노이만 경계 조건

수학에서 노이만(또는 제2형) 경계조건은 경계조건의 일종으로 칼 노이만(Carl Neumann)의 이름을 딴 것이다.^[1] 일반적 또는 부분적 미분방정식에 부과될 때, 조건은 영역의 경계에서 적용되는 파생상품의 값을 명시한다.

다른 경계 조건을 사용하여 문제를 설명할 수 있다: 디리클레 경계 조건은 (파생물에 반하는) 경계에 대한 솔루션 자체의 값을 명시하는 반면, 카우치 경계 조건, 혼합 경계 조건 및 로빈 경계 조건은 모두 네우만과 디르의 조합의 다른 유형이다.어금니 경계 조건

예

ODE

예를 들어, 일반적인 미분 방정식의 경우,

${\displaystyle y'+y=0,}$

간격[a,b]의 Neuman 경계조건이 형태를 취하다.

$[\displaystyle y'=\display y'=\display y'=\display y(b)=\display,}$

여기서 α와 β는 숫자가 주어진다.

PDE

예를 들어, 부분 미분 방정식의 경우,

${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}$

여기서 ∇²은 라플라스 연산자를 나타내며, 도메인의 Neumann 경계 조건 Ω ⊂ R을ⁿ 사용한다.

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n}}}}}}}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \fall \partial \mathbf {x} \in}$

여기서 n은 경계 ∂Ω에 대한 정규(일반적으로 외부)를 나타내며, f는 주어진 스칼라 함수를 의미한다.

왼쪽에 나타나는 정상적인 파생상품은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\frac {\mathbf {n}{\mathbf {x}}}}=\mathbf {x}=\mathbf {n}\cdot \mathbf {n}(\mathbf {x}),}$

여기서 ∇y(x)는 y(x)의 그라데이션 벡터를 나타내고, n̂는 단위 정상이며, ⋅은 내부 제품 연산자를 나타낸다.

예를 들어, 경계의 모서리점에서 정상 벡터가 잘 정의되지 않기 때문에, 경계가 정상 파생물이 존재할 수 있도록 충분히 매끄러워야 한다는 것이 명확해진다.

적용들

다음 신청서는 Neumann 경계 조건의 사용을 포함한다.

• 열역학에서 표면에서 규정된 열 유속이 경계 조건의 역할을 할 것이다. 예를 들어, 완벽한 절연체는 전기 부품이 알려진 전력에서 소산되는 동안 유속이 없을 것이다.
• 자기장학에서 자기장 강도는 예를 들어 영구 자석 모터에서와 같이 공간의 자석 배열에서 자속 밀도 분포를 찾기 위해 경계조건으로 규정할 수 있다. 자력학의 문제들은 자성 스칼라 전위에 대한 라플레이스의 방정식이나 포아송의 방정식을 푸는 것을 포함하기 때문에 경계조건은 노이만 조건이다.

참고 항목

• 유체 역학의 경계 조건
• 디리클레 경계 조건
• 로빈 경계 조건

참조