스톡스 흐름

스톡스 흐름(George Gabriel Stokes의 이름을 따서 명명됨)은 슬링 플로우 또는 슬링 모션이라고도 불리며,^[1] 부성 관성력이 점성력에 비해 작은 유체 흐름의 일종이다.^[2] 레이놀즈 수는 낮음, 즉 $R{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} \ll 1$ 유체 속도가 매우 느리거나 점성이 매우 크거나 흐름의 길이 범위가 매우 작은 흐름의 대표적인 상황이다. 윤활유를 이해하기 위해 먼저 크리핑 유동을 연구했다. 자연에서 이런 종류의 흐름은 미생물, 정자^[3], 용암의 흐름에서 일어난다. 기술에서는 일반적으로 페인트, MEMS 기기, 점성 고분자의 흐름에서 발생한다.

스톡스 방정식이라 불리는 스톡스 흐름에 대한 운동 방정식은 나비에의 선형화다.–스토크 방정식. 따라서 선형 미분 방정식에 대해 잘 알려진 여러 가지 방법으로 해결할 수 있다.^[4] Stokes flow의 1차 그린의 기능은 Stokeslet으로, Stokes flow에 내장된 단일한 포인트 힘과 연관된다. 파생상품으로부터 다른 근본적인 해결책을 얻을 수 있다.^[5] 스톡슬릿은 핸콕에 의해 1953년까지 이름이 지어지지 않았지만 1927년에 오이스틴에 의해 처음 유래되었다.^[6] 임의의 시간 의존적 변환 및 회전 운동과 관련된 일반화된 비정형 스톡스와 오아인 흐름에 대한 폐쇄형 기본 해결책은 뉴턴^[7] 및 마이크로폴^[8] 액체를 위해 도출되었다.

스톡스 방정식

Stokes 흐름의 운동 방정식은 안정 상태 Navier-Stokes 방정식을 선형화하여 얻을 수 있다. 관성력은 점성력에 비해 무시할 수 있는 것으로 가정되며, 나비에에서 운동량 균형의 관성 용어를 제거한다.–스톡스 방정식은 스톡스 방정식의 운동량 균형까지 감소시킨다.^[1]

${\displaystyle {\symbol {\bla }\cdot \cdma +\mathbf {f} = {\bmithmbol {0}}}$

$여기$서 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$sigma}$은(는) 응력(비스코스 및 압력 응력의 합계)^[9][10]이고$f$ {\$displaystyle$ \mathbf ${f}$은$($는) 적용된 신체 힘이다. 또한 전체 스톡스 방정식은 질량 보존을 위한 방정식을 포함하며, 일반적으로 다음과 같은 형태로 작성된다.

${\displaystyle {\frac {\reship \rho }{\reshold t}+\cdla \cdot(\rho \mathbf {u} )=0}$

여기서 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$은(는) 유체 밀도 및 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$유체 속도. 압축할 수 없는 흐름에 대한 운동 방정식을 얻기 위해 밀도 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$이$($가) 상수라고 가정한다.

나아가 운동 밸런스 방정식의 왼쪽에 $\rho {\displaystyle }$ u${\displaystyle \frac{\mathrm{}u\mathbf{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\partial }{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$ ${\$라는 용어가 추가되는 불안정한$$ 스톡스 방정식을 가끔 고려할 수 있다.^[1]

특성.

스톡스 방정식은 Navier 전체를 상당히 단순화시킨 것이다.–스톡스 방정식, 특히 압축할 수 없는 뉴턴의 경우.^{[2][4][9][10]} 그것들은 Navier 전체를 선도적으로 단순화한 것이다.–Stokes 방정식, 고유 한계 $R{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$→ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} \to.}$에서 유효함

순간성

스톡스 흐름은 시간에 의존하는 경계 조건을 통한 것 외에는 시간에 의존하지 않는다. 이것은 스톡스 흐름의 경계 조건을 감안할 때, 흐름을 다른 때에 알지 못하는 사이에 흐름을 발견할 수 있다는 것을 의미한다.

시간 경과성

즉석성, 시간역전의 즉각적인 결과는 시간역전 스톡스 흐름이 원래의 스톡스 흐름과 동일한 방정식을 해결한다는 것을 의미한다. 이 특성은 (경계 조건의 선형성 및 대칭성과 연계하여) 흐름의 결과를 완전히 해결하지 않고 도출하는 데 사용될 수 있다. 시간 가역성은 기어오르는 흐름을 이용해 두 액체를 섞기 어렵다는 것을 의미한다.

스톡스 흐름의 시간 경과성: 두 개의 동심원통(상단 패널) 사이에 낀 점성액에 염료를 주입했다. 그런 다음 코어 실린더를 회전시켜 위에서 본 대로 나선형으로 염료를 전단한다. 염료는 옆면(중간판)에서 본 액체와 혼합된 것으로 보인다. 그런 다음 회전이 역전되어 실린더를 원래 위치로 이동시킨다. 염료 "unmixes"(하단 패널) 염색약 확산이 어느 정도 일어나기 때문에 반전이 완벽하지 않다.^[11][12]

이러한 성질은 압축할 수 없는 뉴턴 스톡스 흐름에 대해서는 사실이지만, 비뉴턴 액체의 비선형적이고 때로는 시간 의존적인 성질은 그들이 더 일반적인 경우에서 보유하지 않는다는 것을 의미한다.

스토크스 역설

스톡스 흐름의 흥미로운 속성은 스톡스의 역설로 알려져 있다: 2차원의 디스크 주위로 액체의 스톡스 흐름이 있을 수 없다는 것, 또는 동등하게, 무한히 긴 실린더 주위로 스톡스 방정식에 대한 비경쟁적 해결책이 없다는 사실이다.^[13]

시간 경과성 입증

Taylor-Couette 시스템은 뚜렷한 나선형으로 동심원 유체의 실린더가 서로를 지나치는 층류 흐름을 만들 수 있다.^[14] 높은 점도의 옥수수 시럽과 같은 액체는 투명한 외부 실린더를 통해 볼 수 있는 유체의 색 영역으로 두 실린더 사이의 간격을 채운다. 실린더는 저속으로 서로 상대적으로 회전하는데, 유체의 높은 점도와 간극의 얇음과 함께 낮은 레이놀즈 숫자를 제공하므로, 색의 겉보기 배합은 실제로 층을 이루고 나서 대략 초기 상태로 되돌릴 수 있다. 이것은 겉으로 보기에 액체를 섞은 다음 믹서의 방향을 반대로 하여 혼합을 푸는 극적인 시범을 만든다.^[15][16][17]

뉴턴 유체의 압축 불가능한 흐름

압축할 수 없는 뉴턴 액의 일반적인 경우, 스톡스 방정식은 (벡터화) 형태를 취한다.

${\displaystyle {\regated}\mu \mathbf{2}\mathbf {u} -{\mathsymbol {\p+}\mathbf {f} >{\mathsymbol {0}\}\\cdot \mathbf {u} &=0end}}$

여기서 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) ${\displaystyle 유체}$의 속도, $\nabla {\displaystyle \mathbf{}}$ p ${\displaystyle {\$pmbol {\$displaystyle$ $\$$mu$$}$은(는$)$ 압력의 구배$$, $\mu {\displaystyle }$ ${\$ \$mathbf$ {f {f$}$은$($으$$) 적용된 체력을 말한다. 결과 방정식은 속도와 압력이 선형이기 때문에 다양한 선형 미분 방정식 해결기를 활용할 수 있다.^[4]

데카르트 좌표, 평행 좌표.

속도 벡터가 $u{\displaystyle \mathbf{}}$= (${\displaystyle u}$ , ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v,w)}$로 확장되고 마찬가지로 신체 힘 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ f${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle f_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle f_{}}$) ${\displaysty \mathbf {f}$ = $(f_{x},{y},f_{z}}},{$z$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\})$로 확장하면 벡터 방정식을 명시적으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\mu \left({\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}와{\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}와{\frac{\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac{\partial p}{x\partial}}+f_{)}&, =0\\\mu \left({\frac{\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}.\right)-{\frac {\frac p}{\pair y}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}}&=0\\{\n1}{\regated \over \cHB v \over \cHB \over \cHB y}+{\reged w \over \cHB z}&=0\end}}}}}}}$

We arrive at these equations by making the assumptions that ${\displaystyle \mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I} }$ and the density ${\displaystyle \rho }$ is a constant.^[9]

해결 방법

스트림 기능별

압축불가 뉴턴 스톡스 흐름 방정식은 평면의 스트림 함수 방식이나 3차원 축대칭 사례로 해결할 수 있다.

그린의 기능별: 스톡슬릿

압축불가 뉴턴 유체의 경우 스톡스 방정식의 선형성은 그린의 ${\displaystyle 함수\mathbf{}}$ J${\displaystyle }$( r${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathb{J} (\mathbf {r} )}$이$($가) 존재함을 의미한다. 그린의 기능은 스톡스 방정식을 원점에서 작용하는 점력으로 대체되는 강제력 용어와 무한대로 소멸되는 경계조건으로 해결함으로써 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=-\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\ \mathbf {u} ,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$( ${\displaystyle r\mathbf{}}$) ${\displaystyle \mathbf {\delta }(\mathbf {r})$는 Dirac 델타 함수이며, $F{\displaystyle \mathbf{}}$Δ${\displaystyle \Delta \mathbf{}}$ ( r${\displaystyle }$) ${\displaysty \mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r}$ )는 원점에서 작용하는 점력을 나타낸다$$. u 및 p가 무한대로 사라지는 압력 p 및 속도 u에 대한 해결책은 다음과^[1] 같다.

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi \mathbf {r} ^{3}}}}$

어디에

${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{ \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{ \mathbf {r} ^{3}}}\right)}$ is a second-rank tensor (or more accurately tensor field) known as the Oseen tensor (Carl Wilhelm Oisn 이후)^{[clarification needed]}

The terms Stokeslet and point-force solution are used to describe ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$. Analogous to the point charge in electrostatics, the Stokeslet is force-free everywhere except at the origin, where it contains a force of strength ${\displaystyle \mathbf {F} }$.

연속 힘 분포($밀도{\displaystyle \mathbf{}}$) f${\displaystyle }$( ${\displaystyle r\mathbf{}}$) ${\displaystyle \mathbf {f}(\mathbf {r}$)의 경우, 솔루션$$(무한에서 소멸되는 것과 동일)은 중첩에 의해 생성될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \mathbb {J} \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{4\pi \left \mathbf {r} -\mathbf {r'} \right ^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'} }$

속도의 이 적분 표현은 입체성의 감소로 볼 수 있다: 3차원 부분 미분방정식에서 미지의 밀도에 대한 2차원 적분방정식으로.^[1]

Papkovich-Neuber 솔루션별

Papkovich-Neuber 용액은 두 개의 고조파 전위 측면에서 압축할 수 없는 뉴턴 스톡스 흐름의 속도와 압력장을 나타낸다.

경계요소법별

스톡스 흐름에서 거품 모양의 진화와 같은 특정한 문제들은 경계 요소 방법에 의해 수치 해소에 도움이 된다. 이 기법은 2차원 흐름과 3차원 흐름 모두에 적용할 수 있다.

일부 기하학

헬레쇼 흐름

헬레쇼 흐름은 관성력이 무시해도 될 정도의 기하학적 예다. 그것은 부분적으로 유체에 의해 점유된 플레이트 사이의 공간과 부분적으로 평탄한 발전기와 실린더 형태의 장애물에 의해 매우 가깝게 배열된 두 개의 평행 플레이트로 정의된다.^[9]

가느다란 몸 이론

스톡스 흐름에서 가느다란 몸체 이론은 너비에 비해 길이가 큰 몸 주위의 비회전적 흐름 장을 결정하는 간단한 근사법이다. 이 방법의 기본은 (몸이 가늘기 때문에) 선을 따라 유량 특이치의 분포를 선택하여 균일한 흐름과 조합하여 이들의 비회전적 흐름이 거의 0 정상 속도 조건을 만족하도록 하는 것이다.^[9]

구형좌표

램의 일반적인 해법은 압력 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이 라플라스 방정식을 만족하는$$ 데서 발생하며, 구면 좌표에서 일련의 고체 구형 고조파에서 확장될 수 있다. 따라서 스톡스 방정식의 해법은 다음과 같이 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq 1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+...\\sum _{n=-\infit }^{n=\n=\nabla \pi_{n}+\nabla \time (\mathbf {x} \chi _}\p&=\sum ^{n=-\infty}}}{p_{n}\n}\inflineed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 p ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle {\phi n}_{}}$, ${\displaystyle p_{n},\Phi _{n},$ ${\displaystyle {\chi n}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\chi$ $_$${n}$은 $순서$의 고체 구형 고조파다$.$

${\displaystyle {\begin}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n_{n}^{m}(\cos \cos \theta )(a_{mn}\philde{a}}_{mn}\sin mphi )\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cos.Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}}$

그리고 ${\displaystyle {Pn}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는) 연관된 범례 다항식이다. 램의 용액은 구의 내부 또는 외부의 액체의 움직임을 설명하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 규정된 표면 흐름, 이른바 썸머로 구형 입자 주위의 유체의 움직임을 설명하거나, 구형 유체 방울 내부의 흐름을 설명하는 데 사용할 수 있다. 내부 흐름의 경우, < ${\displaystyle$ $n$$<0}$을(를) 사용하는 용어는 삭제되는 반면, 외부 의 경우 > 0 ${\displaystyle$ n$>0}$을(를$)$ 사용하는 용어는 삭제되는 경우가 있다(흔히 규칙 $n{\displaystyle }$→${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{n}}$ -$$1 {\$displaystyle n\to$ -n-1}을 음수로 인덱싱하지 않는 것으로 가정한다$$).^[1]

정리

스토크스 용액 및 관련 헬름홀츠 정리

스톡스의 솔루션이라고도 알려진 움직이는 구에 대한 드래그 저항이 여기에 요약되어 있다. 동적 점도 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$을(를) 가진 스톡스 액체의 속도 $U$${\displaystyle$ U$}$에서 주행하는$$반지름 a ${\displaystyle a}$을(를) 지정할 경우$,$^[9] 드래그 $힘{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ D$${\$displaystystyle F_{D}$는 다음을 통해 주어진다$$.

${\displaystyle F_{D}=6\pi \mu aU}$

스톡스 용액은 동일한 경계 속도를 가진 다른 솔레노이드 벡터 필드보다 적은 에너지를 소산한다. 이를 헬름홀츠 최소 소산 정리라고 한다.^[1]

로렌츠 역수 정리

로렌츠 상호정리는 같은 지역에서 두 스톡스 사이의 관계를 기술하고 있다. 표면 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 의해 경계되는 유체 충전 $영역{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle V}$을(를$)$ 고려하십시오$.$ 속도 필드 $U{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ $\mathbf$$${$u}$ 및 $U$ u ${\$$displaystyle V$에서 각각 $해당$하는 스트레스 필드 ${\$}을$$(으)로 하여 Stokes)를 해결하십시오.$ystyle \mathbf {\sigma$ ${\displaystyle {}^{}}$ 및$$ and $\sigma {\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathbf {\sigma$ $\}\text{'}\}.$ 그러면 다음과 같은 평등이 유지된다.

${\displaystyle \int_{S}\mathbf {u} \cdot({\boldsymbol {\sigma }}}\cdot \mathbf {n}}\cdot \bmathbf {n}ds}$

여기서 $n{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) $표면{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$에서 정상 단위다$.$ 로렌츠 역수 정리를 사용하여 스톡스가 내부 폐쇄 표면에서 외부 폐쇄 표면까지 총 힘과 토크를 변화시키지 않음을 보여줄 수 있다.^[1] 로렌츠 상호정리는 또한 시아노박테리움과 같은 미생물의 수영속도를 표면속도와 연관시키는 데 사용될 수 있으며, 이는 실리아나 플라겔라를 통한 체형의 변형에 의해 규정된다.^[19]

팩센의 법칙

팩센의 법칙은 다중홀 순간을 주변 흐름과 그 파생상품 측면에서 표현하는 직접적인 관계다. 힐딩 팩센이 힘을 계산하기 위해 $처음$으로 F$${\$displaystyle \mathbf {F}$, 그리고 $T{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf {T}$을(를) 구체에$$ 계산하기 위해 개발한 이 값은 다음과 같은 형태를 취한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} ) _{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } ) _{x=0}\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle \mu }$ is the dynamic viscosity, ${\displaystyle a}$ is the particle radius, ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\infty }}$ is the ambient flow, ${\displaystyle \mathbf {U} }$ is the speed of the particle, ${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$ is the angular velocity 배경 흐름의 $\Omega {\displaystyle }$ ${\$은(는) 입자의 각도 속도다$$.

팩스엔의 법칙은 타원형, 스피로이드, 구형 낙하와 같은 다른 형태의 순간들을 묘사하기 위해 일반화될 수 있다.^[1]

참고 항목

참조

• 오켄돈, H. & Okendon J. R. (1995) 비스코스 플로우, 캠브리지 대학 출판부. ISBN 0-521-45881-1

외부 링크

• UNM물리학과 천문학에 의한 스톡스 흐름의 시간역전성 비디오 시연