원시 방정식

원시 방정식은 지구 대기 흐름의 근사치에 사용되는 비선형 부분 미분 방정식의 집합이며 대부분의 대기 모델에 사용된다. 이 값은 세 가지 주요 균형 방정식으로 구성된다.

1. 연속성 방정식: 질량 보존을 대표한다.
2. 운동량 보존: 나비에르(Navier)–수직운동이 수평운동(수력운동)보다 훨씬 작고 유체층 깊이가 구면반경에 비해 작다는 가정 하에 구면상의 수역학적 흐름을 기술하는 스톡스 방정식
3. 열 에너지 방정식: 시스템의 전체 온도를 열원 및 싱크와 연관

원시 방정식은 라플레이스의 조석 방정식을 산출하기 위해 선형화할 수 있는데, 이는 흐름의 위도 구조에 대한 분석적 해법이 결정될 수 있는 고유값 문제다.

일반적으로 원시 방정식의 거의 모든 형태는 5개의 변수 u, v, Ω, T, W와 공간과 시간에 걸친 그들의 진화와 관련된다.

이 방정식은 빌헬름 비에르크네스에 의해 처음 쓰여졌다.^[1]

정의들

• ${\displaystyle u}$ $[\displaystyle u}$은(는) 영역 속도(구체에 접하는 동서 방향으로)
• ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$은 경맥 속도(구체에 접하는 남북방향에 있음)
• ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega}$은(는) 등거리 좌표계의 수직 속도임
• ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$이(가) 온도임
• ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle \Phi}$이(가$$) 지오포텐셜임
• ${\displaystyle f}$ is the term corresponding to the Coriolis force, and is equal to ${\displaystyle 2\Omega \sin(\phi )}$, where ${\displaystyle \Omega }$ is the angular rotation rate of the Earth (${\displaystyle 2\pi /24}$ radians per sidereal hour), and ${\displaystyle \phi }$ is the 위도
• ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$은(는) 가스 상수임
• ${\displaystyle p}$ $[\displaystyle p}$은(는) 압력이다.
• ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$은(는) 일정한 압력 표면의 특정 열이다.
• ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$은 단위 질량당 단위 시간당 열 흐름임
• ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$은(는) 급수다.
• ${\displaystyle \mathrm{\pi }}$ ${\displaystyle \Pi }$은(는) Exner 함수임
• ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta}$은(는) 잠재적 온도임
• ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta}$은(는) 절대 vorticity임

대기 운동을 일으키는 힘

대기 운동을 일으키는 힘에는 압력 구배력, 중력, 점성 마찰 등이 있다. 그들은 함께 우리의 대기를 가속화하는 힘을 만들어낸다.

압력 구배력은 가속을 일으켜 공기를 고압 지역에서 저압 지역으로 강제한다. 수학적으로 이것은 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle {\frac {f}{m}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}}.}$

중력은 약 9.8m/s로² 물체를 지구 중앙으로 직접 가속시킨다.

점성 마찰로 인한 힘은 다음과 같이 근사할 수 있다.

${\displaystyle f_{r}={f \over a}{1 \over \rho }\mu \left(\mu \cdot)(\mu \cdot v)++++++++(\cda \cda \cdla \cdot v)\오른쪽).}$

뉴턴의 두 번째 법칙을 사용하여 이러한 힘(위의 방정식에서 이러한 힘에 의한 가속으로 참조)을 요약하여 이 시스템을 설명하는 운동 방정식을 만들 수 있다. 이 방정식은 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\frac}{dt}=-(1/\rho )\pxla p-g(r/r)+f_{r}}$

${\displaystyle g=g_{e}\,}$

따라서 방정식 시스템을 완성하고 6개의 방정식과 6개의 변수를 구하려면:

• ${\displaystyle {\frac}{dt}=-(1/\rho )\p-g(r/r)+++(\mu \cdot v)+\probla(\mu \cdla \cdot v)\right]}$
• ${\displaystyle c_{v}{\frac {dT}{dt}+p{\frac {d\alpha }{dt}=q+f}$
• ${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}+\rho \cdot v=0}$
• $(\displayment style p=nT.}$

여기서 n은 몰의 숫자 밀도, T:=RT는 줄/몰의 온도 등가 값이다.

원시 방정식의 형태

원시 방정식의 정확한 형태는 압력 좌표, 로그 압력 좌표 또는 시그마 좌표와 같이 선택된 수직 좌표계에 따라 달라진다. 또한 속도, 온도 및 지오포텐셜 변수는 레이놀즈 분해를 사용하여 평균 및 섭동 성분으로 분해될 수 있다.

수직, 데카르트 접선 평면의 압력 좌표

이 형태에서 압력은 수직 좌표로 선택되며 수평 좌표는 데카르트 접선 평면(즉, 지구 표면의 특정 지점에 접하는 평면)에 대해 기록된다. 이 형태는 지구의 곡면성을 고려하지 않지만, 상대적으로 단순하기 때문에 방정식을 형성하는 데 수반되는 물리적 과정의 일부를 시각화하는 데 유용하다.

자본 D 시간 파생상품은 중요한 파생상품이라는 점에 유의한다. 미지의 다섯 개에 다섯 개의 방정식이 그 체계를 이루고 있다.

• 비결정(무결정) 운동 방정식:

${\displaystyle {\frac {Du}{Dt}-fv=-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}}}}$

${\displaystyle {\frac {Dv}{Dt}+fu=-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}}}$

• 정수 방정식, 수직 가속도가 무시해도 되는 수직 운동 방정식의 특별한 경우:

${\displaystyle 0=-{\frac {\partial \Phi }{\partial p}-{\p}}$

• 연속성 방정식은 정수 근사치(${\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$= -${\displaystyle }$- ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \rho }$ d ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle dp=-\rho \,d\Phi })$ 아래에 있는 수직 운동과 수평 확산/융합을 연결한다.$$

${\displaystyle {\frac {\frac {\reason u}{\frac}{\frac {\reason v}}{\frac {\frac }{\frac p}=0}$

• 열역학 제1법칙의 결과인 열역학적 에너지 방정식

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+\omega \left({\frac {\partial T}{\partial p}}-{\frac {RT}{pc_{p}}}\right)={\frac {J}{c_{p}}}}$

수증기 물질의 보존에 대한 문구를 포함하면, 이 6개의 방정식은 모든 수치 기상 예측 계획의 기초를 이룬다.

시그마 좌표계를 사용한 원시 방정식, 극 스테레오 투영법

국립 기상청 핸드북 1호 – 팩시밀리 제품에 따르면 원시 방정식은 다음과 같은 방정식으로 단순화할 수 있다.

• 지역 바람:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\eta v-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial x}}-z{\frac {\partial u}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}}:}{\message x}}}$

• 경맥풍:

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}=-\eta {\frac {u}{v}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial y}}-z{\frac {\partial v}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}}:}{\message y}}}$

• 온도:

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial t}={\partial t}{\partial t}{\partial x}}{\partial y}{\partial y}{\partial y}{\partial y}{\partial t}{\partial t}}}}{\partial t}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{\frac {\frac {\partial t}$

제1항은 하루 종일 시간에 따라 변하는 유입되는 일사량과 나가는 장파선에 의한 기온변화와 같다. 두 번째, 세 번째, 네 번째 조건은 붙임성 때문이다. 또한 첨자가 있는 변수 T는 해당 평면의 온도 변화다. 각각의 T는 실제로 다르고 각각의 평면과 관련이 있다. 이는 격자점 사이의 거리로 나누어 거리 변화에 따른 온도 변화를 얻는다. 이 평면에서 풍속에 곱할 때, 단위는 미터당 켈빈과 초당 미터로 켈빈을 제공한다. x, y, z 방향의 움직임으로 인한 모든 온도 변화의 합은 시간에 따른 전체 온도 변화를 나타낸다.

• 침전수:

${\displaystyle {\frac {\delta W}{\partial t}=u{\partial w}{\partial x}}+v{\partial w}{\partial y}}{\partial y}}{\partial w}{\partial w}{\partial z}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이 방정식과 표기법은 온도 방정식과 거의 같은 방식으로 작용한다. 이 방정식은 형태가 변하는 물을 고려하지 않고 한 지점에서 다른 곳으로 물의 움직임을 설명한다. 주어진 시스템 안에서 시간에 따른 물의 총 변화는 0이다. 그러나, 농도는 바람과 함께 움직일 수 있다.

• 압력 두께:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}=u{\frac {\partial }{\partial x}}x{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+v{\frac {\partial }{\partial y}}y{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+w{\frac {\partial }{\partial z}}z{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}}$

이러한 단순화는 모델에서 무슨 일이 일어나고 있는지 훨씬 쉽게 이해할 수 있게 해준다. 온도(잠재 온도), 급수, 그리고 압력 두께와 같은 것들은 바람과 함께 그리드의 한 지점에서 다른 곳으로 단순히 이동한다. 바람이 약간 다르게 예보되어 있다. 지오포텐셜, 특정열, 엑너 함수 π, 시그마 좌표 변화를 이용한다.

선형화된 원시 방정식에 대한 해법

선형화된 원시 방정식에 대한 분석 용액은 높이와 위도와 관련된 계수에 의해 변조되는 시간과 경도의 정현상 진동을 포함한다.

${\displaystyle{\begin}u,v,\Phi \end{Bmatrix}={\bmatrix}{\hat{u},{\hat{v},{\hat{\\\Phi }}}}e^{i(s\lambda +sma t)}$

여기서 s 및 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$은(는) 각각 영역 와바넘버와 각도 주파수다$$. 그 해법은 대기의 파도와 조수를 나타낸다.

계수가 높이와 위도 성분으로 분리될 때 높이 의존도는 (조건에 따라) 전파 또는 발산파의 형태를 띠는 반면, 위도 의존성은 Hough 함수에 의해 주어진다.

이 분석 용액은 원시 방정식을 선형화, 단순화할 때만 가능하다. 불행히도 이러한 단순화(즉, 소산 없음, 등온 대기)는 실제 대기의 조건에 해당되지 않는다. 그 결과, 이러한 요소들을 고려한 수치적 해결책은 종종 일반적인 순환 모델과 기후 모델을 사용하여 계산된다.

참고 항목

• 기압식
• 기후모델
• 오일러 방정식
• 유체 역학
• 일반순환모형
• 수치기상예측

참조

• 베니스톤, 마틴 난류에서 기후로: 모델 위계열을 이용한 대기의 수치적 조사 베를린: 스프링거, 1998.
• 퍼스, 로버트. 메소스케일과 마이크로스케일 기상 모델 그리드 구축 및 정확도. LSMSA, 2006.
• 톰슨, 필립 수치 기상 분석 및 예측. 뉴욕: 맥밀런 컴퍼니, 1961년
• Pielke, Roger A. 메소스케일 기상 모델링. 올랜도: 1984년 아카데미 프레스 주식회사
• 미국 상무부, 국립해양대기청, 국립기상청. 국립 기상 서비스 핸드북 1호 – 팩시밀리 제품. 워싱턴 DC: 1979년 상무부.

외부 링크

National Weather Service – NCSU 공동 연구 및 훈련 현장, 원시 방정식 검토