나비에-스토크의 존재와 부드러움

밀레니엄상 문제
버치·스위너튼-다이어 추측 호지 추측 나비에-스토크의 존재와 부드러움 P 대 NP 문제 푸앵카레 추측(솔루션) 리만 가설 양-밀스 존재와 질량 격차
v t

더 나비에–존재 및 평활도 문제는 Navier 솔루션에 대한 수학적 특성에 관한 문제–공간에서 유체의 움직임을 설명하는 부분 미분방정식의 체계인 스톡스 방정식. Navier에 대한 솔루션–스톡스 방정식은 많은 실제 적용에 사용된다. 그러나 이러한 방정식에 대한 해법에 대한 이론적 이해는 불완전하다. 특히, Navier의 솔루션–스토크 방정식은 종종 난류를 포함하는데, 이는 과학과 공학에서 엄청난 중요성에도 불구하고 물리학에서 가장 큰 미해결 문제 중 하나로 남아 있다.

Navier 솔루션의 보다 기본적이고 직관적인 특성–스토크는 한번도 입증된 적이 없다. 방정식의 3차원 체계와 일부 초기 조건을 감안할 때, 수학자들은 매끄러운 해결책이 항상 존재한다는 것을 증명하지도 못했고, 어떤 반례도 발견하지 못했다. 이것을 Navier라고 부른다.–존재와 부드러움 문제를 야기한다.

Navier를 이해한 이후–스톡스 방정식은 난기류의 이해하기 어려운 현상을 이해하기 위한 첫 단계로 여겨지고 있는데, 2000년 5월 클레이수학원은 이 문제를 수학에서 7개의 밀레니엄상 문제 중 하나로 만들었다. 그것은 문제의 특정 진술에 대한 해결책을 제공하는 첫 번째 사람에게 백만 달러의 상금을 제공했다.^[1]

다음 문구를 입증하거나 이에 대한 예를 제시하십시오.

초기 속도장이 주어진 공간 3차원 및 시간에는 벡터 속도와 스칼라 압력장이 존재하며, 이는 매끄럽고 전지구적으로 정의되어 있어 나비에를 해결한다.-스토크 방정식.

더 나비에–스토크 방정식

수학에서는, 나비에르–스토크 방정식은 어떤 크기의 추상 벡터장에 대해서도 비선형 부분 미분 방정식의 체계다. 물리학과 공학에서 그것들은 연속체 역학을 이용하여 액체나 비재배 기체의 움직임(평균 자유 경로가 충분히 짧아서 입자 집합 대신 연속체 평균으로 생각할 수 있는 경우)을 모형화하는 방정식의 시스템이다. 방정식은 뉴턴의 제2법칙에 대한 진술로, 점성 뉴턴 유체에 있는 힘에 따라 힘을 모델링한 것으로, 압력, 점성 응력 및 외부 체력에 의한 기여의 합이다. 클레이수학연구소가 제안한 문제의 설정은 3차원으로 되어 있기 때문에, 비압축성 및 동질성의 유체에 대해서는, 그 사례만을 이하에 상정하고 있다.

$v{\displaystyle \mathbf{}}$( ${\displaystyle x\mathit{}}$, $){\displaystyle \mathbf {v}({\boldsymbol{x},t)}$을 유체의 속도인 3차원 벡터장이 되게$$ 하고, $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathit{}}$, $){\displaystyle$ p$({\boldsymbol{x},t)}$을 유체의 압력이 되게$$ 한다.^{[note 1]} 더 나비에–스토크 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}$

어디ν>f0{\displaystyle \nu>0}은 동적 점도,(x, t){\displaystyle \mathbf{f}({\boldsymbol{x}},t)}외부 체적 힘,∇{\displaystyle \nabla}은 기울기 연산자 형상과 또한으로 표시됩니다. Δ{\displaystyle \Delta\displaystyle}은Laplacian 사업자인. ∇ ⋅ ∇${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ ${\displaystyle {또는}^{}}$ $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ 벡터 방정식이라는 점에 유의하십시오. 즉, 스칼라 방정식은 세 개입니다. 속도 좌표와 외력 기록

${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,v_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}\,,\qquad \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,f_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}}$

각 $i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle i=1,2,3}$에 해당하는 스칼라 Navier가 있음$$–스토크 방정식:

${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}v_{j}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\boldsymbol {x}},t).}$

알 수 없는 것은 속도 $v{\displaystyle \mathbf{}(x}$, t$){\displaystyle \mathbf{v}({\boldsymbol{x},t)$와 압력 $p{\displaystyle (x\mathit{}}$, $){\displaystyle p({\boldsymbol{x},t)$이다$.$ 3차원에서는 3방정식과 4개의 미지수가 있기 때문에 보조 방정식이 필요하다. 이 추가 방정식은 유체의 질량 보존을 설명하는 불압축 유체의 연속성 방정식이다.

${\displaystyle \cdla \cdot \mathbf {v} =0.}$

이 마지막 속성 때문에, Navier에 대한 해결책–스토크 방정식은 솔레노이드("다이버전스 프리") 함수의 집합에서 검색된다. 이러한 균일한 매질의 흐름에서 밀도와 점도는 상수다.

구배만 나타나기 때문에 Navier 양쪽의 컬을 취하면 압력 p를 제거할 수 있다.-스토크 방정식. 이 경우 Navier–스토크 방정식은 복티시티-트랜스포트 방정식으로 감소한다.

두 가지 설정: 무한 공간 및 주기적 공간

백만 달러짜리 나비에에는 두 가지 다른 설정이 있다.–존재와 부드러움 문제를 야기한다. 원래 문제는 전체 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 있는데$,$ 초기 조건과 해결책의 성장 거동에 대한 추가 조건이 필요하다. 무한대의 문제를 배제하기 위해, Navier는–Stokes equations can be set in a periodic framework, which implies that they are no longer working on the whole space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ but in the 3-dimensional torus ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$. Each case will be treated separately.

전체 공간의 문제 설명

가설 및 성장 조건

그 초기 조건 0()){\displaystyle \mathbf{v}_ᆮ())}가 되려고divergence-free 원활한 기능(원활한 기능 확인)과 같이 모든 multi-index에{\displaystyle \alpha}(multi-index 표기법을 보)과 K>α 0{\displaystyle K>0}, C(α, K)을 도는 일정한 C존재하는 것으로 가정한다;v.0{\di다음과 $같은 splaystyle C=$C(\$alpha ,K$)>0$}$

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {v_{0}} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert )^{K}}}\qquad }$ for all ${\displaystyle \qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.$$}$

외부 힘 $f{\displaystyle \mathbf{}(x}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {f}(x,t)}$도 부드러운 함수로 가정하고 매우$$ 유사한 불평등을 만족한다(현재 다중 지수에는 시간 파생상품도 포함된다).

$displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {f}(x,t)\vert \leq {C}{(1+\vert x\vert +t)^{{{{{{$$K}}\qquad }$${\displaystyle \mathrm{모두<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash vert\; \backslash partial\; ^\{\backslash alpha\; \}\backslash mathbf\; \{f\}\; (x,t)\backslash vert\; \backslash leq\; \{\backslash frac\; \{C\}\{(1+\backslash vert\; x\backslash vert\; +t)^\{K\}\}\}\backslash qquad\; \}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/06ae6180b3e7b51c3814f117cbb032b4a478a223"\; style="vertical-align:\; -2.671ex;\; width:32.375ex;\; height:6.176ex;"\; papago-attr-id="132">}}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \in }$ R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \qquad (x,t)\in \mathb {R} ^{3}\time [0,\fty]$$}$

물리적으로 타당한 조건의 경우, 기대되는 해결책의 ${\displaystyle 종류}$는 x →${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \vert x\vert \put \inflt }$만큼 커지지 않는 부드러운 기능이다$.$ 보다 정확하게는 다음과 같은 가정을 한다.

1. ${\displaystyle \mathbf {v}(x,t)\in C^{\nothy}(\mathb {R}^{3}\time[0,\fty )],\qquad p(x,t)\inc^{\inc^{{3}\time [0,ft )}}$
2. There exists a constant ${\displaystyle E\in (0,\infty )}$ such that ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}\,dx<E}$ for all ${\displaystyle t\geq 0\,.}$

조건 1은 기능이 매끄럽고 전체적으로 정의되어 있음을 의미하며 조건 2는 용액의 운동에너지가 전지구적으로 경계되어 있음을 의미한다.

밀레니엄 상은 전 우주에서 추측된다.

(가) Navier의 존재와 부드러움–$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 솔루션 스톡스

${\displaystyle \mathrm{F}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \equiv }$ 0 ${\displaystyle \mathbf {f}(x,t)\equiv$ 0$\}$ . 위의 가설을 충족하는$$ 초기 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)$에 대해 Navier에 대한 부드럽고 세계적으로 정의된 해결책이 존재한다.–스토크 방정식, 즉 위의 조건 1과 2를 만족하는$$ 속도 벡터 $v{\displaystyle \mathbf{}}$(${\displaystyle x}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {v} (x,$${\displaystyle t}$$)}$과 압력 p${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyp$p$(x,t)}$이 있다.

(나) Navier의 고장–$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 솔루션 스톡스

There exists an initial condition ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ and an external force ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$ such that there exists no solutions ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ and ${\displaystyle p(x,t)}$ satisfying conditions 1 and 2 above.

주기적 문제에 대한 진술

가설.

지금 추구하는 함수는 기간 1의 공간 변수에서 주기적이다. 보다 정확하게 e ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 i-방향의 단일 벡터가 되도록$$ 한다.

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0)\\qquad e_{2}=(0,1,0)\\qquad e_{3}=(0,0,1)}$

$다음{\displaystyle }$ v${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {v}(x,t)}$은$($는) 공간 변수에서 주기적인 경우$$, i${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$인 경우:

${\displaystyle \mathbf {v}(x+e_{i}}t)=\mathb {v}(x,t){\text{{}\in}\in }}\mathb {R}\time [0,\infully].}$

좌표 mod 1을 고려하고 있다는 점에 유의하십시오. 이를 통해 전체 공간 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$$} ^{3}$이 아니라$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ torus로 판명된 지수 공간 R $3{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$/ Z ${\displaystyle 3{\mathbb{}}^{}}$ ${\$에서 작업할 수 있다.

${\displaystyle \mathb {T} ^{3}=\{{3}\theta _{1},\theta _{2},\3}):0\leq \theta \{i}<2\pi \...\quad i=1,2,3\}.}$

이제 가설은 제대로 진술할 수 있다. 초기 조건 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$은(는) 매끄럽고 분비가 없는 함수로 간주되며$$, 외부 힘 $f{\displaystyle \mathbf{}(x}$,${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle \mathbf {f}(x,t)$도 매끄러운 함수로 가정한다$$. 물리적으로 관련이 있는 해결책의 유형은 다음과 같은 조건을 충족하는 것이다.

앞의 경우와 마찬가지로 조건 3은 기능이 매끄럽고 세계적으로 정의되어 있음을 의미하며 조건 4는 용액의 운동 에너지가 전지구적으로 경계되어 있음을 의미한다.

정기적인 밀레니엄상 정리

(다) Navier의 존재와 부드러움–$T{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 솔루션 강조

${\displaystyle \mathrm{F}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \equiv }$ 0 ${\displaystyle \mathbf {f}(x,t)\equiv$ 0$\}$ . 위의 가설을 충족하는$$ 초기 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)$에 대해 Navier에 대한 부드럽고 세계적으로 정의된 해결책이 존재한다.–스토크 방정식, 즉 위의 조건 3과 4를 만족하는$$ 속도 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ v${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$과 압력 p${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyp p(x,t)}$이 있다.

(D) Navier의 고장–$T{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 솔루션 강조

There exists an initial condition ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ and an external force ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$ such that there exists no solutions ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ and ${\displaystyle p(x,t)}$ satisfying conditions 3 and 4 above.

부분 결과

1. 더 나비에–두 가지 차원의 문제는 1960년대에 해결되었다: 매끄럽고 세계적으로 정의된 해결책이 존재한다.^[2]
2. 초기 속도 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$이(가) 충분히$$ 작으면 문장이 참이며, Navier에 대해 매끄럽고 전역적으로 정의된 솔루션이 있다.-스토크 방정식.^[1]
3. 초기 ${\displaystyle \mathrm{속도}}$ $v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf${${\displaystyle v}$$} _{0}(x)$에 따라 Navier와 같은$$ $v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ $($x${\displaystyle }$) {\$displaystyle$ \$mathbf {v} _{0}($x)에 따라 유한 시간 T가 존재한다$$.–Stokes equations on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times (0,T)}$ have smooth solutions ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ and ${\displaystyle p(x,t)}$. It is not known if the solutions exist beyond that "blowup time" T.^[1]
4. 1934년 장 르레이는 나비에에 대한 소위 약한 해결책의 존재를 증명했다.–점수 방정식이 아닌 평균값으로 방정식을 만족시키는 ^[3]스톡스톡스 방정식
5. 테렌스 타오는 2016년에 3차원 Navier의 평균 버전에 대한 유한한 시간 블로업 결과를 발표했다.-스토크 방정식. 그는 그 결과가 진정한 나비에의 글로벌 규칙성 문제에 대한 "초임계 장벽"을 공식화했다고 쓰고 있다.-방정식을 설명하고, 입증 방법이 실제 방정식에 대한 블로우업 설정의 가능한 경로를 암시한다고 주장한다.^[4]

대중문화에서

풀리지 않은 문제들은 소설에서 보기 드문 수학적인 재능을 나타내기 위해 사용되어 왔다. Navier-Stokes 문제는 유명하고 죽은 가상의 수학자 Rachela Karnokovitch가 학계의 반발로 무덤까지 증거를 가져가는 것에 관한 책인 The Mathicals Shiva(2014년)에 나온다.^[5][6] 영화 인디멘티드(2017년)는 밀레니엄상 문제를 언급하며 7세 소녀와 죽은 수학자 어머니가 나비에르를 풀 수 있는 가능성을 다뤘다.–문제 발생.^[7]

참고 항목

• 수학의 미해결 문제 목록
• 물리학의 미해결 문제 목록

메모들

참조

추가 읽기

• Constantin, Peter (2001). "Some Open Problems and Research Directions in the Mathematical Study of Fluid Dynamics". Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond. Berlin: Springer. pp. 353–360. doi:10.1007/978-3-642-56478-9_15. ISBN 3-642-63114-2.

외부 링크

• Aizenman, Michael. "Navier Stokes equations global existence and uniqueness". 기부자: 야코프 시나이
• 클레이 수학 연구소 나비에–스토크스 방정식 상
• Navier에 대한 글로벌 정규성–스톡스는 어렵다 — 해결 가능한 루트를 테렌스 타오가 면밀히 조사한다.
• 나비에-스토크의 존재와 부드러움(밀레니엄상 문제) 루이스 카파렐리의 문제에 대한 강의.
• "Navier Stokes Equation – A Million-Dollar Question in Fluid Mechanics". Aleph Zero. June 3, 2020. Archived from the original on 2021-12-19 – via YouTube.