음향 이론 은 음파 의 설명과 관련된 과학 분야다. 그것은 유체 역학에서 비롯된다. 엔지니어링 접근 방식에 대한 음향 정보를 참조하십시오.
속도, 압력, 밀도의 교란 정도를 나타내는 음파의 경우
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + ∇ ⋅ ( ρ ′ v ) = 0 (질량 보존) ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ v ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( v ⋅ ∇ ) v + ∇ p ′ = 0 (동작 등가) {\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\partial \rho의}{\partial지}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf{v}+\nabla \cdot(\rho '\mathbf{v})&, =0\qquad{\text{(미사의 보존)}}\\(\rho_{0}일 경우 +\rho'){\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial지}}+(\rho_{0}일 경우 +\rho')(\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}+\nabla p'&, 모트의 =0\qquad{\text{(방정식.이온) }}}\end{정렬}} 속도, 밀도, 압력의 변동이 작은 경우에는 다음과 같이 근사치를 할 수 있다.
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v = 0 ∂ v ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}} Where v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)} p 0 {\displaystyle p_{0}} p ′ ( x , t ) {\displaystyle p'(\mathbf {x} ,t)} ρ 0 {\displayst yle \rho_{0} andx t {\displaystyle \rho '(\mathbf {x},t)}
속도가 비회전적 인 경우(∇ × v {\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =0})
1 c 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2 − ∇ 2 ϕ = 0 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}:{\frac {\fract ^{2}\phi }{\\phla ^{2}-{2}\phi =0}} 우리가 있는 곳
v = − ∇ ϕ c 2 = ( ∂ p ∂ ρ ) s p ′ = ρ 0 ∂ ϕ ∂ t ρ ′ = ρ 0 c 2 ∂ ϕ ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\c^{2}&=({\frac {\partial p}{\partial \rho }})_{s}\\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}}
유휴 상태의 매체에 대한 파생 연속성 방정식과 오일러 방정식으로 시작:
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ρ v = 0 ρ ∂ v ∂ t + ρ ( v ⋅ ∇ ) v + ∇ p = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \rho \mathbf {v} &=0\\\rho {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p&=0\end{aligned}}} 일정한 압력과 밀도의 작은 동요를 취할 경우:
ρ = ρ 0 + ρ ′ p = p 0 + p ′ {\displaystyle {\regated}\rho &=\rho _{0}+\rho '\p&=p_{0}+p'\ended}}}} 그렇다면 그 계통의 방정식은 다음과 같다.
∂ ∂ t ( ρ 0 + ρ ′ ) + ∇ ⋅ ( ρ 0 + ρ ′ ) v = 0 ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ v ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( v ⋅ ∇ ) v + ∇ ( p 0 + p ′ ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{0}+\rho ')+\nabla \cdot (\rho _{0}+\rho ')\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla (p_{0}+p')&=0\end{aligned}}} 평형 압력과 밀도가 일정하다는 점에 주목하면 다음과 같이 단순화된다.
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + ∇ ⋅ ρ ′ v = 0 ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ v ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( v ⋅ ∇ ) v + ∇ p ′ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}} 움직이는 매체 시작
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ w + ∇ ⋅ ρ ′ w = 0 ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ w ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( w ⋅ ∇ ) w + ∇ p ′ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {w} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {w} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {w} \cdot \nabla )\mathbf {w} +\nabla p'&=0\end{aligned}}} We can have these equations work for a moving medium by setting w = u + v {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} }
이 경우 방정식은 매우 유사하게 보인다.
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + u ⋅ ∇ ρ ′ + ∇ ⋅ ρ ′ v = 0 ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ v ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( u ⋅ ∇ ) v + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( v ⋅ ∇ ) v + ∇ p ′ = 0 {\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\partial \rho의}{\partial지}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot \nabla\rho '+\nabla \cdot \rho'\mathbf{v}&=0\\(\rho_{0}일 경우 +\rho'){\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial지}}{{v}+(\rho_{0}일 경우 +\rho')(\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf +(\rho_{0}일 경우 +\rho')(\mathbf{너}\cdot \nabla)\mathbf.v}+ \nabla p'&=0\end{aigned}} u 0 {\displaystyle \mathbf {u} =0}
선형 파동 정지 상태의 매체에 대해 위에서 지정한 동작 방정식부터 시작하십시오.
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + ∇ ⋅ ρ ′ v = 0 ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ v ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( v ⋅ ∇ ) v + ∇ p ′ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}} 이제 , ρ ′, p ′ {\ displaystyle \mathbf {v},\rho ',p'}
첫 번째 순서로 조건을 유지하는 경우 연속성 방정식의 경우 ρ v {\ displaystyle \rho '\mathbf {v} 이것은 비슷하게 속도의 시간 파생상품에 대한 밀도 섭동 곱에 적용된다. 게다가 재료 파생상품의 공간적 구성요소는 0으로 간다. 평형 밀도를 재조정하면 다음과 같다.
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v = 0 ∂ v ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}} 다음으로 우리의 음파가 이상적인 유체에서 발생한다는 점을 감안할 때 그 동작은 단조롭고, 그 다음에 우리는 압력의 작은 변화를 밀도의 작은 변화로 연결시킬 수 있다.
p ′ = ( ∂ p ∂ ρ 0 ) s ρ ′ {\displaystyle p'=({\frac {\buffer p}{\required \rho _{0}})_{s}\rho '}} 이 조건 하에서, 우리는 이제
∂ p ′ ∂ t + ρ 0 ( ∂ p ∂ ρ 0 ) s ∇ ⋅ v = 0 ∂ v ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}} 시스템 소리 속도 정의:
c ≡ ( ∂ p ∂ ρ 0 ) s {\displaystyle c\equiv {\sqrt {\frac {\p}{\reason p}{\rho_{0}}}}{s}}}}}}}}}}} 모든 것이 된다
∂ p ′ ∂ t + ρ 0 c 2 ∇ ⋅ v = 0 ∂ v ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}} 비회전 유체용 유체가 비회전성인 경우, 즉 ∇ × v {\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =-\nabla \ phi 그러면 ϕ {\displaysty \mathbf {v} pi}
∂ p ′ ∂ t − ρ 0 c 2 ∇ 2 ϕ = 0 − ∇ ∂ ϕ ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi &=0\\-\nabla {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}} 두 번째 방정식은 다음과 같은 것을 말해준다.
p ′ = ρ 0 ∂ ϕ ∂ t {\displaystyle p'=\rho _{0}{\frac {\frac {\frac {\flict \phi }{\flict}}} 그리고 연속성 방정식에서 이 방정식을 사용하는 것은 우리에게
ρ 0 ∂ 2 ϕ ∂ t − ρ 0 c 2 ∇ 2 ϕ = 0 {\displaystyle \rho _{0}{\frac {\phi ^{2}\phi }{\pho_{0}c^{2}\phi =0} 이렇게 하면 다음과 같이 간단해진다.
1 c 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2 − ∇ 2 ϕ = 0 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}:{\frac {\fract ^{2}\phi }{\\phla ^{2}-{2}\phi =0}} 따라서 속도전위 ϕ {\displaystyle \phi } 잠재력을 해결하기 위해 필요한 경계 조건은 유체의 속도가 시스템의 고정 표면에 대해 0 정상이어야 한다는 사실에서 비롯된다.
이 파동 방정식의 시간적 파생물을 취하여 모든 면에 동요되지 않는 밀도를 곱한 다음, p 0 0 ϕ t displaystyle '=\rho_{0}{\frac partial \pi }{\partial t}}}}}}}}}}}
1 c 2 ∂ 2 p ′ ∂ t 2 − ∇ 2 p ′ = 0 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}:{\frac {\p'}{\fract t^{2}}{\p'}{\fla ^{2}p'=0} 마찬가지로 p ′ ∂ 0 ρ ρ c ′ { displaystyp p'=({\partial p}{0}{0}}}}}}}}}}})를 보았는데 .
1 c 2 ∂ 2 ρ ′ ∂ t 2 − ∇ 2 ρ ′ = 0 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}:{\frac {\reason ^{2}\rho '}{\reason t^{2}}-\reasla ^{2}\rho '=0} 그러므로 속도전위, 압력, 밀도는 모두 파동 방정식을 따른다. 더욱이 우리는 다른 세 가지를 모두 결정하려면 그러한 방정식을 하나만 풀면 된다. 특히, 우리는
v = − ∇ ϕ p ′ = ρ 0 ∂ ϕ ∂ t ρ ′ = ρ 0 c 2 ∂ ϕ ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}} 이동 매체용 다시, 우리는 움직이는 매체에서 음파에 대한 작은 동요 한계를 도출할 수 있다. 다시, 시작은
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + u ⋅ ∇ ρ ′ + ∇ ⋅ ρ ′ v = 0 ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ v ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( u ⋅ ∇ ) v + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( v ⋅ ∇ ) v + ∇ p ′ = 0 {\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\partial \rho의}{\partial지}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot \nabla\rho '+\nabla \cdot \rho'\mathbf{v}&=0\\(\rho_{0}일 경우 +\rho'){\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial지}}{{v}+(\rho_{0}일 경우 +\rho')(\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf +(\rho_{0}일 경우 +\rho')(\mathbf{너}\cdot \nabla)\mathbf.v}+ \nabla p'&=0\end{aigned}} 이것들을 로 선형화할 수 있다.
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + u ⋅ ∇ ρ ′ = 0 ∂ v ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) v + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}} 이동식 매체에서 비회전 유체의 경우 그런 걸 봤을 때.
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ v + u ⋅ ∇ ρ ′ = 0 ∂ v ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) v + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}} 만약 우리가 유체가 이상적이고 속도가 비회전적이라는 이전의 가정을 한다면, 우리는
p ′ = ( ∂ p ∂ ρ 0 ) s ρ ′ = c 2 ρ ′ v = − ∇ ϕ {\displaystyle {\frac {\regated}p'&=({\frac {\required \rho_{0}}}}}}\rho '=c^{2}\rho '\\\mathbf {v} &=\mathla \pi \end{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 이러한 가정 하에서, 우리의 선형화된 소리 방정식은
1 c 2 ∂ p ′ ∂ t − ρ 0 ∇ 2 ϕ + 1 c 2 u ⋅ ∇ p ′ = 0 − ∂ ∂ t ( ∇ ϕ ) − ( u ⋅ ∇ ) [ ∇ ϕ ] + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'&=0\\-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \phi )-(\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}} Importantly, since u {\displaystyle \mathbf {u} } ( u ⋅ ∇ ) [ ∇ ϕ ] = ∇ [ ( u ⋅ ∇ ) ϕ ] {\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]=\nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]}
1 ρ 0 ∇ p ′ = ∇ [ ∂ ϕ ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) ϕ ] {\displaystyle {\frac {1}{\rho_{0}}\fla p'=\fla[{\frac {\fla \phi }}{\mathbf {u}\cdot \cdla )\phi ]} 아니면 단지 그것뿐입니다.
p ′ = ρ 0 [ ∂ ϕ ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) ϕ ] {\displaystyle p'=\rho _{0}[{\frac {\phi }{\phi }}+(\mathbf {u}\cdot \cdla )\phi ]} Now, when we use this relation with the fact that 1 c 2 ∂ p ′ ∂ t − ρ 0 ∇ 2 ϕ + 1 c 2 u ⋅ ∇ p ′ = 0 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'=0}
1 c 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2 − ∇ 2 ϕ + 1 c 2 ∂ ∂ t [ ( u ⋅ ∇ ) ϕ ] + 1 c 2 ∂ ∂ t ( u ⋅ ∇ ϕ ) + 1 c 2 u ⋅ ∇ [ ( u ⋅ ∇ ) ϕ ] = 0 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {u} \cdot \nabla \phi )+{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]=0} 우리는 이것을 다음과 같이 친숙한 형태로 쓸 수 있다.
[ 1 c 2 ( ∂ ∂ t + u ⋅ ∇ ) 2 − ∇ 2 ] ϕ = 0 {\displaystyle [{\frac {1}{c^{2}}({\frac {\reason t}}}}}+\mathbf {u}\cdot \ \la )^{2}-\phla =0} 이 미분방정식은 적절한 경계조건으로 해결되어야 한다. u 0 {\displaystyle \mathbf {u} =0} 어쨌든, 움직이는 매체에 대한 이 방정식을 풀 때, 우리는
v = − ∇ ϕ p ′ = ρ 0 ( ∂ ∂ t + u ⋅ ∇ ) ϕ ρ ′ = ρ 0 c 2 ( ∂ ∂ t + u ⋅ ∇ ) ϕ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \end{aligned}}} 참고 항목 참조 Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1984). Fluid Mechanics (2nd ed.). ISBN 0-7506-2767-0 Fetter, Alexander; Walecka, John (2003). Fluid Mechanics (1st ed.). ISBN 0-486-43261-0 
공간과 시간에 따른 유체의 밀도 분산이다. 
(를) 소량으로 가져갑시다. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'&=0\\-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \phi )-(\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2cce6070bbe2513e8131ddecfe208a22934c21)
![{\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]=\nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202578f54a98ddcb07d8bb3c6930e14605f176cf)
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'=\nabla [{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddd6366506ae35680d71fcba1e472af85150b1f)
![{\displaystyle p'=\rho _{0}[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b141f8fb35e74fbef78542cc7a8ecb3b78452605)
![{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {u} \cdot \nabla \phi )+{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf0db6adecd2106d91d379b29d2524d4cd53723)
![{\displaystyle [{\frac {1}{c^{2}}}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )^{2}-\nabla ^{2}]\phi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f7779c4e098d0dea6f13bf320fb65dffac21c6)
