입니다. 이 경로는 각 점에서 도함수가 벡터장과 동일한 적분 곡선이며, 한 시점에서 벡터장의 거동을 시각적으로 나타낼 수 있습니다.

일반 연속체 방정식

나비에–스토크스 운동량 방정식은 일반적인 대류 형태를 가지는 코시 운동량 방정식의 특정한 형태로 유도될 수 있습니다.

{\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} {\mathrm {D} t}}={\frac {1} {\rho}}\nbla \codot {\boldsymbol {\sigma }+\mathbf {g} .

코시 응력 텐서

{\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}

σ

{\

textstyle

{\boldsymbol {\

sigma}}를

{\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}

τ {\textstyle

{\

tau}}(디바이어티브 응력)와

압력항

-

p

I {\

textstyle

-p\mathbf {I}(부피 응력)의 합으로 설정하면 다음과 같습니다.

코시 운동량 방정식 (conve 양식)

$\rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=-\nblap+\n으르렁거리는 소리abla \cdot {\boldsymbol {\tau }+\rho \,\mathbf {g$

어디에

${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$ ${\textstyle {\frac {\mathrm {D}} {\mathrm {D} t}}$ 은 ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$ ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$ 수로, ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$ ∂ ∂ ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$ + $u$ ⋅ ∇ {\ $textstyle$ {\ $frac$ {\partial} {\partial $t}+\$ mathbf { $u$ } \cdot \n $abla$
$ρ {\textstyle$ \rho}는 (질량) 밀도입니다.
${\textstyle \mathbf {u} }$ ${\$ 은 ${\textstyle \mathbf {u} }$ (는) 유속입니다.
$⋅$ $abla \cdot \,}$ 는 발산입니다 ${\textstyle \nabla \cdot \,}$ .
$p {\textstyle$ p $}$ 는 ${\textstyle p}$ 압력입니다.
$t {\textstyle$ t $}$ 는 ${\textstyle t}$ 시간입니다.
$τ {\textstyle$ {\ $boldsymb$ \tau $}}$ 은 차수가 2인 일탈적 응력 텐서입니다.
${\textstyle \mathbf {g} }$ ${\$ 은(는) 연속체에 작용하는 신체 가속(예 ${\textstyle \mathbf {g} }$ : 중력, 관성 가속, 정전기 가속 등)을 나타냅니다.

이 형태에서, 비점 유체의 가정에서 이탈 응력은 없고 코시 방정식은 오일러 방정식으로 감소한다는 것이 명백합니다.

질량 보존을 가정할 때, 알려진 발산과 구배의 특성으로 우리는 공간과 시간에 대한 균질한 유체의 단위 부피당 질량을 나타내는 질량 연속 방정식을 사용할 수 있습니다. 재료 도함수 ${\frac {\mathbf {D} }{\mathbf {Dt} }}$ ${\$ {\mathbf {D}} ${\mathbf {Dt$ 은 유체 매체의 속도 변화를 나타냅니다.

{\frac {\mathbf {Dt}}{\int }}={\int }{\int \limits _{V}}{\int }({\frac {\mathbf {Dt}\rho }{\mathbf {Dt}}}+\rho(\n)abla \cdot \mathbf {u} )})dV={\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u})={\frac {\partial \rho}{\partial t}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nbla \cdot \mathbf {u})={\frac {\partial \rho }{\partial t}+\nabla ({\rho \mathbf {u} })=0

어디에

${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}}$ ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}}$ ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}$ 는 단위 부피당 질량의 재료 ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}}$ 함수(밀도, $ρ {\displaystyle$ $\$ rho}),
${\textstyle {\int }{\int \limits _{V}}{\int }(F(x_{1},x_{2},x_{3},t))dV}$ ∫ ( ${\textstyle {\int }{\int \limits _{V}}{\int }(F(x_{1},x_{2},x_{3},t))dV}$ (x 1, x 2, x 3, t ) d V {\textstyle {\int}{\limits_{V}}{\int}(F(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t) dV}는 볼륨(V) 전체에 대한 적분에 대한 수학적 연산입니다.
$∂$ $t$ ${\$ textstyle {\ $f$ rti ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$ artial t}}는 편미분 연산자입니다.
$u {\textstyle$ $abla \cdot \mathbf$ { $u} \,}$ 는 스칼라 필드인 유속의 발산( $\mathbf {u}$ ${\$ { $u})$ 입니다. $\mathbf {u}$
$ρ$ $bla \rho$ $}\,}$ 는 밀도의 구배( $ρ$ ${\displaystyle$ \rho })이며, 이는 스칼라장의 벡터 도함수입니다.

^{참고 1 - nabla로 표시된 $연산자$ del을 참조합니다( ∇ {\ $displaystyle$ \n $).$ $bla$ 기호입니다.}

운동 방정식의 보존 형태에 도달합니다. 흔히 다음과 같이 쓰입니다.^[4]

코시 운동량 방정식 (보존양식)

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \,\mathbf {u})+\nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} \time \mathbf {u} ) =-\nblap+\n으르렁거리는 소리abla \cdot {\boldsymbol {\tau }+\rho \,\mathbf {g$

$여기서$ ⊗ ${\$ $textstyle$ \otimes}은 유속의 $\mathbf {u}$ 곱 $($ u {\ $displaystyle \mathbf$ {u})입니다.

\mathbf {u} \time \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathrm {T}

방정식의 왼쪽은 가속도를 설명하며, 시간 의존적 성분과 대류 성분으로 구성될 수 있습니다(비 관성 좌표가 존재하는 경우의 영향도 있음). 방정식의 오른쪽은 사실상 유체 정역학적 효과, 이탈 응력 및 신체 힘(예: 중력)의 발산의 합입니다.

나비에와 같은 모든 비상대론적 균형 방정식–스토크스 방정식은 코시 방정식으로 시작하여 구성 관계를 통해 응력 텐서를 지정함으로써 유도할 수 있습니다. 점도와 유체 속도 구배로 데바이어틱(전단) 응력 텐서를 표현하고, 일정한 점도를 가정함으로써, 위의 코시 방정식들은 나비에를 유도할 것입니다.–아래 식을 입력합니다.

대류 가속도

코시 방정식과 결과적으로 다른 모든 연속체 방정식(오일러와 나비에 포함)의 중요한 특징–스토크스)는 대류 가속도의 존재: 공간에 대한 흐름의 가속도 효과입니다. 개별 유체 입자는 실제로 시간 의존적 가속도를 경험하지만, 흐름장의 대류 가속도는 공간 효과이며, 한 예로 노즐에서 유체가 속도를 내는 것이 있습니다.

압축유량

비고: 여기서 이탈 응력 텐서는 ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ σ {\textstyle ${\boldsymbol {\$ sigma}}}(일반 연속체 방정식 및 비압축 흐름 섹션에서와 같이 ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ τ {\textstyle ${\boldsymbol$ {\tau}} ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ )로 표시됩니다.

압축 운동량 나비에–코시 응력 텐서에 대한 다음 가정에서 나온 스톡 방정식 결과:^[5]

응력은 갈릴레이 불변량입니다. 그것은 유속에 직접적으로 의존하지 않고 유속의 공간 도함수에만 의존합니다. 따라서 응력 변수는 텐서 ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ∇ u ${\textstyle$ \n입니다. $bla \mathbf {u$
이 변수에서 스트레스는 선형입니다: ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {C} :\left(\nabla \mathbf {u} \right)}$ σ $($ ∇ u) = C : (∇ u) {\ $textstyle {\boldsymbol$ {\sigma }}\left(\n $abla \mathbf {u} \right)=\mathbf {C} :\left(\n$ $bla \mathbf {u} \right$ ${\textstyle \mathbf {C} }$ 서 C ${\$ 는 ${\textstyle \mathbf {C} }$ 비례 상수를 나타내는 4차 텐서입니다. 점도 또는 탄성 텐서라고 하며, :는 이중 점 곱입니다.
유체는 기체 및 단순 액체와 마찬가지로 등방성인 것으로 가정되며, 결과적으로 ${\textstyle \mathbf {V} }$ ${\$ 는 ${\textstyle \mathbf {V} }$ 등방성 텐서입니다. 또한 응력 텐서는 대칭이기 때문에 헬름홀츠 분해에 의해 두 개의 스칼라 라메 매개변수로 표현될 수 있습니다. 두 번째 점도 ${\textstyle \lambda }$ λ ${\textstyle$ \lambda } 및 동적 점도 μ {\textstyle \mu}는 선형 탄성에서 일반적인 것과 같습니다.
선형응력구성방정식 (탄성 고체에 사용되는 express 이온)
${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda(\n)abla \cdot \mathbf {u})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon}$

여기서 ${\textstyle \mathbf {I} }$ ${\textstyle \mathbf {I}$ 는 ${\textstyle \mathbf {I} }$ 항등 텐서, ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$ ε ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$ ∇ ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$ ) ≡ 12 ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$ ∇ u + $12$ (∇ u) T ${\textstyle$ {\boldsymbol {\varepsilon}}\left(\n $bla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\n$ $abla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\n$ $bla \mathbf {u} \right)^$ ${T}}$ 은 변형률 텐서 ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} }$ $∇ ⋅$ u {\ $textstyle$ \n입니다. $abla \cdot \mathbf$ {u $}는$ 흐름의 발산(즉 ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} }$ , 팽창 속도)입니다. 따라서 이 분해는 다음과 같이 명시적으로 정의할 수 있습니다.
${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda(\n)abla \cdot \mathbf {u})\mathbf {I} +\mu \left(\n)bla \mathbf {u} +(\n)abla \mathbf {u})^{\mathrm {T}\right)$

3차원 변형률 텐서의 추적은 다음과 같습니다.

\operatorname {tr}({\boldsymbol {\varepsilon}})=\nabla \cdot \mathbf {u} .

3차원 응력 텐서의 궤적은 다음과 같습니다.

\operatorname {tr}({\boldsymbol {\sigma })=(3\lambda +2\mu)\nabla \cdot \mathbf {u} .

그래서 유체 역학에서 일반적인 것처럼 응력 텐서를 등방성 부품과 편차 부품으로 대체 분해함으로써:^[6]

{\boldsymbol {\sigma }}=\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} +\mu \left(\nbla \mathbf {u} +\left(\n)abla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)

대량 점도 ${\textstyle \zeta }$ ζ {\textstyle $\$ zeta}를 소개합니다.

\zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu,

일반적으로 열수압학에서 사용되는 형태의 선형 구성 방정식에 도달합니다.^[5]

선형응력구성방정식 (액체에 사용되는 express이온)

${\boldsymbol {\sigma }}=\zeta(\n)abla \cdot \mathbf {u})\mathbf {I} +\mu \left[bla \mathbf {u} +(\n)abla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u})\mathbf {I} \right]$

두 번째 점도 ${\textstyle \zeta }$ ζ {\textstyle $\$ zeta}와 동적 ${\textstyle \mu }$ μ ${\textstyle$ \mu}는 모두 일정할 필요는 없습니다. 일반적으로 유체가 예를 들어 압력 및 온도와 같은 단일 화학 종을 포함하는 경우 두 열역학 변수에 따라 달라집니다. 보존 변수에서 이러한 수송 계수 중 하나를 명시적으로 만드는 방정식을 상태 방정식이라고 합니다.^[7]

나비에 중 가장 장군–주식 방정식은 다음과 같이 됩니다.

Navier-Stokes 운동량 방정식(대류 형태)

$\rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} {\mathrm {D} t}}=\rho \left ({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} \right)=-\nblap+\n으르렁거리는 소리abla\cdot\left\{\mu\left[\n]bla \mathbf {u} +(\n)abla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u})\mathbf {I} \right]+\zeta (\n아발아발아발아발아발아발아발아발아발아! \cdot \mathbf {u})\mathbf {I} \right\}+\rho \mathbf {g}.$

압력과 온도의 의존성과는 별개로, 두 번째 점도 계수는 공정에 따라 달라지는데, 즉 두 번째 점도 계수는 단지 물질적 특성이 아닙니다. 또한 위의 식은 밀도 $($ ρ) ${\displaystyle(\$ rho)}가 일정하다고 가정합니다 $.$ $\rho \mathbf {u}$ 는 단위 부피당 밀도와 속도의 곱 $($ ρ u ${\displaystyle \$ rho \mathbf {u})의 실질적인 도함수에서 제거되므로, 비압축성 흐름입니다. 예: 유체소자를 대체적으로 압축 및 팽창시키는 확정 주파수를 갖는 음파의 경우, 제2 점도계수는 파동의 주파수에 의존하는 것을 특징으로 하는 방법. 이 의존성을 분산이라고 합니다. 경우에 따라 두 번째 점도 ${\textstyle \zeta }$ ζ {\textstyle $\$ zeta}는 일정하다고 가정할 수 있으며, 이 경우 부피 ${\textstyle \zeta }$ ζ {\textstyle \zeta}의 효과는 기계적 압력이 열역학적 압력과 동일하지 않다는 것입니다: 아래에서 입증된 바와 같습니다.

\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\n블라(\n)abla \cdot \mathbf {u}),

{\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u},

그러나 이 차이는 일반적으로 ζ

{\textstyle \zeta =0}

= 0 {\textstyle \zeta = 0}을 명시적으로 가정함으로써 대부분(즉, 두 번째 점도 계수가 중요해지는 충격파의 흡음 및 감쇠와 같은 프로세스를 다루지 않을 때) 무시됩니다. ζ =

{\textstyle \zeta =0}

{\textstyle \zeta = 0}을(를) 설정하는 가정을 스톡스 가설이라고 합니다. 스토크스 가설의 타당성은 단원자 기체에 대해 실험적으로 그리고 운동 이론으로 입증될 수 있습니다.^[11] 다른 기체와 액체에 대해 스토크스 가설은 일반적으로 틀립니다. 스톡스 가설과 함께 나비에–주식 방정식은 다음과 같이 됩니다.

Navier-Stokes 운동량 방정식(대류 형태)

$\rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} {\mathrm {D} t}}=\rho \left ({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} \right)=-\nblap+\n으르렁거리는 소리abla\cdot\left\{\mu\left[\n]bla \mathbf {u} +(\n)abla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u})\mathbf {I} \right]\right\}+\rho \mathbf {g} .$

동적 점도 $μ$ 도 일정하다고 가정하면 방정식을 더 단순화할 수 있습니다. 응력 텐서의 발산을 계산함으로써, ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ∇ $u {\textstyle$ \n의 발산 이후 $bla \mathbf$ { $u} }$ 은(는) $∇$ 2u ${\textstyle$ \n입니다. $abla ^{2}\mathbf$ { $u} }$ 와 텐서의 발산 ${\textstyle \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }}$ $∇$ $u)$ T ${\textstyle \left$ (\n) $abla \mathbf$ { $u} \right)^{\mathrm$ { $T}}는 ∇$ 입니다 ( $∇ ⋅$ u) ${\$ textstyle \n $bla \left(\n$ $abla \cdot \mathbf {u} \right$ 드디어 압축식(가장 일반적인) 나비에 도착합니다.–스토크스 운동량 방정식:^[12]

Navier-Stokes 운동량 방정식(보존 형태)

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \,\mathbf {u})+\nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} \time \mathbf {u} ) =-\nabla p+\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\tfrac {1}{3}}\mu \,\n블라(\n)abla \cdot \mathbf {u} )+\rho \mathbf {g} .$

여기서 ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$ ${\$ t $}}$ 는 ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$ 재료 도함수입니다. Navier의 보존 형태에서 왼쪽이 바뀝니다.– 운동량 방정식을 저장합니다.

벌크 점도는 일정하다고 가정합니다. 그렇지 않으면 마지막 도함수에서 제거되지 않아야 합니다. 대류가속도항은 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =(\nbla \times \mathbf {u})\times \mathbf {u} +{\tfrac {1} {2}\nabla \mathbf {u} ^{2},

여기서

{\textstyle (\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }

( ∇ ×

{\textstyle (\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }

) ×

u

{\

textstyle

(\n

)

bla \times \mathbf {u})\times \mathbf {u}}

를

{\textstyle (\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }

Lamb 벡터라고 합니다.

비압축성 흐름의 특수한 경우 압력은 ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$ 요소의 부피가 일정하도록 흐름을 제한합니다. 등각류 흐름은 ∇ ⋅ u = $0$ {\ $textstyle$ \n을 갖는 솔레노이드 속도장을 생성합니다. $abla \cdot \mathbf {u} =0}$ .^[13]

비압축성 흐름

비압축 운동량 나비에–코시 응력 텐서에 대한 다음 가정에서 나온 스톡 방정식 결과:^[5]

응력은 갈릴레이 불변량입니다. 그것은 유속에 직접적으로 의존하지 않고 유속의 공간 도함수에만 의존합니다. 따라서 응력 변수는 텐서 ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ∇ u ${\textstyle$ \n입니다. $bla \mathbf {u$
유체는 가스 및 단순 액체와 마찬가지로 등방성인 것으로 가정되며, 결과적으로 ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ τ ${\textstyle {\boldsymbol$ {\tau }}는 등방성 텐서이며, 이탈 응력 텐서는 동적 점도 μ {\textstyle \mu}의 관점으로 표현될 수 있기 때문입니다.
스톡스의 응력 구성 방정식 (비압축성 탄성고체에 사용되는 express이온)
${\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon}$

어디에
${\boldsymbol {\varepsilon}}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)$ 는 strain 텐서의 비율입니다. 따라서 이 분해는 다음과 같이 명시적으로 나타낼 수 있습니다.^[5]

Stokes의 응력 구성 방정식 (비압축성 점성 유체에 사용되는 express이온)
${\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nbla \mathbf {u} +(\n)abla \mathbf {u})^{\mathrm {T}\right]$

동적 점도 $μ$ 는 일정할 필요가 없습니다. 비압축성 흐름에서는 밀도와 압력에 따라 달라질 수 있습니다. 보수 변수에서 이러한 전송 계수 중 하나를 명시적으로 만드는 방정식을 상태 방정식이라고 합니다.^[7]

편차 응력의 차이는 다음과 같습니다.

\nbla \codot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nbla \cdot \left (\n)bla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u}

∇ ⋅

{\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}

=

0

{\

textstyle

\n 이므로비압축성 유체에 대한

bla \cdot \mathbf {u}

=

0}.

비압축성은 소리나 충격파와 같은 밀도와 압력파를 배제하기 때문에 이러한 현상이 관심을 가질 경우 이러한 단순화는 유용하지 않습니다. 비압축성 흐름 가정은 일반적으로 일반적으로 낮은 마하 수치(최대 마하 0.3)의 모든 유체(예를 들어, 정상 온도에서의 공기 바람 모델링)에 잘 적용됩니다.^[14] 비압축성 나비에–스토크 방정식은 밀도에 맞게 분할하여 가장 잘 시각화됩니다.^[15]

비압축성 나비에–스토크스 방정식(대칭 형식)

${\frac {\partial \mathbf {u} {\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nblap+\mathbf {g} .$

밀도가 유체 영역 전체에서 일정하거나, 즉 모든 유체 요소가 동일한 밀도인 ρ = ρ 0 {\textstyle \ $rho$ =\rho _{0}이면, 우리는 다음을 갖습니다.

비압축성 나비에–스토크스 방정식(대칭 형식)

${\frac {\partial \mathbf {u} {\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nbla \left ({\frac {p}{\rho _{0}}\right)+\mathbf {g},$

여기서 ν = μ ρ 0 {\textstyle \n $u$ $=$ {\ $frac {\mu}{\rho$ _ ${0}}}$ 라고 합니다.

층류 예제

속도 프로파일(층류):

u_{x}=u(y),\quad u_{y}=0,\quad u_{z}=0

x방향의 경우, Navier를 단순화합니다.–스토크스 방정식:

0=-{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}+\mu \left ({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}\right)

두 번 적분하면 경계 조건 $y$ = $h$ ,u = $0$ , y = -h, u = 0:

u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}y^{2}+Ay+B

이 방정식에서 두 경계 조건을 대입하면 다음과 같은 두 방정식을 얻을 수 있습니다.

{\begin{aligned}0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}+Ah+B\\0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}-Ah+B\end{aligned}}

$B$ 에 대한 추가 및 해결:

B=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}

$A$ 를 대체하여 해결합니다.

A=0

마지막으로 다음과 같은 속도 프로파일을 제공합니다.

u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}\left(y^{2}-h^{2}\right)

(코시 운동량 방정식과 비교하여) 각 용어의 의미를 관찰할 가치가 있습니다.

{\displaystyle \overbrace {\vphantom {\frac {}{}}\underbrace {\partial \mathbf {u}}{\partial t}_{\text{Variation}}+\underbrace {\vphantom {\frac {}{}}(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} } _{\text{Divergence}} ^{\text{관성(부피당)}}=\overbrace {\vphantom {\frac {\partial }{\partial }}\underbrace {\vphantom {\frac {}}}-\nblaw}_{\begin{smallmatrix}{\text{내부}\{\text{source}}\end{smallmatrix}}+\언더브레이스{\vphantom{\frac{}}{}}\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}} ^{\text{스트레스의 발산}}+\언더브레이스 {\vphantom {\frac {}{}}\mathbf {g} _{\begin{smallmatrix} {\text{외부}}\{\text{source}}\end{smallmatrix}}}.

고차항, 즉 전단응력 발산 ${\textstyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$ ∇ ⋅ τ {\ $textstyle$ \n $abla \cdot {\boldsymbol {\tau$ ${\textstyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$ 단순히 벡터 ${\textstyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$ 항 μ ${\textstyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$ $∇$ $2u$ {\ $textstyle$ \mu \n으로 축소되었습니다. $abla ^{2}\mathbf {u} }$ .^[16] 이 라플라시안 용어는 한 점에서의 속도와 주변의 작은 부피에서의 평균 속도의 차이로 해석될 수 있습니다. 이것은 뉴턴 유체의 경우 점도가 열전도와 거의 같은 방식으로 운동량의 확산으로 작동한다는 것을 의미합니다. 사실 컨벡션 용어를 무시하고, 비압축성 나비에–스토크스 방정식은 벡터 확산 방정식(즉, 스토크스 방정식)으로 이어지지만, 일반적으로 대류항이 존재하므로 비압축성 나비에–스토크 방정식은 대류-확산 방정식의 부류에 속합니다.

외부 필드가 보수적인 필드인 일반적인 경우:

\mathbf {g} = -\nabla \varphi

유압 헤드를 정의함으로써:

h\equiv w+\varphi

한 용어로 모든 소스를 압축할 수 있습니다. 비압축성 나비에 도착합니다.–보수적인 외부 필드가 있는 스톡 방정식:

{\frac {\partial \mathbf {u} {\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\n기합.

비압축성 나비에–외부장이 보수적인 스톡 방정식은 유압학의 기본 방정식입니다. 이러한 방정식의 도메인은 일반적으로 3차원 이하의 유클리드 공간이며, 이에 대해 직교 좌표 참조 프레임은 일반적으로 해결해야 할 스칼라 편미분 방정식 시스템을 명시적으로 설정됩니다. 3차원 직교 좌표계는 3: 직교 좌표계, 원통 좌표계 및 구 좌표계입니다. 나비에 표현하기–데카르트 좌표의 스톡스 벡터 방정식은 매우 간단하고 사용되는 유클리드 공간의 차원 수에 크게 영향을 받지 않으며, 이는 비데카르트 직교 좌표계에서도 1차 항(변동 및 대류 항과 같은)의 경우에도 마찬가지입니다. 그러나 고차항의 경우(Navier를 구별하는 일탈적 응력의 발산에서 나온 둘)– 오일러 방정식의 스톡 방정식) 비직교 직교 좌표계에서 식을 추론하려면 약간의 텐서 미적분학이 필요합니다.

비압축성 나비에–스토크스 방정식은 두 직교 방정식의 합인 합성입니다.

{\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial t}}&=\Pi^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \n)abla)\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}

여기서

{\textstyle \Pi ^{S}}

π S

{\textstyle

\Pi^{

}}

및

{\textstyle \Pi ^{I}}

π

{\textstyle \Pi ^{I}}

I

{\textstyle

\Pi^{I}}는

{\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}

π S +

{\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}

π I = 1 {\

textstyle

{\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}

Pi^{

{\textstyle \Pi ^{I}}

}+\Pi^{I}=1}을

{\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}

하는 솔레노이드 및 비회전 사영

{\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}

입니다.

{\textstyle \mathbf {f} ^{S}}

f

{\textstyle \mathbf {f} ^{S}}

{\

와

{\textstyle \mathbf {f} ^{S}}

{\textstyle \mathbf {f} ^{I}}

{\textstyle \mathbf {f} ^{I}}

{\

는

{\textstyle \mathbf {f} ^{I}}

체력의 비보존적인 부분입니다. 이 결과는 헬름홀츠 정리(벡터 미적분학의 기본 정리라고도 함)에서 나옵니다. 첫 번째 방정식은 속도에 대한 무압력 지배 방정식인 반면, 압력에 대한 두 번째 방정식은 속도의 함수이며 압력 포아송 방정식과 관련이 있습니다.

3D 사영 연산자의 명시적 함수 형태는 헬름홀츠 정리에서 찾을 수 있습니다.

\Pi^{S}\,\mathbf {F}(\mathbf {r})={\frac {1}{4\pi}}\nbla \times {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' }}\,\mathrm {d} V',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}

2D와 비슷한 구조를 가지고 있습니다. 따라서 지배 방정식은 쿨롱 및 Biot-Savart 법칙과 유사한 적분 미분 방정식으로 수치 계산에 편리하지 않습니다.

나비에와 동일한 속도 해를 생성하는 것으로 증명된 방정식의 약한 형태 또는 변형 형태–스토크스 ^[17]방정식은 다음과 같습니다.

\left(\mathbf {w}, {\frac {\partial \mathbf {u}} {\partial t},\right)=-{\bigl(}\mathbf {w},\left(\mathbf {u} \cdot \nbla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\n)bla \mathbf {w} :\nbla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w},\mathbf {f} ^{S}\right)

적절한 경계 조건을 만족하는 ${\textstyle \mathbf {w} }$ ${\$ 의 발산 없는 검정 함수의 경우. 여기서 투영은 솔레노이드 및 비회전 함수 공간의 직교성에 의해 수행됩니다. 다음 절에서 볼 수 있듯이, 이 이산 형태는 발산이 없는 흐름의 유한 요소 계산에 매우 적합합니다. "무압력 지배 방정식으로 압력 구동(Poiseuille) 문제를 어떻게 명시할 것인가?"라는 질문을 해결할 수 있을 것입니다.

지배 속도 방정식에서 압력력의 부재는 방정식이 동적 방정식이 아니라 발산이 없는 조건이 보존 방정식의 역할을 하는 운동학적 방정식임을 보여줍니다. 이 모든 것은 비압축성 압력이 발산이 없는 조건을 강제한다는 빈번한 진술을 반박하는 것처럼 보일 것입니다.

비압축성 나비에의 약한 형태–스토크스 방정식

스트롱폼

비압축성 나비에를 고려합니다.–정밀도 ${\textstyle \rho }$ ρ ${\$ textstyle \rho}인 뉴턴 유체에 대한 방정식을 정의합니다.

\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}\quad (d=2,3)

경계를 두고

\partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}

γ

D

{\

textstyle

\

Gamma

_

{

D}}

{\textstyle \Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset }

γ N

{\textstyle

\Gamma _{N}} 각각 디리클레 및 노이만 경계 조건이 적용되는 경계의 일부입니다(γ D ∩ γ N = ∅ {\textstyle \Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset}):

{\begin{case}\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}+\rho(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} -\nabla \codot {\boldsymbol {\u}}(\mathbf {u},p)=\mathbf {f} &{\text{in}}\Omega \times (0,T)\\nabla \cdot \mathbf {u} =0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\mathbf {u} =\mathbf {g} &{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\{\boldsymbol {\u}}(\mathbf {u},p){\hat {\mathbf {n}} =\mathbf {h} & {\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} _{\text{in}}\Omega \times \{0\}\end{case}

{\textstyle \mathbf {u} }

is the fluid velocity,

{\textstyle p}

the fluid pressure,

{\textstyle \mathbf {f} }

a given forcing term,

{\hat {\mathbf {n} }}

the outward directed unit normal vector to

{\textstyle \Gamma _{N}}

, and

{\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)}

textstyle {\boldsymbol {

}}(\mathbf {u},p)} 점성 응력 텐서는 다음과 같이 정의됩니다.

{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u},p)=-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon}}(\mathbf {u}).

{\textstyle \mu }

{\textstyle \mu }

를 유체의 동적

{\textstyle \mathbf {I} }

라고 하자. I

{\textstyle \mathbf {I}

2차 동일성 텐서 및

{\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )}

ε (u)

{\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon}}(\mathbf

{u})를 다음과 같이 정의된 변형률 텐서라고 합니다.

{\boldsymbol {\varepsilon}}(\mathbf {u})={\frac {1}{2}}\left(\left(\n)bla \mathbf {u} \right)+\left(\nbla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T}\right)

함수

{\textstyle \mathbf {g} }

{\

및

{\textstyle \mathbf {g} }

{\textstyle \mathbf {h} }

{\

에는 디리클레 및 노이만 경계 데이터가 제공되며

{\textstyle \mathbf {h} }

u

{\textstyle \mathbf {u} _{0}}

{\

는

{\textstyle \mathbf {u} _{0}}

초기 조건입니다. 첫 번째 방정식은 운동량 균형 방정식이고 두 번째 방정식은 질량 보존, 즉 연속 방정식을 나타냅니다. 일정한 동역학적 점도를 가정하고 벡터 항등식을 이용하여

\nbla \cdot \left (\n)abla \mathbf {f} \right)^{\mathrm {T} =\n블라(\n)abla \cdot \mathbf {f}

질량 보존을 활용하여 운동량 방정식에서 총 응력 텐서의 발산은 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.^[18]

{\begin{aligned}\nbla \codot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u}),p)&=\nabla \cdot \left (-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon}}(\mathbf {u})\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nbla \mathbf {u} \right)+\left(\nbla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T}\right)\right]\\&=-\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {u} +\nbla \cdot \left (\n)abla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T}\right)\&=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta \mathbf {u} +\nabla \underbrace {(\n)abla \cdot \mathbf {u} )} _{=0}{\bigr )}=-\nblap+\mu \,\Delta \mathbf {u} .\end{aligned}

또한 노이만 경계 조건은 다음과 같이 재배열할 수 있습니다.^[18]

{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u},p){\hat {\mathbf {n}}}=\left (-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon}}(\mathbf {u})\right){\hat {\mathbf {n}}}=-p{\hat {\mathbf {n}}}+\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}{\hat {\mathbf {n}}}

약한 형태

나비에의 약한 형태를 찾기 위해–스토크스 방정식, 먼저 운동량 방정식을^[18] 고려합니다.

\rho {\frac {\partial \mathbf {u}} {\partial t}-\mu \Delta \mathbf {u} +\rho(\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f}

적절한 공간

{\textstyle V}

{\textstyle V}

에 정의된

{\textstyle \mathbf {v} }

함수 v

{\textstyle \mathbf {v}

에 곱하고

{\textstyle V}

도메인

{\textstyle \Omega }

ω

{\textstyle

\Omega

}

에 대해 두 멤버를 통합합니다.

\int \limits_{\Omega }\rho {\frac {\partial \mathbf {u} {\partial t}\cdot \mathbf {v} -\int \limits_{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits_{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\nablap\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega}\mathbf {f} \cdot \mathbf {v

확산항과 압력항을 부분별로 그리고 가우스 정리를 이용하여 역적분하기:^[18]

{\begin{aligned}-\int \limits _{\Omega}\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} &=\int _{\Omega}\mu \nbla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} -\int \limits _{\partial \Omega }\mu {\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial {\hat {\mathbf {n}}}}\cdot \mathbf {v} \\int \limits _{\Omega }\nablap\cdot \mathbf {v} &=-\int \ _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }p\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n}}}\end {aligned}

이 관계를 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.^[18]

\int \limits_{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u}}{\partial t}\cdot \mathbf {v} +\int \limits_{\Omega }\mu \nbla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega}\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega}\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u}} {\hat {\mathbf {n}}}-p{\hat {\mathbf {n}}}\right)\cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V.

같은 방식으로, 연속 방정식은

{\textstyle Q}

Q

{\textstyle Q}

{\

textstyle

Q

}

에 속하는 테스트 함수

q

에 대해 곱되며 도메인

{\textstyle \Omega }

ω {\

textstyle

\Omega}에 통합됩니다.

\int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0.\quad \forall q\in Q.

공간 기능은 다음과 같이 선택됩니다.

{begin{aligned}V =\left[H_{0}^{1}(\Omega )\right]^{d}&=\left\{\mathbf {v} \in \left[H^{1}(\Omega )\right]^{d:\quad \mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{on}}\Gamma _{D}\right\},\Q&=L^{2}(\Omega )\end{aligned}

테스트 함수가 디리클레 경계에서

사라짐

을 고려하고 노이만 조건을 고려하면 경계의 적분은 다음과 같이 재배열될 수 있습니다.^[18]

\int \limits _{\partial \Omega}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u}}{\hat {\mathbf {n}}}-p{\hat {\mathbf {n}}}-p{\hat {\mathbf {n}}\right)\cdot \mathbf {v} =\언더브레이스 {\int \limits _{\gamma _{D}}\left(\mu {\partial \mathbf {u}}{\hat {\mathbf {n}}\right)\cdot \mathbf {v}_{\mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\ }+\int \limits _{\Gamma _{N}}\underbrace {\vphantom {\int \limits _{\Gamma _{N}}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u}}{\hat {\mathbf {n}}}-p{\hat {\mathbf {n}}\right)}_{=\mathbf {h} {\text{ on }}\Gamma _{N}}\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h}\cdot \mathbf {v}.

이 점을 염두에 둔다면, 나비에의 약한 공식은–스토크스 방정식은 다음과 같이 표현됩니다.^[18]

{\begin{aligned}&{\text{find}}\mathbf {u} \in L^{2}\left(\mathbb {R}^{+}\;\left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}\right)\cap C^{0}\left(\mathbb {R}^{+}\;\left[L^{2}(\Omega )\right]^{d}\right){\text{that:}}\\[5pt]&\quad {\begin{case}\displaystyle \int \limits_{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u}}{\partial t}\cdot \mathbf {v} +\int \limits_{\Omega }\mu \nbla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega}\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla)\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V,\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \forall q\in Q.\end{case}}\end{align}

이산 속도

문제 영역을 분할하고 분할된 영역에 기초 함수를 정의하는 경우, 지배 방정식의 이산 형태는

\left(\mathbf {w} _{i}, {\frac {\partial \mathbf {u} _{j}}, {\partial t}\right)=-{\bigl(}\mathbf {w} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nbla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\n)abla \mathbf {w} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {w} _{i},\mathbf {f} ^{S}\right)

비압축성 흐름의 본질적인 특징을 반영하는 기초 함수를 선택하는 것이 바람직합니다. 요소는 발산이 없어야 합니다. 속도는 관심 변수이지만 헬름홀츠 정리에 의해 스트림 함수나 벡터 퍼텐셜의 존재가 필요합니다. 또한 압력 구배가 없는 상태에서 유체 흐름을 결정하기 위해 2D 채널에 걸친 스트림 함수 값의 차이 또는 3D 채널 주변의 벡터 전위의 접선 성분의 선 적분을 지정할 수 있으며, 흐름은 Stokes의 정리에 의해 제공됩니다. 아래에서는 2D로 토론이 제한됩니다.

우리는 논의를 적어도 1차 도함수 자유도를 갖는 연속적인 에르미트 유한 요소로 제한합니다. 이를 통해 판 굽힘 문헌에서 많은 수의 후보 삼각형 및 직사각형 요소를 끌어낼 수 있습니다. 이 요소들은 구배의 성분으로 도함수를 가지고 있습니다. 2D에서 스칼라의 기울기와 컬은 명확하게 직교하며, 이는 다음과 같은 표현으로 주어집니다.

{\begin{aligned}\nabla \varphi &=\left ({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{\mathrm {T}},\[5pt]\nbla \times \varphi &=\left ({\frac {\varphi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{\mathrm {T}}}\end{aligned}}

연속적인 판 굽힘 요소를 채택하고, 파생 자유도를 교환하고, 적절한 것의 부호를 변경하면 많은 스트림 기능 요소 제품군이 제공됩니다.

스칼라 스트림 함수 요소의 컬을 취하는 것은 발산이 없는 속도 요소를 제공합니다.^[19]^[20] 스트림 함수 요소가 연속적이어야 한다는 요건은 속도의 정상적인 구성 요소가 요소 인터페이스에 걸쳐 연속적이라는 것을 보장하며, 이러한 인터페이스에서 발산을 소실하는 데 필요한 모든 것을 보장합니다.

경계 조건은 적용하기 쉽습니다. 흐름이 없는 표면에서는 스트림 함수가 일정하며, 표면에서는 미끄러지지 않는 속도 조건이 있습니다. 열린 채널 간의 스트림 기능 차이가 흐름을 결정합니다. 개방된 경계에서는 경계 조건이 필요하지 않지만 일부 문제에서는 일관된 값이 사용될 수 있습니다. 이것들은 모두 디리클레 조건입니다.

풀어야 할 대수 방정식은 설정하기는 간단하지만 물론 비선형적이어서 선형화된 방정식을 반복해야 합니다.

유사한 고려 사항이 3차원에도 적용되지만, 전위의 벡터 특성 때문에 2D로부터의 확장은 즉각적이지 않으며, 2D의 경우와 같이 구배와 컬 사이에 단순한 관계가 없습니다.

압력회복

속도장에서 압력을 쉽게 회복할 수 있습니다. 압력 구배에 대한 이산 약한 방정식은,

{\displaystyle(\mathbf {g} _{i},\nablap)=-\left(\mathbf {g} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nbla \right)\mathbf {u} _{j}\right)-\nu \left(\n)abla \mathbf {g} _{i}:\nbla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {g} _{i},\mathbf {f} ^{I}\right)}

시험/중량 기능이 비회전적인 경우. 적합한 스칼라 유한 요소를 사용할 수 있습니다. 그러나 압력 구배 필드도 관심의 대상이 될 수 있습니다. 이 경우 압력에 대해 스칼라 허마이트 원소를 사용할 수 있습니다. 시험/중량 함수 ${\textstyle \mathbf {g} _{i}}$ ${\$ 의 경우 압력 요소의 구배에서 얻은 비회전 벡터 요소를 선택할 ${\textstyle \mathbf {g} _{i}}$ 수 있습니다.

비 관성 기준틀

회전하는 참조 프레임은 재료 도함수 항을 통해 몇 가지 흥미로운 유사 힘을 방정식에 도입합니다. 기준 ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ 의 정지 관성 프레임과 속도 ${\textstyle \mathbf {U} (t)}$ ${\textstyle \mathbf {U}(t)}$ 로 번역되고 정지 프레임에 대해 각속도 ${\textstyle \Omega (t)}$ ω(t) ${\textstyle \Omega($ t)}로 회전하는 ${\textstyle K'}$ K ${\textstyle K'}$ ${\textstyle K'}$ 의 비 관성 프레임을 생각해 보십시오. 나비에–비삽입 프레임에서 관측된 식을 저장하면 다음과 같이 됩니다.

Navier-Stokes 운동량 방정식 비 관성 프레임

$\rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=-\nabla {\bar {p}}+\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\tfrac {1}{3}}\mu \,\n블라(\n)abla \cdot \mathbf {u})+\rho \mathbf {g} -\rho \left[2\mathbf {\Omega} \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega} \times \mathbf {x})+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} {\mathrm {d} t}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {\Omega} } {\mathrm {d} t}\times \mathbf {x} \right.$

${\textstyle \mathbf {x} }$ 서 x ${\$ 및 ${\textstyle \mathbf {u} }$ ${\$ 은(는) 관성이 없는 프레임에서 측정됩니다 ${\textstyle \mathbf {u} }$ . 괄호 안의 첫 번째 항은 코리올리 가속도를 나타내고, 두 번째 항은 원심 가속도로 인한 것입니다. 세 번째는 ${\textstyle K}$ ${\textstyle$ K $}$ 에 ${\textstyle K'}$ 대한 K ${\textstyle K'}$ ${\$ 의 선형 가속도 때문이고 ${\textstyle K}$ 네 번째 항은 ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ 에 ${\textstyle K'}$ 대한 K ${\textstyle K'}$ ${\$ K $'}$ 의 각도 가속도 때문입니다 ${\textstyle K}$

다른 방정식

나비에– 스톡 방정식은 엄밀히 말하면 운동량 균형을 나타내는 문장입니다. 유체 흐름을 완전히 설명하기 위해서는 가정에 따라 얼마만큼의 정보가 더 필요합니다. 이 부가 정보는 경계 데이터(노슬립, 모세관 표면 등), 질량 보존, 에너지 균형 및/또는 상태 방정식 등을 포함할 수 있습니다.

비압축성 유체에 대한 연속식

흐름 가정에 관계없이 일반적으로 질량 보존에 대한 설명이 필요합니다. 이는 이 기사의 "일반 연속체 방정식"에서 위에서 논의한 바와 같이 질량 연속 방정식을 통해 다음과 같이 달성됩니다.

{\frac {\mathbf {Dt}}{\int }}={\int }{\int \limits _{V}}{\int }({\frac {\mathbf {Dt}\rho }{\mathbf {Dt}}}+\rho(\n)abla \cdot \mathbf {u} )})dV={\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u})={\frac {\partial \rho}{\partial t}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nbla \cdot \mathbf {u})={\frac {\partial \rho }{\partial t}+\nabla ({\rho \mathbf {u} })=0

밀도

(

ρ {\displaystyle

\rho

\rho})가 일정한 유체 매체를 비압축성이라고 합니다. 따라서

({\frac {\partial \rho }{\partial t}})

에

({\frac {\partial \rho }{\partial t}})

대한 밀도의 변화율

(

ρ

{\

displaystyle

\rho

rho })

({\frac {\partial \rho }{\partial t}})

∂ ρ ∂ t) {\displaystyle({\frac {\partial \rho }{\partial t}}) 및 밀도의 구배( ∇ ρ) {\displaystyle(\n)

abla \rho

)}은

(

는

(\nabla \rho )

)

0

{\displaystyle

(

0)}

입니다

(0)

이 경우 일반적인 연속성 방정식인

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla ({\rho \mathbf {u} })=0

∂ ρ ∂

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla ({\rho \mathbf {u} })=0

t + ∇

(

ρ u) = 0 {\

displaystyle {\

frac {\partial \rho}{\partial t}+\n

abla({\rho \mathbf

{

u})=

0}, 다음으로

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla ({\rho \mathbf {u} })=0

\rho (\nabla {\cdot }{\mathbf {u} })=0

:

\rho (\nabla {\cdot }{\mathbf {u} })=0

ρ

(

∇ ⋅

\rho (\nabla {\cdot }{\mathbf {u} })=0

)

=

0

{\displaystyle

\rho(\n)

abla {\cdot}{\mathbf {u})=0

또한, 밀도

(

ρ

{\displaystyle

rho })가 0이 아닌

(\rho \neq 0)

ρ ≠ 0) {\

displaystyle

(\rho \n)라고 가정합니다.

eq 0)}

은

(0)

식 (

0)

{\

displaystyle (0)}

의 오른쪽이 밀도로 나누어짐을 의미합니다

(

ρ

{\displaystyle

\

rho }).

(\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0

비압축성 유체에 대한 연속 방정식은

(\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0

(

(\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0

∇ ⋅ u) =

(\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0

0 {\

displaystyle

(\n)로 더 줄어듭니다.

{\textstyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}

{\cdot {\mathbf

{

u}})=

0} 이 관계, (

∇ ⋅

{\textstyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}

u )

=

0 {\

textstyle

(\

n)

abla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}

, 는 유속 벡터(

\mathbf {u}

{\

의 발산이 0

(0)

(0)

과 같음을 나타냅니다

(0)

이는 비압축성 유체의 경우 유속 필드가 솔레노이드 벡터 필드 또는 발산이 없는 벡터 필드임을 의미합니다. 이 관계는

(\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))

라플라스 연산자

(\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))

∇

(\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))

(\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))

= ∇ (∇ ⋅

u

) - ∇ × (∇ ×

u

)) {\displaystyle (\n표시 스타일)과의 고유성으로 인해 확장될 수 있습니다.

abla ^{2}\mathbf {u} =\n

블라(\n

abla \cdot \mathbf {u})-\n

bla \times (\n번

bla \times \mathbf {u

와류

({\vec {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} )

ω

({\vec {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} )

→ = ∇ ×

u

)

{\displaystyle

({\vec {\

omega

}}}=\n비압축성 유체에 대하여 다음과 같이 표현되는

({\vec {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} )

bla \times \mathbf {u}}.

\nabla ^{2}\mathbf {u} =-(\nbla \times (\n번)bla \times \mathbf {u})=-(\nbla \times {\vec {\omega}})

비압축성 2D 유체에 대한 스트림 기능

비압축성 나비에의 컬을 취하는 것– 스톡 방정식은 압력을 제거합니다. ${\textstyle u_{z}=0}$ 은 특히 2D 데카르트 흐름이 ( ${\textstyle u_{z}=0}$ = ${\textstyle u_{z}=0}$ 0 {\ $textstyle$ u_{z $}$ = 0인 퇴화된 3D 경우와 마찬가지로 z {\textstyle z}에 의존하지 않는 경우) 쉽게 알 수 있습니다. 여기서 방정식은 다음과 같이 감소합니다.

{\begin{aligned}\rho \left ({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}+u_{x}{\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&-{{\frac {\partial x}}+\mu \left ({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}+{\partial y^{2}}}\right)+\rho \left ({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left ({ {\partial  x^{2}u_{y}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{align}}

첫 번째 ${\textstyle y}$ 은 y ${\textstyle y}$ {\ $textstyle$ y $}$ 에 대해 ${\textstyle y}$ 미분하고 두 번째 ${\textstyle x}$ 은 ${\textstyle x}$ x {\ $textstyle$ x}에 대해 미분하고 결과 ${\textstyle x}$ 방정식을 빼면 압력과 보존력이 제거됩니다. 압축할 수 없는 흐름의 경우 스트림 ${\textstyle \psi }$ ψ {\textstyle \psi $}$ 에서 다음을 통해 정의합니다.

u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};\quad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}

결과적으로 질량 연속성은 무조건적으로 만족되고(스트림 함수가 연속적인 경우), 비압축성 뉴턴식 2D 운동량과 질량 보존 응축은 다음과 같은 하나의 방정식으로 이루어집니다.

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla^{4}\psi

$여기서$ ∇ 4 ${\textstyle$ \n $abla^{4}}$ 는 2D 바이하모닉 연산자이자 $ν$ ${\textstyle \nu }$ {\textstyle \n입니다. $u}$ 는 ${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{p}}}$ 점도, $ν =$ μp ${\textstyle$ \n입니다. $u$ $=$ {\ $frac {\mu$ }{ $p$ 야코비안 행렬식을 사용하여 이를 압축적으로 표현할 수도 있습니다.

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \left(\psi,\nabla ^{2}\psi \right)}{\partial (y,x)}}=\nu \nabla ^{4}\psi .

이 단일 방정식은 적절한 경계 조건과 함께 2D 유체 흐름을 설명하며, 운동학적 점도만 매개 변수로 사용합니다. 크리핑 흐름에 대한 방정식은 좌변이 0이라고 가정할 때 결과가 됩니다.

축대칭 흐름에서 스톡스 스트림 함수라고 하는 또 다른 스트림 함수 공식은 하나의 스칼라 함수로 비압축성 흐름의 속도 성분을 설명하는 데 사용될 수 있습니다.

비압축성 나비에–스토크스 방정식은 시간에 따라 압력을 증가시키는 명시적인 메커니즘이 없다는 불편한 특징이 있는 미분 대수 방정식입니다. 결과적으로, 계산 프로세스의 전체 또는 일부에서 압력을 제거하기 위해 많은 노력이 소비되었습니다. 스트림 함수 공식은 압력을 제거하지만 두 가지 차원에서만 그리고 더 높은 도함수를 도입하고 주요 관심 변수인 속도를 제거합니다.

특성.

비선형성

나비에– 스톡 방정식은 일반적인 경우에 비선형 편미분 방정식이므로 거의 모든 실제 상황에서 유지됩니다.^[21]^[22] 1차원 흐름 및 스톡스 흐름(또는 크리핑 흐름)과 같은 경우 방정식을 선형 방정식으로 단순화할 수 있습니다. 비선형성은 대부분의 문제를 해결하기 어렵거나 불가능하게 만들고 방정식이 모델링하는 난류의 주요 원인이 됩니다.

비선형성은 대류 가속도에 기인하며, 이는 위치 초과 속도 변화와 관련된 가속도입니다. 따라서 난류 여부와 상관없이 모든 대류 흐름은 비선형성을 수반합니다. 대류성이지만 층류성(비난류성) 흐름의 예로는 점성 유체(예: 오일)가 작은 수렴 노즐을 통과하는 것이 있습니다. 정확히 해결 가능하든 그렇지 않든 이러한 흐름은 종종 철저하게 연구되고 이해될 수 있습니다.^[23]

난류

난류는 많은 유체 흐름에서 볼 수 있는 시간 의존적인 혼돈 행동입니다. 일반적으로 이는 유체 전체의 관성에 기인한다고 여겨집니다: 시간 의존적이고 대류 가속도의 정점입니다. 따라서 관성 효과가 작은 흐름은 층류 경향이 있습니다(레이놀즈 수는 흐름이 관성에 의해 얼마나 영향을 받는지를 정량화합니다). 확실하게는 알 수 없지만, 나비에가–스토크스 방정식은 난류를 적절하게 설명합니다.^[24]

나비에의 수치해–난류 흐름에 대한 스톡 방정식은 극도로 어렵고, 난류 흐름에 관여하는 혼합 길이 척도가 상당히 다르기 때문에 이를 안정적으로 해결하려면 계산 시간이 계산 또는 직접 수치 시뮬레이션이 크게 불가능할 정도로 미세한 메쉬 해상도가 필요합니다. 일반적으로 층류 해결기를 사용하여 난류 흐름을 해결하려는 시도는 적절하게 수렴하지 못하는 시간-불안정한 해결책을 초래합니다. 이에 대응하기 위해 레이놀즈 평균 나비에와 같은 시간 평균 방정식은–난류 모델이 보충된 스톡 방정식(RANS)은 난류 흐름을 모델링할 때 실제 계산 유체 역학(CFD) 응용 분야에서 사용됩니다. 일부 모델에는 Spalart–Allmaras, k– ω, $k$ – ε 및 SST 모델이 포함되며, 이 모델은 RANS 방정식을 닫기 위해 다양한 추가 방정식을 추가합니다. 큰 와전 시뮬레이션(LES)을 사용하여 이러한 방정식을 수치적으로 해결할 수도 있습니다. 이 접근 방식은 RANS보다 시간과 컴퓨터 메모리에서 계산 비용이 더 많이 들지만, 더 큰 난류 규모를 명시적으로 해결하기 때문에 더 나은 결과를 제공합니다.

적용가능성

보충 방정식(예: 질량 보존) 및 잘 공식화된 경계 조건과 함께 나비에– 스톡 방정식은 유체 운동을 정확하게 모델링하는 것처럼 보입니다. 심지어 난류 흐름도 (평균적으로) 실제 관측치와 일치하는 것처럼 보입니다.

나비에–스토크스 방정식은 연구 중인 유체가 연속체(원자나 분자와 같은 입자로 구성되지 않고 무한히 나눌 수 있는 것)라고 가정하고 상대론적 속도로 움직이지 않습니다. 매우 작은 규모 또는 극단적인 조건에서 이산 분자로 만들어진 실제 유체는 Navier가 모델링한 연속 유체와는 다른 결과를 생성합니다.–스토크 방정식. 예를 들어, 유체 내 내부 층의 모세관성은 구배가 높은 흐름에 대해 나타납니다.^[25] 문제의 크누드센 수가 많은 경우 볼츠만 방정식이 적절한 대체일 수 있습니다.^[26] 실패하면 분자 역학이나 다양한 하이브리드 방법에 의존해야 할 수도 있습니다.^[27]

또 다른 한계는 단순히 방정식의 복잡한 특성입니다. 일반적인 유체 계열에 대해 시간 테스트를 거친 제형이 존재하지만 Navier의 적용– 덜 일반적인 가정에 대한 스톡 방정식은 매우 복잡한 공식을 초래하고 종종 연구 문제를 열어 놓는 경향이 있습니다. 이러한 이유로 이러한 방정식은 일반적으로 점도 모델이 선형인 뉴턴 유체에 대해 작성됩니다. 실제로 다른 종류의 유체(예: 혈액)의 흐름에 대한 일반적인 모델은 존재하지 않습니다.^[28]

특정 문제에 대한 적용

나비에– 스톡 방정식은 특정 유체에 대해 명시적으로 작성된 경우에도 본질적으로 일반적이며 특정 문제에 대한 적절한 적용은 매우 다양할 수 있습니다. 이는 부분적으로 정적 압력의 분포와 같이 단순한 것에서부터 표면 장력에 의해 구동되는 다상 흐름과 같이 복잡한 것에 이르기까지 모델링될 수 있는 엄청나게 다양한 문제들이 있기 때문입니다.

일반적으로 특정 문제에 대한 적용은 일부 흐름 가정과 초기/경계 조건 공식으로 시작되며, 문제를 더욱 단순화하기 위해 규모 분석이 뒤따를 수 있습니다.

평행 흐름

평행판 사이에서 안정적이고 평행하며 비대류성 압력 구동 흐름을 가정할 때, 결과적으로 스케일된 (무차원) 경계값 문제는 다음과 같습니다.

{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.

경계 조건은 미끄럼 방지 조건입니다. 이 문제는 플로우 필드에 대해 쉽게 해결됩니다.

u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.

이때부터 점성 항력 또는 순 유량과 같이 더 많은 양의 관심을 쉽게 얻을 수 있습니다.

반경류

문제가 조금 더 복잡해지면 어려움이 생길 수 있습니다. 위의 평행 흐름에서 겉보기에 약간의 비틀림은 평행 판 사이의 반경 방향 흐름일 것입니다. 이는 대류를 포함하므로 비선형성을 포함합니다. 속도장은 다음을 만족해야 하는 $함수$ f $(z)$ 로 나타낼 수 있습니다.

{\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.

이 상미분 방정식은 Navier에서 얻을 수 있는 것입니다.– 스톡 방정식이 작성되고 흐름 가정이 적용됩니다(추가적으로 압력 구배가 해결됨). 비선형 용어는 이 문제를 해석적으로 풀기 매우 어려운 문제로 만듭니다(타원 적분과 입방 다항식의 근을 포함하는 긴 암시적 솔루션이 발견될 수 있습니다). ${\textstyle R>1.41}$ > ${\textstyle R>1.41}$ ${\textstyle$ R > $1.41}($ 대략적으로; 이것은 √2가 아닙니다), $매개$ 변수 R ${\textstyle$ R}은 적절하게 선택된 척도를 가진 레이놀즈 수이다. 이는 흐름 가정이 적용 가능성을 상실한 예이며 "높은" 레이놀즈 수 흐름의 어려움을 보여주는 예입니다.^[29]

대류

Navier가 설명할 수 있는 자연 대류의 한 종류–스토크스 방정식은 레일리-베나드 대류입니다. 해석적이고 실험적인 접근성 때문에 가장 일반적으로 연구되는 대류 현상 중 하나입니다.

나비에의 정확한 솔루션–스토크스 방정식

Navier에 대한 몇 가지 정확한 해결책– 스톡 방정식이 존재합니다. Navier의 비선형 용어를 사용하여 축퇴 사례의 예– 0과 동일한 스톡 방정식은 포이슈유 흐름, 쿠에트 흐름 및 진동 스톡스 경계층입니다. 그러나 또한 제프리-하멜 흐름 , 폰 카르만 소용돌이 흐름, 정체점 흐름, 란다우-스콰이어 제트, 테일러-그린 소용돌이와 같은 더 흥미로운 예들이 존재합니다.^[30]^[31]^[32] 이러한 정확한 해의 존재가 안정적이라는 것을 의미하는 것은 아닙니다. 더 높은 레이놀즈 수에서 난류가 발생할 수 있습니다.

추가적인 가정하에 구성요소 부품을 분리할 수 있습니다.^[33]

2차원 예시

예를 들어 극좌표( $r,$ φ $)$ 에서 2차원(비압축성 및 정지성) 흐름이 있는 경계 없는 평면 도메인의 경우 속도 $성분$ (u,u)과 $압력$ p는 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}u_{r}&={\frac {A}{r}},\\u_{\varphi }&=B\left({\frac {1}{r}}-r^{{\frac {A}{\nu }}+1}\right),\\p&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2r^{2}}}-{\frac {2B^{2}\nu r^{\frac {A}{\nu}}}{A}}+{\frac {B^{2}r^{\left({\frac {2A}{\nu}}+2\오른쪽)}}{\frac{2A}{\nu}}+2}\end{align}

여기서 $A$ 와 $B$ 는 임의의 상수입니다. 이 솔루션은 도메인 $r$ ≥ $1$ 과 A < -2 ν에서 유효합니다.

직각좌표에서 점도가 0(ν =0)일 때 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y)&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\begin{pmatrix}Ax+By\\Ay-Bx\end{pmatrix}},\\p(x,y)&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}}\end{aligned}}

입체적인 예

예를 들어, 비압축성, 정지성 및 0점도(ν =0)인 3차원의 비제한적 유클리드 도메인의 경우, $속도$ 벡터 $v$ 와 압력 $p$ 는 다음과 같습니다 $.$

{\begin{aligned}\mathbf {v}(x,y,z)&={\frac {A}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+z^{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}},\\p(x,y,z)&=-{\frac {A^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}}.\end{align}}

$x$ = $y$ = z = $0$ 에서 $특이점$ 이 있습니다.

3차원 정상상태 와류 해

특이점이 없는 정상 상태의 예는 Hop fibration의 선을 따라 흐르는 흐름을 고려하는 것에서 나옵니다. ${\textstyle r}$ ${\textstyle r}$ 을 ${\textstyle r}$ 내부 코일의 일정한 반지름이라고 합니다. 한 세트의 솔루션은 다음과 같습니다.^[35]

{\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {3B}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\\mathbf {u} (x,y,z)&={\frac {A}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}{\begin{pmatrix}2(-ry+xz)\\2(rx+yz)\\r^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{pmatrix}}\\g&=0\\\mu &=0\end{aligned}}

임의의 상수 A ${\textstyle$ A $}$ 와 ${\textstyle A}$ B ${\textstyle$ B $}$ 에 대하여 ${\textstyle B}$ 밀도, 속도 및 압력이 원점에서 멀리 0으로 변하는 비점성 기체(압축성 유체)의 해입니다. (참고로, 이것은 클레이 밀레니엄 문제의 해결책이 아닙니다. 왜냐하면 ${\textstyle \rho }$ 은 ρ ${\$ textstyle \rho}가 상수인 비압축성 유체를 의미하며, 나비에의 고유성을 다루지 않기 때문입니다.–난류 특성에 대한 방정식을 저장합니다.) 속도 벡터의 성분이 정확히 피타고라스 4중 매개변수화의 성분이라는 점도 지적할 필요가 있습니다. 밀도와 압력에 대한 다른 선택은 동일한 속도장에서 가능합니다.

밀도와 압력의 다른 선택

위와 같은 속도 벡터를 사용하여 압력과 밀도를 선택하는 또 다른 방법은 압력과 밀도가 $원점$ 에서 0으로 떨어지고 $z$ =0, x + y = $r$ 에서 중앙 루프에서 가장 높은 것입니다.

{\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {20B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{4}}}+{\frac {-4A^{2}B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5}}}.\end{align}}

사실 일반적으로 밀도가 다음과 같은 어떤 다항식 $함수$ f에 대한 간단한 해가 있습니다.

\rho (x,y,z)={\frac {1}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}f\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\right).

점성 3차원 주기해

주기적인 완전 3차원 점성 용액의 두 가지 예가 에 설명되어 있습니다.^[36] 이러한 솔루션은 3차원 토러스 $\mathbb {T} ^{3}=[0,L]^{3}$ $\mathbb {T} ^{3}=[0,L]^{3}$ = $\mathbb {T} ^{3}=[0,L]^{3}$ [ $\mathbb {T} ^{3}=[0,L]^{3}$ L] 3 {\displaystyle \mathbb {T} ^{3} = [0, L]^{3}에서 정의되며 각각 양의 헬리시티와 음의 헬리시티를 특징으로 합니다. 양의 헬리시티를 가진 솔루션은 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}u_{x}&={\frac {4{\sqrt {2}}{3{\sqrt {3}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kx-\pi /3)\cos(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)-\cos(kz-\pi /3)\sin(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{y}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(ky-\pi /3)\cos(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)-\cos(kx-\pi /3)\sin(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{z}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kz-\pi /3)\cos(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)-\cos(ky-\pi /3)\sin(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu^{2}t}\end{align}

여기서

k=2\pi /L

=

k=2\pi /L

π / L {\displaystyle k = 2\pi / L}은 파수이고 속도 성분은 t = 0 {\displaystyle t = 0}에서 질량 단위당 평균 운동 에너지가 U 02 / 2 {\displaystyle U_{0}^{2}/2}이 되도록 정규화됩니다. 압력 필드는 속도 필드에서 p =

p=p_{0}-\rho _{0}\|{\boldsymbol {u}}\|^{2}/2

0

p=p_{0}-\rho _{0}\|{\boldsymbol {u}}\|^{2}/2

- ρ 0 ‖ u ‖ 2 / 2 {\displaystyle p = p_{0}-\rho _{0}\ {\boldsymbol {u}}\ ^{2}/2}(여기서 p 0 {\displaystyle p_{0}} 및 ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}는 각각 압력 및 밀도 필드의 기준 값입니다)로 가져옵니다. 두 솔루션 모두 벨트라미 흐름 클래스에 속하기 때문에 소용돌이 필드는 속도와 평행하고 양의 나선성을 가진 경우 ω =

\omega ={\sqrt {3}}\,k\,{\boldsymbol {u}}

3ku

{\

displaystyle \omega ={\sqrt {3}\,k\,{\boldsymbol {u}}에 의해 제공됩니다. 이러한 솔루션은 고전적인 2차원 테일러-그린 테일러-그린 소용돌이의 3차원 일반화로 간주될 수 있습니다.

윌드 다이어그램

Wyld diagram은 Navier에 해당하는 부기 그래프입니다.–기본 연속체 역학의 섭동 확장을 통해 방정식을 저장합니다. 양자장 이론의 파인만 도표와 유사하게, 이 도표들은 유체 역학의 비평형 과정에 대한 켈디시의 기술의 확장입니다. 즉, 이러한 다이어그램은 상관되고 상호 작용하는 유체 입자가 확률 분포에서 의사 랜덤 함수와 관련된 확률적 프로세스를 준수하도록 함으로써 난류 유체의 난류 현상(종종)에 그래프를 할당합니다.^[37]

3D로 표현된 표현

이 절의 공식은 편미분에 대한 단선 표기법을 사용합니다. 예를 ${\textstyle \partial _{x}u}$ , ∂ $xu {\textstyle$ \ $partial_$ {x}u}는 x ${\textstyle$ x}에 ${\textstyle x}$ 대한 u ${\textstyle$ u}의 ${\textstyle u}$ 을 의미합니다. ${\textstyle \partial _{y}^{2}f_{\theta }}$ ∂ y 2 f θ {\ $textstyle \$ partial ${\textstyle \partial _{y}^{2}f_{\theta }}$ _{y}^{2} $f_$ {\theta }}는 y {\textstyle y}에 대한 f θ {\textstyle f_{\theta }의 2차 $편미분$ 을 의미합니다.

2022년 논문은 3D 난류 유체 흐름에 대한 Navier-Stokes 방정식의 비용이 덜 들고 동적이며 반복적인 솔루션을 제공합니다. 적절한 짧은 시간 척도에서 난류의 역학은 결정론적입니다.^[38]

직각좌표

나비에의 일반적인 형태에서–스토크스, 속도 ${\textstyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})}$ 를 u = ${\textstyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})}$ x ${\textstyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})}$ $u,$ u z) {\textstyle \mathbf {u} = (u_{x}, u_{y}, u_{z}}, 때로는 u {\textstyle u}, v {\textstyle v}, w {\textstyle w}로 확장하면 벡터 방정식을 명시적으로 쓸 수 있습니다.

{\begin{aligned}x:\ &\rho \left ({\partial _{t}u_{x}}+u_{x}\,{\partial _{x}u_{x}}+u_{y}\,{\partial _{y}u_{x}}+u_{z}\,{\partial _{z}u_{x}}\right)\&\quad =-\partial _{x}p+\mu \left ({\partial _{x}^{2}u_{x}+{\partial _{y}^{2}u_{x}+{\partial _{z}^{2}u_{x}\right)\mu \partial _{x}\left ({\partial _{x}u_{x}\right}+{\frac {1}{3}}\mu \partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{z}}\rho g_{x}\rend{aligned}}}

{\begin{aligned}y:\ &\rho \left ({\partial _{t}u_{y}}+u_{x}{\partial _{x}u_{y}}+u_{y}{\partial _{y}u_{y}}+u_{z}{\partial _{z}u_{y}\right)\&\quad =-{\partial _{y}p}+\mu \left ({\partial _{x}^{2}u_{y}}+\mu \left partial _{y}}+{\partial _{z}^{2}u_{y}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \partial _{y}\left ({\partial _{x}u_{x}+{\mu \{ _{x}}} _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\rhog_{y}\\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}z:\ &\rho \left ({\partial _{t}u_{z}}+u_{x}{\partial _{x}u_{z}}+u_{y}{\partial _{y}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}\right)\&\quad =-{\partial _{z}p}+\mu \left ({\partial _{x}^{2}u_{z}}+\mu \left partial _{y}^{2}u_{z}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \partial _{z}\left ({\partial _{x}u_{x}}+{\mu \partial _{x}u_{x}}+{\mu \ \ _{x}}} _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{z}.\end{align}}

중력은 신체의 힘으로 설명되었으며, ${\textstyle g_{x}}$ ${\$ ${\textstyle g_{y}}$ ${\$ ${\textstyle g_{z}}$ ${\$ 의 값은 선택한 좌표 집합에 대한 중력의 방향에 따라 달라집니다 ${\textstyle g_{z}}$ .

연속 방정식은 다음과 같습니다.

\partial_{t}\rho +\partial _{x}(\rhou_{x})+\partial _{y}(\rhou_{y})+\partial _{z}(\rhou_{z})=0.

흐름이 압축되지 않을 때 ${\textstyle \rho }$ ρ {\textstyle $\$ rho }은(는) 어떤 유체 입자에 대해서도 변하지 않고, 그 물질 도함수는 ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}=0}$ : D ρ D ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}=0}$ t = $0 {\textstyle$ {\frac {\mathrm {D} \rho } {\mathrm {D} t}}= 0}. 연속 방정식은 다음으로 줄어듭니다.

\partial _{x}u_{x}+\partial _{y}u_{y}+\partial _{z}u_{z}=0.

따라서, Navier의 비압축 버전의 경우–점근항의 두 번째 부분이 떨어져 나가는 식을 저장합니다(비압축성 흐름 참조).

이 4개 방정식 시스템은 가장 일반적으로 사용되고 연구된 형태로 구성됩니다. 다른 표현보다 상대적으로 더 압축적이지만, 이것은 여전히 해를 얻기 어려운 편미분 방정식의 비선형 시스템입니다.

원기둥좌표

데카르트 방정식에서 변수를 변경하면 ${\textstyle r}$ ${\textstyle r$ ${\textstyle \phi }$ ϕ ${\$ textstyle ${\textstyle \phi }$ \ ${\textstyle z}$ } ${\textstyle z}$ 및 z ${\textstyle$ z}에 대해 다음과 같은 운동량 방정식이 생성됩니다.

{\begin{aligned}r:\ &\rho \left ({\partial _{t}u_{r}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}+{\frac {u_{\varphi}}+{r}}{\partial _{\varphi}u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}-{\frac {u_{\varphi}^{2}}-{r}}\&\quad =-{\partial _{r}p}\&\qad +\mu \left ({\frac {1}{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}\r}\right)+{\frac {1}{r^{2}}{\frac {1} _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}

{\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left ({\partial _{t}u_{\varphi}}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi}}+{\frac {u_{\varphi}}+{\partial _{\varphi}u_{\varphi}}+{\partial _{z}u_{\varphi}}+{\frac {u_{r}u_{\varphi}}{r}\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi}p}\&\qquad +\mu \left ({\frac {1}{r}\r}\n\frac {1} _{r}\left(r{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\partial _{z}^{2}u_{\varphi }}-{\frac {u_{\varphi }}{r^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{r}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi}u_{\varphi}}+{\partial _{z}u_{z}\right)\&\qquad +\rhog_{\varphi}\[8px]\end{aligned}

{\begin{aligned}z:\ &\rho \left ({\partial _{t}u_{z}+u_{r}{\r}{\partial _{r}u_{z}}+{\frac {u_{\varphi}}{\r}{\partial _{\varphi}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}\&\quad =-{\partial _{z}p}\&\qquad +\mu \left ({\frac {1}{r}\r}\left(r\partial _{r}u_{z}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi}^{2}u_{z}+{\r}}+{\partial _{\varphi}}}+{ _{z}^{2}u_{z}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{z}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{z}.\end{align}}

중력 성분은 일반적으로 상수가 아니지만, 대부분의 경우 중력 성분이 일정하도록 좌표를 선택하거나 압력장에 의해 중력이 상쇄되는 것으로 가정합니다(예를 들어 수평 파이프의 흐름은 중력 없이 수직 압력 구배 없이 정상적으로 처리됩니다). 연속 방정식은 다음과 같습니다.

{\partial_{t}\rho}+{\frac {1}{r}}\partial_{r}\left(\rho ru_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\partial_{\varphi}\left(\rho u_{\varphi}\right)}+{\partial_{z}\left(\rho u_{z}\right)}=0.

비압축성 나비에의 원통형 표현–스토크스 방정식은 두 번째로 흔히 볼 수 있는 방정식입니다(첫 번째는 위의 직각좌표). 원통 좌표는 속도 성분이 사라질 수 있도록 대칭성을 활용하기 위해 선택됩니다. 매우 일반적인 경우는 접선 속도가 없다고 가정하는 축대칭 흐름( ${\textstyle u_{\phi }=0}$ ϕ 0 {\textstyle $u_$ {\phi} = 0})이며, 나머지 양은 ϕ {\textstyle \phi}와 무관합니다.

{\begin{aligned}\rho \left ({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}\right)&=-{\partial _{r}p}+\mu \left ({\frac {1}\r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{r}-{r}-{\frac {u_{r^{2}}\right)+\rho \left partial\({ _{t}u_{z}}+u_{r}\rho \left partial\u _{t}u_{z}}\rho \left ({_{t}u_{r}}\rho \left partial\\ _{t}u_{z}}}+u_{r}\r} _{r}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}}\right)&-{\partial _{z}p}+\mu \left ({\frac {1}}+\r}\partial _{r}\left(r{\r}u_{z}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{z}\right)+\rhog_{z}\{\r}\partial _{r}\left(ru_{r}\right)+{\partial _{z}u_{z}&=0.\end{align}}

구면좌표

In spherical coordinates, the ${\textstyle r}$ , ${\textstyle \phi }$ , and ${\textstyle \theta }$ momentum equations are^[14] (note the convention used: ${\textstyle \theta }$ is polar angle, or colatitude,^[40] ${\textstyle 0\leq \theta \leq \pi }$ ):

{\begin{aligned}r:\ &\rho \left ({\partial _{t}u_{r}+u_{r}{\partial _{r}}+{\frac {u_{\varphi}}+{r\sin \theta}}{\partial _{\varphi}u_{r}}+{\frac {u_{\theta}}{\partial _{\theta}u_{r}}-{\frac {u_{\varphi}^{2}+u_{\theta}^{r}}\r}\&\quad =-{\partial _{r}p}\&\qquad +\mu \left ({\frac {1}{r^{2}}\r} _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{r}}\right)-2{\frac {u_{r}+{\partial _{\theta }u_{\theta }}+u_{\theta }\cot \theta }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi}}\right)\&\qquad +{\frac {1}{3}\mu \partial _{r}\left ({\frac {1}{r^{2}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta}\partial _{\theta}\left(u_{\theta}\sin \right)+{\frac {1}{r\sin \theta}}{\partial _{\varphi}u_{\varphi}}\right)\&\qquad +\rho g_{r}\[8px]\end{aligned}}

{\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left ({\partial _{t}u_{\varphi}}+u_{r}{\r}u_{\varphi}}+{\frac {u_{\varphi}}+{\r\sin \theta}}{\partial _{\varphi}u_{\frac {u_{\theta}}+{\r}{\partial}u_{\varphi}}+{\frac {u_{r}u_{\varphi}u_{\theta}\cot \theta}{r}}\right)\&\quad =-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left ({\frac {1}{r^{2}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\varphi }}\right)+{\frac {2\sin \theta {\ta } _{\varphi }u_{r}}+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\theta }}-u_{\varphi }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta}}{\partial _{\varphi}u_{\varphi}}\right)\&\qquad +\rhog_{\varphi}\[8px]\end{aligned}

{\begin{aligned}\theta :\ &\rho \left ({\partial _{t}u_{\theta}}+u_{r}{\r}{\r}u_{\theta}}+{\frac {u_{\varphi}}+{\r\sin \theta}}{\partial _{\varphi}u_{\theta}}+{\r}{\partial _{\theta}u_{\theta}}+{\r}u_{\theta}+{\frac {u_{r}u_{\r}}^{2}\cot \theta}{r}}\r}\r)\&\quad =-{\frac {1}{r}}\r}\partial _{\theta}}_{\r}} }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\theta }+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\varphi }}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }\right)\&\qquad +{\frac {1}{3}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\theta }\left ({\frac {1}{r^{2}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi } }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\theta }.\end{align}}

질량 연속성은 다음과 같습니다.

{\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r^{2}}\partial _{r}\left(\rhor^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta}}{\partial _{\varphi}(\rho u_{\varphi})}+{\frac {1}{r\sin \theta }\partial _{\theta }\left(\sin \rho u_{\theta }\right)=0

이러한 방정식은 예를 들어 점성 항에서 ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$ 1 ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$ ${\$ 를 인수분해함으로써 (약간) 압축될 수 있습니다. 그러나 그렇게 하면 라플라시안과 다른 양의 구조가 바람직하지 않게 변경됩니다.

Navier-Stokes 방정식이 게임에서 사용됨

나비에– 스톡 방정식은 다양한 자연 현상을 모델링하기 위해 비디오 게임에 광범위하게 사용됩니다. 화재 및 연기와 같은 소규모 기체 유체의 시뮬레이션은 종종 Jos Stam의 세미나 논문 "Real-Time Fluid Dynamics for Games"^[41]에 기반을 두고 있으며, 이 논문은 Stam의 초기의 더 유명한 논문인 "Stable Fluids"^[42]에서 제안된 방법 중 하나를 1999년부터 자세히 설명합니다. Stam, Navier를 이용한 안정적인 유체 시뮬레이션 제안–1992년에 처음 제안된 것처럼 무조건적으로 안정적인 반 라그랑지안 도입 계획과 결합된 1968년의 스톡스 솔루션 방법.

이 작업을 기반으로 한 보다 최근의 구현은 중앙 처리 장치(CPU)와 달리 게임 시스템 그래픽 처리 장치(GPU)에서 실행되며 훨씬 더 높은 수준의 성능을 달성합니다.^[43]^[44] 속도와 질량 모두에서 본질적으로 높은 수치 소산을 겪고 있는 Stam의 원래 작업에 많은 개선 사항이 제안되었습니다.

인터랙티브 유체 시뮬레이션에 대한 소개는 2007 ACM SIGGRAPH 과정인 컴퓨터 애니메이션을 위한 유체 시뮬레이션에서 확인할 수 있습니다.^[45]

참고 항목

인용

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외부 링크

나비에의 단순한 파생 모델–스토크스 방정식
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v t 연속체 역학의 주제
사단	고체역학 유체역학 음향학 진동 강체동역학
법과 정의	법칙들 질량 보존 운동량보존 나비에 스톡스 베르누이 포이슈이유 아르키메데스 파스칼 에너지 보존 엔트로피 부등식 정의들 스트레스 코시 응력 스트레스 척도 변형 스몰 스트레인 면전단 대변형 호환성.
고체역학과 구조역학	고체 탄력성 선형의 훅의 법칙 가로등방성 정사선성 과탄성 막탄성 상태방정식 위고니오트 JWL 저탄성 코시 탄성 점탄성 크리프 콘크리트 크리프 가소성 암석질량 가소성 점탄성 수율기준 브레슬러피스터 접촉역학 무마찰 마찰 재료파손론 드러커 안정성 재료파손론 피로감 파단역학 J-적분의 콤팩트장력시편 손상 역학 존슨홈퀴스트 구조물들 굽힘 굽힘모멘트 판의 굽힘 샌드위치 이론
유체역학	유체 유체정역학 유체역학 나비에-스토크스 방정식 베르누이의 원리 포이슈유 방정식 부력 점성 뉴턴식 비뉴턴족 아르키메데스의 원리 파스칼의 법칙 압력. 액체 표면장력 모세관 작용 가스 대기. 보일의 법칙 찰스의 법칙 Gay-Lussac's law 결합기체법칙 플라스마
음향학	음향이론 에어로 음향학
레올로지	점탄성 스마트 유체 자기신학 전기신학 페로플루이드 레오미터 레오미터
사이언티스트	베르누이 보일 코시 찰스 오일러 게이뤼삭 훅 파스칼 뉴턴 경이다. 나비에 스톡스
상	에링겐 메달 윌리엄 프레거 메달

권한 제어 데이터베이스
국가의	스페인 프랑스. BnF자료 독일. 이스라엘 미국 체코
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