비스코스 응력 텐서

점성 응력 텐서란 응력 부분을 변형률인 변형률에 기인할 수 있는 재료 내의 한 지점에서 응력 부분을 모형화하기 위해 연속체 역학에서 사용되는 텐서다.

비스코스 응력 텐서는 변형 때문에 탄성 재료의 내부 힘을 설명하는 탄성 응력 텐서(Cauchy 텐서)와 정식으로 유사하다. 두 텐서 모두 표면 요소의 정상 벡터를 해당 표면 요소에 작용하는 응력의 밀도와 방향에 매핑한다. 그러나 탄성 응력은 변형량(스트레인)에 의한 것이며, 점성응력은 시간에 따른 변형률(스트레인 레이트)에 의한 것이다. 액체 및 고형물의 거동이 중간인 점탄성 소재에서 총 응력 텐서는 점성과 탄성성("정적") 성분으로 구성된다. 완전 유체 재료의 경우 탄성 용어는 정수압까지 감소한다.

임의 좌표계에서는 특정 지점과 시간에 비스코스 응력 $ε$ 과 변형률 $E$ 를 실수의 3 × 3 행렬로 나타낼 수 있다. 많은 상황에서 그러한 행렬들 사이에는 대략적인 선형 관계가 있다. 즉, $μ$ = $μE$ 와 같은 4차 점성 텐서 $μs$ 이다. 텐서 $μ$ 는 4개의 지수를 가지며 3 × 3 × 3 실수로 구성된다(이 중 21개만 독립적이다). 뉴턴 유체에서 $ε$ 과 $E$ 의 관계는 정의상 완벽하게 선형이며 점성 텐서 $μ$ 는 유체의 운동이나 응력 상태와 무관하다. 유체가 뉴턴처럼 등방성이면 점성 텐서 $μ$ 는 3개의 독립된 실제 매개변수, 즉 매체에서 점진적으로 균일한 압축의 저항을 정의하는 대량 점성 계수, 점진적 피복에 대한 저항을 나타내는 동적 점성 계수, 그리고 회전 점성 계수만을 가질 것이다.ich는 유체 흐름과 개별 입자의 회전 사이의 결합에서 발생한다.^[1]^{: 304} 그러한 결합이 없을 경우 점성 응력 텐서는 두 개의 독립적인 매개변수만 가지며 대칭이 될 것이다. 반면에 비뉴턴 액에서 $ε$ 과 $E$ 의 관계는 극히 비선형적일 수 있으며, $ε$ 은 E $이외$ 의 흐름의 다른 특징에 의존할 수도 있다.

정의

비스코스 대 탄성 응력

연속적인 매체의 내부 기계적 응력은 일반적으로 어떤 "압축되지 않은"(압축되지 않은) 상태에서 물질의 변형과 관련이 있다. 이러한 응력에는 일반적으로 현재 변형량과 관련된 탄력성("정적") 응력 구성 요소 및 재료의 정지 상태를 복원하기 위한 작용이 포함되며, 시간에 따라 변형이 변화하는 속도에 따라 달라지며 그러한 변화에 반대되는 점성 응력 구성 요소가 포함된다.

점성 응력 텐서

총체적이고 탄력적인 응력과 마찬가지로 재료의 특정 지점 주변의 점성 응력은 언제라도 점을 통과하는 이상적인 평면의 정상 방향 벡터와 그 지점의 국부 응력 밀도 사이의 선형 관계인 응력 텐서(stress tensor)에 의해 모델링될 수 있다.

축 번호가 1, 2, 3인 좌표계에서 이 비스코스 응력 텐서는 3 x 3 행렬의 실제 숫자로 나타낼 수 있다.

\varepsilon (p,t)={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,.

이러한 숫자는 일반적으로 $p점$ 과 $t점$ 에 따라 변한다는 점에 유의하십시오.

길이가 원소의 영역이고 방향과 수직인 벡터 $dA$ 로 대표되는 p $점$ 을 중심으로 한 극소수의 평면 요소를 고려한다. $dF$ 는 해당 $표면$ 요소에 걸쳐 dA 반대편의 재료에 가해지는 점성 응력으로 인한 최소의 힘이 되도록 한다. 그런 다음 각 좌표 축을 따라 $dF$ 의 성분이 주어진다.

dF_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}\, dA_{j}\,

어떤 물질에서든 총 응력 텐서 $σ$ 은 이 점성 응력 텐서 $ε$ , 탄성 응력 텐서 $τ$ , 정수압 $p$ 의 합이다. 완벽하게 유동적인 재료에서 정의상 정적 전단 응력을 가질 수 없는 탄성 응력 텐서는 0:

\sigma _{ij}=-p\fairpsilon _{ij}+\varepsilon _{ij}\...

여기서 $Δ$ 는_ij 단위 텐서로서, $Δ$ 는_ij $i$ = $j이면$ 1이고, $Δ$ $j이면$ 0이다.

비스코스 응력은 매질의 성질에 따라 강하게 의존하는 물리적 현상에 의해 생성되는 반면, 비스코스 응력 텐서 $ε$ 은 물질의 인접한 구획들 사이의 국부적인 순간적인 힘에 대한 설명일 뿐 소재의 속성은 아니다.

대칭

유량("extrinsic" torque)으로 인한 소자의 토크를 무시하면 유체 소자의 단위 부피당 점성 "intrinsic" 토크가 (대칭 텐서로서) 다음과 같이 기록된다.

\tau _{ij}=\varepsilon _{ij}-\varepsilon _{ji}}

시간에 따른 내적인 각운동량 밀도의 변화 속도를 나타낸다. 입자가 회전 자유도를 가지면 이는 내적인 각운동량을 의미하며, 이 각운동량이 충돌에 의해 변화될 수 있다면, 이 내적인 각운동량이 시간에 따라 변화하여 0이 아닌 내적인 토크가 발생할 수 있으며, 이는 비스코스 응력 텐서가 항지름을 갖는다는 것을 의미한다.해당 회전 점도 계수를 갖는 미터법 성분.^[1] 유체 입자가 무시할 수 있는 각운동량을 가지거나 각운동량이 외부 각운동량과 눈에 띄게 결합되지 않거나, 외부와 내부 자유도 사이의 등교정 시간이 실질적으로 0이면 토크는 0이 되고 점성 응력 텐서는 대칭이 된다. 외부 힘은 응력 텐서(예: 외부 자기장에 의해 토크를 받을 수 있는 강자성 유체)에 비대칭적인 요소를 초래할 수 있다.

점성 응력의 물리적 원인

고체 물질에서 응력의 탄력성 요소는 물질의 원자와 분자 사이의 결합의 변형에서 기인할 수 있으며, 전단 응력을 포함할 수 있다. 유체에서 탄성 응력은 충돌이나 상호작용 속도에 영향을 미치는 입자의 평균 간격의 증가 또는 감소에 기인할 수 있다. 따라서 그것은 입자의 움직임의 미세한 열 무작위 구성 요소와 관련되며, 그 자체로 등방성 하이드로 발현된다.정압 응력

반면에 응력의 점성 요소는 입자의 거시적 평균 속도에서 발생한다. 평균 속도가 다른 매체의 인접 구획들 사이의 마찰이나 입자 확산에 기인할 수 있다.

점성 방정식

변형률 텐서

매끄러운 흐름에서 시간 경과에 따라 매체의 국소변형이 변화하는 속도(변형률)는 스트레인율 $텐서 E (p$ , t)에 의해 근사하게 추정할 수 있는데 $,$ 이는 보통 $p$ 와 시간 $t$ 의 함수다. 좌표계에 관해서, 그것은 3 × 3 행렬로 표현될 수 있다.

변형률 텐서 $E (p,$ $t)$ 는 시간에 대한 변형률 $e (p,$ $t)$ 의 파생상품으로 정의하거나, 흐름 속도 벡터 $v (p,$ $t$ )의 구배(공간에 대한 변형)의 대칭 부분으로서 동등하게 정의할 수 있다 $.$

E={\frac {\partial e}{\partial t}={\frac {1}{1}{1}:{2}}:\좌측(\nabla v)+(\nabla v)^{\textsf {T}\right)\

여기서 $\nabla v$ 는 속도 구배를 나타낸다. 데카르트 좌표에서 $\nabla v$ 는 야코비안 행렬이고

(\displaystyle (\b)_{ij}={\frac {\fract v_{i}}{\properties x_{j}}}}}}}}}}}

따라서

E_{ij}={\frac {\partial e_{ij}}{\partial t}={\frac {1}{1}{{j}}}}}+{\partial v_{i}}}}{partial v_}}\\partial x_{j}\오른쪽)\,\,\,\

어느 쪽이든 변형률 텐서 $E (p,$ $t)$ 는 입자의 상대적 거리를 변경하지 않고 점성 응력의 회전 부분에만 기여하는 경직체로서 $p$ 에 대한 매체의 회전으로 인한 변화를 $제외$ 하고 p 지점에서 멀어질 때 매체의 평균 속도가 변화하는 속도를 나타낸다. 개별 입자 자체의 회전을 통해. (이러한 변화는 흐름의 vorticity를 구성하는데, 이는 컬(회전) × 속도의 $v$ 이며, 속도 구배 $gradientv$ 의 비대칭 부분이기도 하다.

일반 흐름

점성 응력 텐서는 점 p $주변$ 의 스트레스에 대한 선형 근사치에 불과하며, Taylor 시리즈의 고차 항을 설명하지 않는다. 그러나 거의 모든 실제 상황에서 이러한 용어는 무시될 수 있는데, 이는 점성 응력이 발생하는 크기 척도에서 무시할 수 있고 매체의 움직임에 영향을 주기 때문이다. 변형률 텐서 $E$ 도 p $주위$ 의 속도 패턴을 나타낸다고 말할 수 있다.

따라서 텐서 $E$ 와 $ε$ 으로 대표되는 선형 모델은 거의 항상 점 주위의 점성 응력과 변형률을 설명하기에 충분하며, 그 동적 모델링을 목적으로 한다. 특히 국부 변형률 $E (p,$ $t)$ 는 특정 지점에서 점성 응력 $ε (p,$ $t)$ 에 직접 영향을 미치는 속도 흐름의 유일한 속성이다.

한편 $E$ 와 $ε$ 의 관계는 상당히 복잡할 수 있으며, 물질의 구성, 물리적 상태, 미세한 구조에 따라 크게 좌우된다. 또한 고도로 비선형적인 경우가 많으며, 현재 문제의 지점 부근에 있는 재료가 이전에 경험했던 변종과 스트레스에 따라 달라질 수 있다.

뉴턴의 일반 매체

매체는 비스코스 응력 $ε (p,$ $t)$ 이 변형률 $E (p,$ $t$ )의 선형 함수라면 뉴턴이라고 하며 $,$ 이 기능은 달리 p $주변$ 의 유체의 응력과 움직임에 좌우되지 않는다. 어떤 실제 액체가 완벽하게 뉴턴적인 것은 아니지만, 흐름 응력과 변형률이 너무 높지 않은 한 기체와 물을 포함한 많은 중요한 액체는 그렇게 가정할 수 있다.

일반적으로 두 개의 2차 텐서 사이의 선형 관계는 4차 텐서다. 뉴턴 매체에서 특히 점성 응력과 변형률은 점성 텐서 $μ$ 에 의해 연관된다.

\varepsilon _{ij}=\sum _{kl}{\mu}}}{ijkl}E_{kl}\,

$점성계수$ μ는 정의상 $달리$ v 또는 $σ$ 에 의존하지 않는 뉴턴 물질의 속성이다.

변형률 텐서 $E (p,$ $t)$ 는 정의상 대칭적이기 때문에 선형적으로 독립된 원소가 6개뿐입니다. 따라서 점성 텐서 $μ$ 는 81이 아니라 6 × 9 = 54도 자유도에 불과하다. 대부분의 유체에서 점성 응력 텐서 역시 대칭이므로 점성 파라미터의 수는 6 × 6 = 36으로 더욱 감소한다.

전단 및 대량 점성 응력

회전 효과가 없으면 점성 응력 텐서는 대칭이 된다. 다른 대칭 텐서와 마찬가지로 점성 응력 텐서 $ε$ 은 미량 없는 대칭 텐서 $ε$ 과^s ID 텐서의 스칼라 복수 $ε$ 의^v 합으로 표현할 수 있다. 좌표 형식에서,

{\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&=\varepsilon _{ij}^{\text{v}}+\varepsilon _{ij}^{\text{s}}\\[3pt]\varepsilon _{ij}^{\text{v}}&={\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sum _{k}\varepsilon _{kk}\\\varepsilon _{ij}^{\text{s}}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sum _{k}\varepsilon _{kk}\,.\end{정렬}}

이 분해는 좌표계와 독립적이며 따라서 물리적으로 유의하다. 점성 응력 텐서의 상수 부분 $ε$ 은^v 방향과 무관하게 어떤 표면에서나 동등하고 수직으로 작용하는 일종의 압력 또는 벌크 응력으로 나타난다. 일반적인 정수압과는 달리, 그것은 변형이 변화하고 있는 동안에만 나타날 수 있고, 그 변화에 반대하는 행동을 할 수 있다; 그리고 그것은 부정적일 수 있다.

등방성 뉴턴의 경우

등방성이 있는 뉴턴 매체에서(즉, 모든 방향에서 특성이 동일한) 응력 텐서의 각 부분은 변형률 텐서의 해당 부분과 관련이 있다.

{\displaystyle{\begin}\barepsilon ^{\text{v}(p,t)&=\mu ^{\text{v}E^{\text{v}}}{\text{v}}}}\barepsilon ^{\text{p,t}&=\{s}}}}E^{\text{s}}(p,t)\...\end{aigned}}}

여기서 $E$ 와^v $E$ 는^s 스칼라 등방성 및 변형률 텐서 $E$ 의 제로 트레이스 부분이며, $μ$ 와^v^s μ는 두 개의 실제 수이다.^[2] 따라서 이 경우 점성 텐서 $μ$ 는 두 개의 독립적인 매개변수만 가진다.

$E$ 의 0-추적 $부분 s$ E는 대칭 3 × 3 텐서로서, 매체의 부피 변화를 무시한 채 칼집에 의해 변형되는 비율을 기술한다. 따라서 $ε$ 의 제로 트레이스 부분 $ε$ 은^s 진행성 전단 변형과 관련된 익숙한 점성 전단 응력이다. 균일한 단면(Poiseuille flow) 또는 두 평행 이동 플레이트(Couette flow) 사이에서 유체가 튜브를 통해 이동하면서 발생하는 점성 응력이며, 그러한 움직임에 저항한다.

$E$ 의 $파트 v$ E는 스칼라 승수(예를 들면 $ε$ 과^v 같이)로서 작용하며, 해당 지점을 중심으로 한 매체의 평균 팽창률. (대각선을 따라 동일한 값을 갖는 3 × 3 대각 행렬에 의해 어떤 좌표계에서도 표현된다.) 수적으로 와 같다. 속도 간극의 1/3

\cdla \cdot v=\sum _{k}{\frac {\frac {\frac v_{k}}{\put x_{k}}}\}}

즉, 흐름으로 인한 유체의 부피 변화에 대한 상대적인 비율이다.

따라서 $ε$ 의 스칼라 부분 $ε은 v$ 재료가 모든 방향에서 같은 속도로 압축되거나 팽창될 때 관찰될 수 있는 응력이다. 소재가 압축되는 동안에만 나타나는 추가 압력으로 나타나지만, (진정한 정수압과는 달리) 압축의 양보다는 압축의 변화 속도에 비례하며, 볼륨의 변화가 멈추는 순간 사라진다.

보통 대량 점성 또는 체적 점성이라고 불리는 점성 응력의 이 부분은 점성 물질에서 종종 중요하며, 매질 내 압력파의 감쇠를 담당한다. 물질이 압축 불가능한 것으로 간주될 수 있을 때(예를 들어, 채널 내 물의 흐름을 모델링할 때) 대량 점도는 무시될 수 있다.

흔히 $μ$ 로 나타내는 계수 $μ$ 를^v 대량 점도의 계수(또는 "2차 점도의 계수")라고 하는데, $μ$ 는^s 공통 점도의 계수(샤르)이다.

참고 항목

참조

^ ^a ^b De Groot, S. R.; Mazur, P. (1984). Non-Equilibrium Thermodynamics. New York: Dover. ISBN 0-486-64741-2.
^ Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1997). Fluid Mechanics. Translated by Sykes, J. B.; Reid, W. H. (2nd ed.). Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2767-0.

[dG1984-1] De Groot, S. R.; Mazur, P. (1984). Non-Equilibrium Thermodynamics. New York: Dover. ISBN 0-486-64741-2.

[2] Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1997). Fluid Mechanics. Translated by Sykes, J. B.; Reid, W. H. (2nd ed.). Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2767-0.

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