특정 벡터 장은 비회전장과 솔레노이드 벡터장의 합이다.
물리학, 수학에서 벡터 미적분학의 이 지역에서 헬름 홀츠의 theorem,[1][2]또한 벡터 calculus,[3][4][5][6][7][8][9]국가의 기본 정리는 3차원에 충분히 부드럽고 빠르게 부패하는 벡터 들판이 비회전(curl-free)벡터장의 합과 관상의.(diverg로 분해될 수 있다고 알려졌다.ence-free)벡터 필드는 흙 헬름홀츠 분해 또는 헬름홀츠 표현 으로 알려져 있다. 헤르만 폰 헬름홀츠(Hermann von Helmholtz )의 이름을 딴 것이다.[10]
비회전 벡터장은 스칼라 전위 를 가지고 있고 솔레노이드 벡터장은 벡터 전위 를 가지고 있으므로, 헬름홀츠 분해는 벡터장(적절한 부드러움과 붕괴 조건을 만족함)을 ∇ ϕ A style nabla \phi +\nabla \times \mathbf {A ϕ {\displaystyle \phi } A
정리명세서 Let F {\displaystyle \mathbf {F} } V ⊆ R 3 {\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{3}} S {\displaystyle S} V {\displaystyle V} F {\displaystyle \mathbf {F} } e 컬이 없는 구성 요소와 분기가 없는 구성 요소로 분해:[11]
F = − ∇ Φ + ∇ × A , {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A},} 어디에 Φ ( r ) = 1 4 π ∫ V ∇ ′ ⋅ F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ − 1 4 π ∮ S n ^ ′ ⋅ F ( r ′ ) r − r ′ d S ′ A ( r ) = 1 4 π ∫ V ∇ ′ × F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ − 1 4 π ∮ S n ^ ′ × F ( r ′ ) r − r ′ d S ′ {\displaystyle{\begin{정렬}\Phi(\mathbf{r})&, ={\frac{1}{4\pi}}}_{V}{\frac{\nabla)\mathbf{F}(\mathbf{r}')\int-\mathbf{r}의}}\,\mathrm{d}V'-{\frac{1}{4\pi}}\oint _{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot{\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}}\,\mathrm{d}S'\\[8pt]\mathbf{A}(\mathbf{r}{\mathbf{r}. )&){ \frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' }}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' }}\,\mathrm {d} S'\end{aligned}}}
및 ∇ {\ displaystyle la ( displaystyle \mathbf }이( 가) 아닌 ′ {\ displaystyle \mathbf {r }}} .
V R 3 {\ displaystyle V=\mathb {R} ^{3} 따라서 {\displaystyle \mathbf {F} ) ∞ displaystyle r\to \fto 1 r} [12]
Φ ( r ) = 1 4 π ∫ R 3 ∇ ′ ⋅ F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ A ( r ) = 1 4 π ∫ R 3 ∇ ′ × F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ {\displaystyle{\begin{정렬}\Phi(\mathbf{r})&, ={\frac{1}{4\pi}}_{\mathbb{R}^{3}\int}{\frac{\nabla)\mathbf{F}(\mathbf{r}')};={\frac{1}{4\pi}}-\mathbf{r}의}}\,\mathrm{d}V'\\[8pt]\mathbf{A}(\mathbf{r})&{\mathbf{r}}{\frac{\nabla '\times{F\mathbf}(\mathbf{r}')}{\mathbf{r}-\mathbf _{\mathbb{R}^{3}\int. {r}'}} \,\mathrm {d}V'\end{aigned}}
파생 Suppose we have a vector function F ( r ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )} ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } 양식의 델타 함수 를 사용하여 함수 작성
δ 3 ( r − r ′ ) = − 1 4 π ∇ 2 1 r − r ′ , {\displaystyle \mathbf ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=-{\frac {1}{4\pi }}}\mathbf {r}{{1}{\frac {1}{\mathbf {}}}'}}}}}}}} 여기서 ∇ 2 := ∇ ⋅ ∇ {\displaystyle \nabla 2:}=\nabla \cdot \nabla
F ( r ) = ∫ V F ( r ′ ) δ 3 ( r − r ′ ) d V ′ = ∫ V F ( r ′ ) ( − 1 4 π ∇ 2 1 r − r ′ ) d V ′ = − 1 4 π ∇ 2 ∫ V F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ = − 1 4 π [ ∇ ( ∇ ⋅ ∫ V F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ ) − ∇ × ( ∇ × ∫ V F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ ) ] = − 1 4 π [ ∇ ( ∫ V F ( r ′ ) ⋅ ∇ 1 r − r ′ d V ′ ) + ∇ × ( ∫ V F ( r ′ ) × ∇ 1 r − r ′ d V ′ ) ] = − 1 4 π [ − ∇ ( ∫ V F ( r ′ ) ⋅ ∇ ′ 1 r − r ′ d V ′ ) − ∇ × ( ∫ V F ( r ′ ) × ∇ ′ 1 r − r ′ d V ′ ) ] {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{F}(\mathbf{r})&,=\int _{V}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\delta ^ᆱ(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\mathrm{d}V'\\&,=\int _{V}\mathbf{F}(\mathbf{r}')\left(-{\frac{1}{4\pi}}\nabla ^{2}{\frac{1}{\left \mathbf{r}-\mathbf{r}'\right}}\right)\mathrm{d}V'\\&, =-{\frac{1}{4\pi}}\nabla. ^{2}\int_{V }{\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}}}\mathrm{d}V'\\&, =-{\frac{1}{4\pi}}\left는 경우에는 \nabla \left(\nabla \cdot \int_{V}{\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}}-\mathbf{r}'\right{\left \mathbf{r}}\mathrm{d}V'\right)-\nabla \left(\nabla \times \int_{V}{\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')}\times{\left \ma-\mathbf{r}'\right{\left \mathbf{r}.thbf {r} -\mathbf {r} '\right }\mathrm {d} V'\right)\right]\\ \&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} V'\right)\right]\ \&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{aligned}}}
여기서 우리는 벡터 라플라시안 의 정의를 사용했다.
∇ 2 a = ∇ ( ∇ ⋅ a ) − ∇ × ( ∇ × a ) , {\displaystyle \mathbf ^{2}\mathbf {a} =\mathla(\cdot \mathbf {a})-\mathla \mathbf {a}\},}
r ′ {\ displaystyle \mathbf {r} ∇ V ′ {\displaystyle \nabla '/\mathrm {d} ',
∇ 1 r − r ′ = − ∇ ′ 1 r − r ′ . {\displaystyle \mathbf{r}-\mathbf {r}-\mathbf {r}-\mathbf {r}-\mathbf {1}{\frac {1}{\\flt\mathbf {r}-\right }
그럼 벡터적 정체성을 이용해서
a ⋅ ∇ ψ = − ψ ( ∇ ⋅ a ) + ∇ ⋅ ( ψ a ) a × ∇ ψ = ψ ( ∇ × a ) − ∇ × ( ψ a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {a} )+\nabla \cdot (\psi \mathbf {a} )\\\mathbf {a} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {a} )-\nabla \times (\psi \mathbf {a} )\end{aligned}}}
우리는 얻는다.
F ( r ) = − 1 4 π [ − ∇ ( − ∫ V ∇ ′ ⋅ F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ + ∫ V ∇ ′ ⋅ F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ ) − ∇ × ( ∫ V ∇ ′ × F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ − ∫ V ∇ ′ × F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ ) ] . {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{F}(\mathbf{r})=-{\frac{1}{4\pi}}{\bigg는 경우}&, -\nabla \left(-\int_{V}{\frac{\nabla)\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}-\mathbf{r}'\right}}\mathrm{d}V'+\int _{V}\nabla '\cdot{\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left \mathbf{r}-\mathbf{r}'\right}}\math{\left \mathbf{r}.회사{ d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}. \end{정렬}}}
발산 정리 덕분에 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
F ( r ) = − 1 4 π [ − ∇ ( − ∫ V ∇ ′ ⋅ F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ + ∮ S n ^ ′ ⋅ F ( r ′ ) r − r ′ d S ′ ) − ∇ × ( ∫ V ∇ ′ × F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ − ∮ S n ^ ′ × F ( r ′ ) r − r ′ d S ′ ) ] = − ∇ [ 1 4 π ∫ V ∇ ′ ⋅ F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ − 1 4 π ∮ S n ^ ′ ⋅ F ( r ′ ) r − r ′ d S ′ ] + ∇ × [ 1 4 π ∫ V ∇ ′ × F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ − 1 4 π ∮ S n ^ ′ × F ( r ′ ) r − r ′ d S ′ ] {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{F}(\mathbf{r})&, =-{\frac{1}{4\pi}}{\bigg는 경우}-\nabla \left(-\int_{V}{\frac{\nabla)\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left \mathbf{r}-\mathbf{r}'\right}}\mathrm{d}V'+\oint(}{\hat{n}'\cdot{\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left \mathbf{r}-\mathbf{r}'\.righ T}}\mathrm{d}S'\right)\\&, \qquad\qquad -\nabla \times}{\left \mathbf{r}-\mathbf{r}'\right}}\mathrm{d}V'-\oint({\hat{n}}}{\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)'\times{\left \mathbf{r}-\mathbf{r}'\right}}\mathrm{d}S'\right){\bigg]\left(\int_{V}{\frac{\nabla '\times \mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right).}\\&. =-\nabla \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} S'\right]\ \&,\quad +\nabla \times \left[{\frac{1}{4\pi}}\int_{V}{\frac{\nabla '\times \mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left \mathbf{r}-\mathbf{r}'\right}}\mathrm{d}V'-{\frac{1}{4\pi}}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times{\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left \mathbf{r}-\mathbf{r}'\right}}\mathrm{d}S'\right]\end{align ed}}
표면 정규 n ^{\ displaystyle \mathbf {\hat{n}}'} (
정의
Φ ( r ) ≡ 1 4 π ∫ V ∇ ′ ⋅ F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ − 1 4 π ∮ S n ^ ′ ⋅ F ( r ′ ) r − r ′ d S ′ {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} S'} A ( r ) ≡ 1 4 π ∫ V ∇ ′ × F ( r ′ ) r − r ′ d V ′ − 1 4 π ∮ S n ^ ′ × F ( r ′ ) r − r ′ d S ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} S'}
마침내 손에 넣다.
F = − ∇ Φ + ∇ × A . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A}}
− 1 4 π r − r ′ {\displaystyle -{\frac {1}{4\pi \left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}} Green's function for the Laplacian , and in a more general setting it should be replaced by the appropriate Green's function - for example, in two dimensions it should be replaced by 1 2 π ln r − r ′ {\displaystyle {\frac 2\pi }\ln \왼쪽 mathbf {r} mathbf r} '\right}. 차원 높은 일반화는 아래 Hodge 분해 에 대한 논의를 참조하십시오.
푸리에 변환에서 파생된 또 다른 파생 모델 Note that in the theorem stated here, we have imposed the condition that if F {\displaystyle \mathbf {F} } F {\displaystyle \mathbf {F} } 1 / r {\displaystyle 1/r} F {\displaystyle \mathbf {F} } G {\displaystyle \mathbf {G} } 우리는 회의를 신청한다.
F ( r ) = ∭ G ( k ) e i k ⋅ r d V k {\displaystyle \mathbf {f}(\mathbf {r} )=\iint \mathbf {G}(\mathbf {k})e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r}{dV_{k}}}}}}}}}}}}
스칼라 필드의 푸리에 변환은 스칼라 필드, 벡터 필드의 푸리에 변환은 같은 차원의 벡터 필드다.
이제 다음 스칼라 및 벡터 필드를 고려하십시오.
G Φ ( k ) = i k ⋅ G ( k ) ‖ k ‖ 2 G A ( k ) = i k × G ( k ) ‖ k ‖ 2 Φ ( r ) = ∭ G Φ ( k ) e i k ⋅ r d V k A ( r ) = ∭ G A ( k ) e i k ⋅ r d V k {\displaystyle {\reasoned} G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\ \mathbf {k} \ ^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\ \mathbf {k} \ ^{2}}}\\[8pt]\ Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}}
그러므로
G ( k ) = − i k G Φ ( k ) + i k × G A ( k ) F ( r ) = − ∭ i k G Φ ( k ) e i k ⋅ r d V k + ∭ i k × G A ( k ) e i k ⋅ r d V k = − ∇ Φ ( r ) + ∇ × A ( r ) {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{G}(\mathbf{k})&, =-i\mathbf{k}G_ᆱ(\mathbf{k})+i\mathbf{k}\times}{F}(\mathbf{r})&(\mathbf{k})[6pt]\mathbf{G}_{\mathbf{A}\mathbf,=-\iiint i\mathbf{k}G_ᆷ(\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}dV_{k}+\iiint{k}\times \mathbf{G}_{\mathbf{A}}(\mathbf i\mathbf. {k})e^{ i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r}\}\}dV_{k}\&=\nabla \Phi(\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A}(\mathbf {r} )\end{arged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
규정된 차이와 컬이 있는 필드 헬름홀츠 정리(Helmholtz organization)라는 용어도 다음을 가리킬 수 있다. C 솔레노이드 벡터 필드 로 하고 R 3 스칼라 필드가 충분히 매끄럽고 무한대에서 1/r 보다2 빨리 사라지도록 한다. 그러면 다음과 같은 벡터 필드 F
∇ ⋅ F = d 그리고 ∇ × F = C ; {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ 및 }}\quad \nabla \time \mathbf {C} ;}
추가로 벡터장 F r → ∞ 으로 소멸되면 F [12]
즉, 벡터 장은 지정된 발산 및 지정된 컬로 구성될 수 있으며, 만일 그것이 무한대에서 사라지면 그 발산 및 컬로 고유하게 지정된다. 정적 케이스에 있는 전기장과 자기장에 대한 맥스웰의 방정식 은 정확히 이런 유형이기 때문에 이 정리는 전기학 에서 매우 중요하다.[12] 그 증거는 위에 제시된 것을 일반화하는 건설에 의한 것이다: 우리는 다음과 같이 설정했다.
F = − ∇ ( G ( d ) ) + ∇ × ( G ( C ) ) , {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla({\mathcal {G}(d)+\nabla \time({\mathcal {G})(\mathbf {C}),}
여기서 G {\ displaystyle {\mathcal {G} 뉴턴의 잠재적 연산자를 나타낸다 (∇ × F
미분형식 호지 분해 는 R 의3 벡터장에서 리만 다지관 M 의 미분형 까지 일반화하는 헬름홀츠 분해와 밀접한 관련이 있다. Hodge 분해의 대부분의 제형은 M 이 콤팩트 해야 한다.[13] R 에3 대해서는 이것이 사실이 아니기 때문에, 호지 분해 정리는 엄밀히 말하면 헬름홀츠 정리의 일반화가 아니다. 그러나, Hodge 분해의 일반적인 공식화에서 콤팩트성 제한은 관련된 미분 형태에 대한 무한대의 적절한 붕괴 가정으로 대체될 수 있으며, 헬름홀츠 정리의 적절한 일반화를 제공한다.
약한 제형 헬름홀츠 분해는 정규성 가정(강력한 파생상품의 존재 필요성)을 줄임으로써 일반화할 수도 있다. Ω 이 경계가 있고 단순하게 연결된 립스치츠 도메인이라고 가정하자. 모든 사각 통합 벡터 필드 u ∈(L 2 (Ω))3 직교 분해량이 있다.
u = ∇ φ + ∇ × A {\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A}}
여기서 φ 은 Ω 에 대한 사각 통합 함수의 소볼레브 공간 1 (Ω) 에 있으며, 그 분포 의미 에 정의된 부분 파생상품은 사각 통합 가능한 Ω과 사각 통합 가능한 컬이 있는 사각 통합 벡터 장으로 구성된 벡터 장의 A l(curl , Ω)에 있다.
약간 부드러운 벡터 필드 u H (curl, .
u = ∇ φ + v {\displaystyle \mathbf {u} =\mathla \varphi +\mathbf {v}}
여기서 φ H 1 (Ω),v (H 1 (Ω)).d
세로 및 가로장 물리학에서 흔히 쓰이는 용어는 벡터장의 컬 프리 성분을 세로 성분 으로 하고, 발산 프리 성분을 가로 성분 으로 하는 것을 말한다.[14] 이 용어는 다음과 같은 구조에서 유래한다. 벡터 필드 F {\ displaystyle \mathbf {F}} 푸리에 변환 F ^ {\ displaystyle {\mathbf {F}}}}} 지점 k에서 이 필드를 두 개의 구성 요소로 분해하십시오. k )을 가리킨다. k 에 수직인 지금까지 우리는
F ^ ( k ) = F ^ t ( k ) + F ^ l ( k ) {\displaystyle {\hatsbf {F}}}}}}}}}(\mathbf {F})={\hatsbf {F}}}{t}(\mathbf {k})+{\hattbf {F}{l}(\mathbf {k} )}}} k ⋅ F ^ t ( k ) = 0. {\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\hattbf {F}}}}}{t}(\mathbf {k} )=0. } k × F ^ l ( k ) = 0 . {\displaystyle \mathbf {k} \time {\hatsbf {F}}}}}}{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0}.}
이제 우리는 역 푸리에 변환을 이 성분들 각각에 적용한다. 푸리에 변환의 속성을 사용하여 다음을 도출한다.
F ( r ) = F t ( r ) + F l ( r ) {\displaystyle \mathbf {F}(\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r})+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )} ∇ ⋅ F t ( r ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )=0} ∇ × F l ( r ) = 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0}}
∇ × = displaystyle \nabla \times nabla \Phi 0} ∇ ⋅ × A 0 {\displaysty \nabla \cdot (\nabla \times {A} )=0
우리는 얻을 수 있다.
F t = ∇ × A = 1 4 π ∇ × ∫ V ∇ ′ × F r − r ′ d V ′ {\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} V'} F l = − ∇ Φ = − 1 4 π ∇ ∫ V ∇ ′ ⋅ F r − r ′ d V ′ {\displaystyle \mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }}\mathrm {d} V'}
이게 바로 헬름홀츠 [15]
참고 항목 메모들 ^ 유한 지역에 있는 헬름홀츠의 정리. 장 블라델 이. 중서부 대학 연구 협회, 1958. ^ 헤르만 폰 헬름홀츠 1906년 클라렌던 프레스 레오 쾨니히스베르거 에 의해. p357 ^ 미적분학의 초등 과정. 다니엘 알렉산더 머레이 가. 아메리칸 북 컴퍼니, 1898. p8. ^ J. W. Gibbs & Edwin Bidwell Wilson (1901) 벡터 분석 , 237페이지 인터넷 아카이브 링크^ 전자파 이론, 제1권. 올리버 헐비사이드 의 작품이지 "The Electrician" 인쇄 출판사, 1893년 제한 ^ 미분학의 원소. 웨슬리 스토커 바커 울하우스 . 웨일, 1854년 ^ 미적분학 기초 논문: 비율 또는 플럭션의 방법에 기초한다. William Woolse Johnson . 1881년 존 와일리 & 선스 참고 항목: 플럭션의 방법 . ^ 벡터 미적분: 물리학 응용 프로그램. 제임스 비니 쇼 가. D. 반 노스트랜드, 1922. p205. 참고 항목: 그린의 정리 . ^ 미적분학 논문 제2권. 조셉 에드워즈 . 1922년 첼시 출판사 ^ 참조: H. 헬름홀츠 (1858) "위버 Integale der hydynamischen Gleichungen, 웰처 데어 위르벨베웨궁겐 intsprechen" (볼텍스 운동에 해당하는 유체역학 방정식의 통합에 관하여), 저널 für die reine und 안젤란트 수틱 , 55 : 25–55. 38페이지에서 유체의 속도 성분(u , v , w )은 스칼라 전위 P의 구배와 벡터 전위(L , M , N )의 굴곡으로 표현된다. 그러나 헬름홀츠는 조지 스톡스의 논문: G. G. 스톡스 (표시: 1849; 출판: 1856) "역동적인 회절 이론에 대하여," 케임브리지 철학회의 거래 , 제9권, 제1부, 제1권, 제1권, 제1권, 제1권, 제1권, 제1권, 제1권, 제1권, 제6권, 제9-10쪽 참조). ^ "Helmholtz' Theorem" (PDF) . University of Vermont. Archived from the original (PDF) on 2012-08-13. Retrieved 2011-03-11 .^ a b c David J. Griffiths , Electrodynamics 소개 , 프렌티스 홀, 1999, 페이지 556.^ Cantarella, Jason; DeTurck, Dennis; Gluck, Herman (2002). "Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-Space". The American Mathematical Monthly . 109 (5): 409–442. doi :10.2307/2695643 . JSTOR 2695643 . ^ Stewart, A. M.; 스리랑카 물리학 저널 12, 33–42(2011) ^ 로버트 리틀존의 온라인 강의 노트
참조 일반참조 조지 B. Arfken 과 Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physics , 제4판, Academic Press: San Diego(1995) 페이지 92–93조지 B. Arfken과 Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physics – International Edition , 6번째 판, Academic Press: San Diego(2005) 페이지 95–101 러더포드 아리스 , 벡터, 텐서 및 유체 역학의 기본 방정식 인 프렌티스 홀(1962년), OCLC 299650765 , 페이지 70–72 약한 제형에 대한 참조 외부 링크
"scalar probled"라고 하는 스칼라 필드, 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac70ccfda5b216df7e6fa4c0b885fca40b60768)
(가) 바인딩되지 않았으며, 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7c801c2c724ce19131c2e23e9a6c83eb62afa7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'\\&=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eeae76841c8576de93f6113dc147a818b15a2d6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68ffe47992c705df5dce699d0c1a2d320a418db)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\&\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\&=-\nabla \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f0b5ca659060eba8fd5a766c0275764c7ab5f7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16acf598eb6d627f8977f9486787d2c5032a5456)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )+i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iiint i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d9c781899f7a7e818436632e636e7c13806834)
3차원 
