척도 분석(수학)

적합 근사치
개념
근사치 순서 척도분석 · 빅 O 표기법 곡선 피팅 · 거짓정밀도 유효숫자
기타 기본 원리
근사치 · 일반화 오류 테일러 다항식 과학 모델링
v t

척도 분석(또는 척도 분석 순서)은 수학 과학에서 용어가 많은 방정식의 단순화를 위해 사용되는 강력한 도구다. 먼저 방정식에서 개별 항의 대략적인 크기를 결정한다. 그렇다면 무시해도 좋을 정도로 작은 용어들은 무시될 수도 있다.

예: 시냅스 스케일 기상학에서 수직 모멘텀

예를 들어 Navier의 모멘텀 방정식을 고려해 보십시오.–대기 수직 좌표 방향에서 방정식 강조

${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}-{\frac {u^{2}+v^{2}}{R}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}}-g+2{\Omega u\cos \varphi }+\nu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\frac ^{2}w}{\\buffer z^{2}}\오른쪽),}$

(A1)

여기서 R은 지구 반지름, Ω은 지구의 자전 빈도, g는 중력 가속도, φ은 위도, ρ은 공기의 밀도, ν은 공기의 동역학적 점도(자유 대기의 난류를 무시할 수 있다).

시놉틱 스케일에서 우리는 U = 10¹ ms의⁻¹ 수평 속도와 W = 10⁻² ms의⁻¹ 수직 속도를 기대할 수 있다. 수평 스케일은 L = 10m⁶, 수직 스케일은 H = 10m이다⁴. 대표적인 시간 척도는 T = L/U = 10s이다⁵. 대류권의 압력 차이는 ΔP = 10⁴ Pa이고 공기의 밀도 ρ = 10⁰ kg kgm이다⁻³. 기타 물리적 속성은 대략 다음과 같다.

R = 6.378 × 10⁶ m;

Ω = 7.292 × 10⁻⁵ rad⋅s^−1;

ν = 1.46 × 10⁻⁵ m³^2−1;

g = 9.81m³s^−2.

등식(A1)의 여러 항에 대한 추정치는 해당 척도를 사용하여 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\frac {\partial w}{\partial t}&\sim {\frac {W}{T}}\\[1.2ex]u{\frac {\partial w}{\partial x}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad v{\frac {\partial w}{\partial y}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad w{\frac {\partial w}{\partial z}}&\sim W{\frac {W}{H}}\\[1.2ex]{\frac {u^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}&\qquad {\frac {v^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}\\[1.2ex]{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&\sim {\frac {1}{\varrho }}{\frac {\Delta P}{H}}&\qquad \Omega u\cos \varphi &\sim \Omega U\\[1.2ex]\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{H^{2}}}\끝{정렬}}}$

이제 이러한 척도와 그 값을 방정식으로 소개할 수 있다(A1).

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}{\frac {10^{-2}}{10^{5}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10^{-2}{\frac {10^{-2}}{10^{4}}}-{\frac {10^{2}+10^{2}}{10^{6}}}\\[12pt]&{}=-{{\frac {1}{1}}{\frac {10^{4}}{10^{4}}}}-10+2\times 10^{-4}\times 10+10^{-5}\left({\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{8}}}\right).\end{정렬}}}$

(A2)

우리는 오른쪽의 첫 번째와 두 번째를 제외한 모든 용어가 무시할 수 없을 정도로 작다는 것을 알 수 있다. 따라서 우리는 정수 평형 방정식에 대한 수직 운동 방정식을 단순화할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{\barchheal}}{\frac {\fract p}{\frac z}}{\pair z}=-g.}$

(A3)

척도분석규칙

스케일 분석은 열전달 및 유체역학 분야의 문제를 해결하는 데 매우 유용하고 널리 사용되는 도구로, 압력 구동식 벽면 제트 제트 제트, 역방향 계단 뒤의 흐름 분리, 제트 확산 화염, 선형 및 비선형 역학 연구 등이 있다. 척도 분석은 종종 너무 복잡해서 정확하게 해결하기 어려운 방정식에 대한 대략적인 해결책을 얻기 위한 효과적인 지름길이다. 규모 분석의 목적은 대류 열전달의 기본 원리를 이용하여 관심 수량에 대한 규모 순서 추정을 하는 것이다. 척도 분석은 정확한 분석에 의해 산출되는 값비싼 결과인 순서의 요인 내에서 예측된다. 척도 분석은 다음과 같이 판정되었다.

규칙1- 척도 분석의 첫 번째 단계는 척도 분석을 적용하는 범위의 영역을 정의하는 것이다. 고유하게 정의되지 않은 흐름 영역의 척도 분석은 유효하지 않다.

규칙2- 하나의 방정식은 방정식에 나타나는 두 개의 지배적인 항들의 척도 사이의 등가성을 구성한다. 예를 들어,

${\displaystyle \rho c_{P}{{\partial T} \over {\partial t}=k{\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}.}$

위의 예에서, 왼쪽은 오른쪽과 같은 크기의 순서일 수 있다.

규칙3- 만약 두 용어의 합이 다음과 같은 경우

$[\displaystyle c=a+b}$

한 항의 크기가 다른 항의 크기보다 크다.

$[\displaystyle O(a)]O(b)}$

그 다음, 그 합계의 크기는 지배적인 용어로 결정된다.

$[\displaystyle O(c)=O(a)}$

같은 결론은 만약 우리가 두 용어의 차이를 가지고 있다면,

$(\displaystyle c=a-b)$

규칙4- 두 항을 합한 경우, 두 항이 동일한 크기 순서일 경우,

$[\displaystyle c=a+b}$

$[\displaystyle O(a)=O(b)}$

그 다음, 합계는 또한 같은 크기의 순서가 된다.

$O(a)\Thicksim O(b)\Thicksim O(c)}$

규칙5- 2항 제품인 경우

$(\displaystyle p=ab}$

제품의 크기 순서는 두 인자의 크기 순서와 같다.

${\displaystyle O(p)=O(a)O(b)}$

비율에 따라

${\displaystyle r={\frac {a}{b}}}$

그때

${\displaystyle O(r)={\frac {O(a)}{O(b)}}}}}$

여기서 O(a)는 a의 크기 순서를 나타낸다.

~는 두 개의 항이 동일한 크기 순서를 나타낸다.

<<는 규모순으로 볼 때 보다 큰 것을 나타낸다.

완전히 발달한 흐름의 척도해석

원형 튜브 내부의 점성 액체의 꾸준한 층류 흐름을 고려하십시오. 단면 전체에 걸쳐 유체가 균일한 속도로 유입되도록 한다. 유체가 튜브 아래로 이동하면 표면과 바로 인접한 유체가 0 속도를 가지기 때문에 저속 유체의 경계층이 형성되고 표면에 성장한다. 원통형 튜브 내부의 점성 흐름의 특이하고 단순화된 특징은 경계층이 튜브 중심선에서 스스로 충족되어야 한다는 사실이며, 속도 분포는 불변하는 고정 패턴을 설정한다. 유체역학적 입구 길이는 모멘텀 경계층이 커지고 길이와 함께 속도 분포가 변화하는 관의 부분이다. 완전하게 발달한 지역의 고정 속도 분포를 완전하게 발달된 속도 프로파일이라고 한다. 2차원 운동방정식의 안정상태 연속성과 보존은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\preason u}{\preason x}+{\fract v}{\preason y}=0,}$

(1)

${\displaystyle u{{\partial u} \over {\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial P}{\partial x}}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),}$

(2)

${\displaystyle u{{\partial v} \over {\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial P}{\partial y}}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right),}$

(3)

이러한 방정식은 척도 분석을 사용하여 단순화할 수 있다. 완전 개발 구역의$$ 어느 $지점{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$~ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x\sim L},$ $y$ ~${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle$ y$\sim \delta },$ $u{\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 이제$$식 (1)부터 완전 개발 구역의 가로 속도 구성요소는 스케일링을 사용하여 단순화된다.

${\displaystyle v\sim {\frac {U_{\\inflt }\delta }{L}}}$

(4)

완전하게 개발된 지역 $L{\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle L\gg \delta }$에서 횡속도의 스케일이 등식 (4)에서 무시할 수 있도록 한다$.$ 따라서 완전히 발달된 흐름에서 연속성 방정식은 다음과 같은 것을 요구한다.

${\displaystyle v=0,{\frac {\flac u}{\properties x}=0}$

(5)

방정식(5)에 기초하여 y 모멘텀 방정식(3)은 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}=0}$

(6)

이것은 P가 x의 함수일 뿐이라는 것을 의미한다. 이로부터 x운동량 방정식은

${\displaystyle {\frac {dP}{dx}}=\mu {\frac {d^{2}u}{dy^}}}{\text{constant}}}}}}$

(7)

왼쪽은 x의 함수, 오른쪽은 y의 함수이기 때문에 각 항은 일정해야 한다. 경계조건에 따른 해결방정식(7)

${\displaystyle u=0,y=\pm {\frac {D}{2}}:}$

(8)

이것은 평행 판들 사이의 흐름을 완전히 발전시키는 잘 알려진 Hagen-Poiseuille 용액을 만든다.

${\displaystyle u={\frac {3}{2}}U\좌측[1-{\좌측({\frac {y}{D/2}}\우측)}^{2}\오른쪽]}$

(9)

${\displaystyle U={\frac {D^{2}}:{12\mu}}}}\왼쪽(-{\frac {dP}{dx}\오른쪽)}$

(10)

여기서 y는 채널 중심에서 멀리 측정된다. 속도는 포물선이어야 하며 흐름 방향에서 단위 덕트 길이당 압력에 비례한다.

참고 항목

• 근사치
• 치수 분석

참조

• Barenblatt, G. I. (1996). Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43522-6.
• Tennekes, H.; Lumley, John L. (1972). A first course in turbulence. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. ISBN 0-262-20019-8.
• Bejan, A. (2004). Convection Heat Transfer. John Wiley & sons. ISBN 978-81-265-0934-8.
• Kays, W. M., Crawford M. E. (2012). Convective Heat and Mass Transfer. McGraw Hill Education(India). ISBN 978-1-25-902562-4.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)

외부 링크

Wikibook 부분 미분 방정식에는 다음과 같은 주제에 대한 페이지가 있다: 척도 분석

• 척도 분석 및 레이놀즈 수^{[데드링크]}