크누드센 수

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Knudsen 번호(Kn)는 대표적인 물리적 길이 척도에 대한 분자 평균 자유 경로 길이의 비율로 정의되는 치수 없는 숫자다. 예를 들어, 이 길이 척도는 체내의 반지름이 될 수 있다. 이 숫자는 덴마크 물리학자 마틴 크누드센(1871–1949)의 이름을 따서 지어졌다.

Knudsen 번호는 어떤 상황을 모형화하는 데 통계적 역학 또는 유체 역학의 연속적 역학 제형이 사용되어야 하는지를 결정하는 데 도움이 된다. Knudsen 수가 1보다 가까우거나 크면 분자의 평균 자유 경로가 문제의 길이 척도와 유사하며, 유체 역학의 연속 가정은 더 이상 좋은 근사치가 아니다. 이 경우 통계적 방법을 사용해야 한다.

정의

Knudsen 번호는 다음과 같이 정의되는 치수 없는 숫자다.

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L},}$

어디에

${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ $$= 평균 사용 가능한 경로 [L¹],

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ $$= 대표적인 물리적 길이 척도 [L¹].

고려된 대표적인 길이 척도 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L$은 시스템의 다양한 물리적 특성과 일치할 수 있지만, 가장 일반적으로 가스 단계를 통해 열 수송 또는 대량 수송이 발생하는 간격 길이와 관련이 있다. 기체 단계를 통한 열 수송은 그 압력과 그 결과 이 단계에서 분자의 평균 자유 경로에 크게 의존하는 다공성 물질과 과립 물질의 경우가 이에 해당한다.^[1] 볼츠만 가스의 경우 평균 자유 경로를 쉽게 계산할 수 있으므로

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ = {\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt{2}}\pi d^{2}pL},}$

어디에

${\$$B}}}$은(는) 볼츠만 상수(SI 단위에서는 1.380649 × 10⁻²³ J/K) [M¹²⁻² L T θ⁻¹],

${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$은(는) 열역학 온도 [θ¹],

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$은(는) 입자 하드 쉘 직경[L¹]이다$$.

${\displaystyle p}$⁻¹ $[\displaystyle p]$는 총 압력 [M¹ L T⁻²]이다$$.

대기 중 입자 역학 및 표준 온도와 압력(예: 0°C 및 1 atm)을 가정하면 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$ \ $$8×10m⁻⁸(80nm)가 있다.

기체 내 마하 및 레이놀즈 수와의 관계

크누드센 번호는 마하 번호와 레이놀즈 번호와 관련될 수 있다.

동적 점도 사용

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{1}:{2}}\rho {\bar {c}\c}\bar da ,}$

평균 분자 속도(Maxwell-Boltzmann 분포로부터)

${\displaystyle {\bar}}={\sqrt {\frac {8k_{\text{B}}}T}{\pi m}},}$

평균 자유 경로는 다음과 같이 결정된다.^[2]

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mu }{p}}{p}{\frac {\pi k_{\text{B}}}}}{\frac}}}T}{2m}}.}$

L(일부 특성 길이)로 나누어 Knudsen 번호를 구한다.

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}={\frac {\mu }{pL}{{\sqrt{\frac {\pi k_{\text{B}}}T}{2m}},}$

어디에

$'{\$은(는) 맥스웰-볼츠만 분포[L¹ T⁻¹]로부터의 평균 분자 속도다.

T는 열역학 온도 [θ¹]이다.

μ는 동적 점도 [M¹ L T⁻¹⁻¹],

m은 분자질량[M¹]이다.

k는_B 볼츠만 상수 [M¹ L² T⁻² θ⁻¹]이다.

p는 압력 [M¹ L T⁻¹⁻²]이다.

치수 없는 마하 번호는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {U_{\inflt{}}}{c_{\text{s}},}$

음속은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle c_{\text{s}}}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}={\sqrt {\prac {\gamma k_{\text{B}}}}}}}T}{m}},}$

어디에

U는_∞ freestream speed [L¹ T⁻¹],

R은 범용 가스 상수(SI, 8.314 47215 J K⁻¹ mol⁻¹), [M¹ L T²⁻² θ⁻¹ mol⁻¹],

M은 어금니 질량 [M¹ mol⁻¹]이다.

${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$은(는) 특정 가열 비율[1]이다$$.

치수 없는 레이놀즈 번호는 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho U_{\inflt }{\mu }}.}$

마하 숫자를 레이놀즈 수로 나눈 값:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {Ma} }{\mathrm {Re} }}={\frac {U_{\infty }/c_{\text{s}}}{\rho U_{\infty }L/\mu }}={\frac {\mu }{\rho Lc_{\text{s}}}}={\frac {\mu }{\rho L{\sqrt {\frac {\gamma k_{\text{B}}T}{m}}}}={\frac {\mu }{\rho L}{\sqrt {\m}{\gamma k_{\text{B}}}}}}}}T}}}$

and ${\displaystyle \sqrt{\frac{\pi }{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{\mathrm{}}{}}}${\$displaystyle${\$sqrt {\frac${\$gamma \pi }{2}}:$ Knudsen 번호$$:

${\displaystyle {\frac {\mu}{\rho L}{\frac {m}{\gamma k_{\text{B}}}}{\displaystyle}T}}{{\sqrt{\frac{\gamma \pi }{2}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\frac {\pim}{2k_{\text{B}}}}}}}}T}}}=\mathrm{Kn} .}$

따라서 마하, 레이놀즈 및 크누드센 번호는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {Kn} \={\frac {\mathrm {Ma}{}{\mathrm {Re}}}}{\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}.}$

적용

Knudsen 번호는 흐름의 희소 반응을 결정하는 데 사용할 수 있다.^[3]

• < ${\displaystyle \mathrm {Kn} <0.01}$ 연속 흐름
• < <.1 ${\displaystyle 0.01<\mathrm {Kn} <0.1}$: 슬립 흐름
• 1< < ${\displaystyle$ 0.$1<\mathrm {Kn} <10}$ 경과 흐름
• > ${\displaystyle \mathrm {Kn} >10}$: 자유분자 흐름^[4]

이 체제 분류는 경험적이고 문제에 의존하지만 흐름을 적절하게 모형화하는 데 유용하다는 것이 입증되었다.^[3]

크누드센 수치가 높은 문제에는 낮은 대기를 통한 먼지 입자의 움직임과 외부권을 통한 위성의 움직임의 계산이 포함된다. Knudsen 수치에 가장 널리 사용되는 애플리케이션 중 하나는 연속체에서 자유 분자까지 흐름이 다양한 마이크로 유체학 및 MEMS 장치 설계에 있다.^[3] 크누드센 수가 많은 상황에서 유체의 움직임은 자유 분자 흐름이라고도 불리는 크누드센 흐름을 나타낸다고 한다.

여객기 등 항공기 주변의 기류는 크누드센 숫자가 적어 연속역학의 영역에 확고히 자리 잡고 있다. 크누드센 번호를 사용하면 스톡스의 법칙에 대한 조정이 커닝햄 보정계수에 사용될 수 있으며, 이는 작은 입자(d_p < 5μm)에서 미끄러져 발생하는 드래그 힘 보정이다. 노즐을 통한 물의 흐름은 대개 크누드센 숫자가 낮은 상황이 될 것이다.^[4]

분자량이 다른 기체의 혼합물은 구멍을 통과하는 분자의 수가 기체의 압력에 비례하고 분자량에 반비례하기 때문에 얇은 벽의 작은 구멍을 통해 혼합물을 보내면 부분적으로 분리될 수 있다. 다공성 막을 사용하여 우라늄과 같은 동위원소 혼합물을 분리하는 기법이 사용되었으며,^[5] 수소 생산에 사용되는 기법도 물에서 성공적으로 입증되었다.^[6]

크누드센 수는 가스의 열전도에도 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 저압 상태에서 가스가 포함된 절연 재료의 경우, 낮은 열 전도성을 보장하기 위해 크누드센 수가 가능한 한 높아야 한다.^[7]

참고 항목

• 커닝햄 보정계수
• 유체 역학
• 마하 수
• 크누드센 흐름
• 크누드센 확산
• 크누드센 역설

참조

• Cussler, E. L. (1997). Diffusion: Mass Transfer in Fluid Systems. Cambridge University Press. ISBN 0-521-45078-0.

외부 링크

• Knudsen 수 및 확산도 계산기