블라소프 방정식

블라소프 방정식은 장거리 상호작용(예: 쿨롱)을 갖는 전하 입자로 구성된 플라즈마 분포함수의 시간 진화를 설명하는 미분 방정식이다. 이 방정식은 1938년^[1][2] 아나톨리 블라소프가 플라즈마에 대한 설명을 위해 처음 제안했고, 이후 그가 모노그래프로 자세히 논의하였다.^[3]

표준 운동 접근법의 어려움

첫째, Vlasov는 볼츠만 방정식에 기초한 표준 운동학적 접근법은 장거리 쿨롱 상호작용을 가진 플라즈마의 설명에 적용할 때 어려움이 있다고 주장한다. 그는 페어 충돌에 기초한 운동 이론을 플라즈마 역학에 적용할 때 발생하는 다음과 같은 문제를 언급한다.

1. 쌍충돌 이론은 전자 플라즈마에서 자연 진동의 레일리, 어빙 랭무어, 르위 톤스의 발견과 일치하지 않는다.
2. 쌍충돌 이론은 운동 용어의 차이로 인해 쿨롱 상호작용에 공식적으로 적용되지 않는다.
3. 쌍충돌 이론은 해리슨 메릴과 해롤드 웹의 기체 플라즈마 내 변칙적인 전자 산란 실험에 대해 설명할 수 없다.^[4]

블라소프는 이러한 어려움들이 쿨롱 상호작용이라는 원거리적 성격에서 비롯된다고 시사한다. 그는 충돌 없는 볼츠만 방정식(때로는 이러한 맥락에서 시대착오적으로 블라소프 방정식이라고 불리기도 한다)을 일반화된 좌표에서 시작한다.

${\displaystyle {\frac {\d}f(\mathbf {r},\mathbf {p},t)}{\mathbf {p}{\mathbname {d} t}=0,}$

명시적으로 PDE:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\operatorname {d} \mathbf {r} }{\operatorname {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\operatorname {d} \mathbf {p} }{\operatorname {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=0,}$

그리고 플라즈마의 경우에 그것을 적응시켜, 아래에 제시된 방정식의 계통으로 이어졌다.^[5] 여기서 f는 좌표 r과 주어진 시간 t에 탄력 p를 갖는 입자의 일반적인 분포 함수다. $d{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{p\mathbf{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$ ${\$이라는 용어는 입자에 작용하는 F 힘이라는 점에$$ 유의하십시오.

방정식의 Vlasov-Maxwell 시스템(가우스 단위)

Vlasov는 플라즈마 내 전하 입자의 상호작용을 위한 충돌 기반 운동 설명 대신, 전하된 플라즈마 입자에 의해 생성된 자체 정합성 보장 집단 장을 이용한다. 이러한 설명은 전자 및 (${\displaystyle 양\mathbf{}}$) 플라즈마 이온에 $대해{\displaystyle {}_{}}$$$ ${\displaystyle {분포}_{}}$ 함수 f${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle r\mathbf{},}$ p${\displaystyle }$, $){\displaystyle$ $f_{e}(\mathbf$ {$r},\$$mathbf$$${$p$$},$$t)$ 및 $f$ i$(r, p,$ $)$를 사용한다. 종 α에 대한$$ 분포함수 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ r${\displaystyle }$,${\displaystyle p\mathbf{}}$ ,${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle f_{\alpha }(\mathbf {r},\mathbf {p}, t)$는 t시점 $\$$\$$mathbf${$r$$}$$$근처에$$ 근접한 $탄력$이 있는 종 α의 입자수를 설명한다. 볼츠만 방정식 대신 플라즈마(전자와 양의 이온)의 충전된 성분에 대한 설명을 위해 다음과 같은 방정식 시스템이 제안되었다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\partial f_{e}}{\partial지}}+\mathbf{v}_{e}\cdot \nabla f_{e}&, -e\left(\mathbf{E}+{\frac{\mathbf{v_{e}}}{c}}\times \mathbf{B}\right)\cdot{\frac{\partial f_{e}}{\partial \mathbf{p}}}=0\\{\frac{\partial f_{나는}}{\partial지}}+\mathbf{v}_{나는}\cdot \nabla f_{나는}&, +Z_{나는}e\left(\mathbf{E}+{\frac{.\mathbf {v_{나는}}}{c}}\times\mathbf{B}\right)\cdot{\frac{\partial f_{나는}}{\partial \mathbf{p}}}=0\\\nabla \times,{B}및 \mathbf ={\frac{4\pi \mathbf{j}}{c}}+{\frac{1}{c}}{\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial지}}\\\nabla \times, =-{\frac{1}{c}}{\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial지}}\\\nabla\cdot \mathbf{E}&{E}및 \mathbf =4\pi \rho.\\\nabla \c도트 \mathbf {B} &=0\\\end{aigned}}}$

${\displaystyle \rho =e\int (Z_{i}f_{i}-f_{e})d^{3}p,\quad \mathbf {j} =e\int (Z_{i}f_{i}\mathbf {v} _{i}-f_{e}\mathbf {v} _{e})d^{3}p,\quad \mathbf {v} _{\alpha }={\frac {\frac {\mathbf {p} }{m_{\alpha }}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{(m_{\alpha }c)^{2}}}\right)^{1/2}}}}$

이온 여기 e은 전기 소량(e>0{\displaystyle e>0}), 빛의 c속도, mi는 대량, E(r, t){\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)}와 B(r, t){\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r},t)}을 대표하는 집단적 일관성 있는 전자기장 만드는 점이다. r$$모든 플라즈마 입자에 의해 시간 순간 t에$\mathbf {r} } 표시$. 외부 전자기장 입자에 대한 방정식과 이 방정식의 본질적인 차이는 자기 일치 전자기장이 ${\displaystyle e_{}}$ (${\displaystyle {}_{}r\mathbf{}}$, ${\displaystyle p\mathbf{}}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ 및$$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$의 분포 기능에 복잡한 방식으로 의존한다는 것이다.${\displaystyle \mathbf{r}}$, ${\displaystyle p\mathbf{}}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f_{i}(\mathbf {r},\mathbf {p},t)}$.

블라소프-포아송 방정식

Vlasov-Poisson 방정식은 비 상대론적 제로 자기장 한계에서 Vlasov-Maxwell 방정식의 근사값이다.

${\displaystyle {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+\mathbf {v} _{\alpha }\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {q_{\alpha }\mathbf {E} }{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {v} }}=0,}$

포아송의 자기 일치 전기장 방정식은 다음과 같다.

$\displaystyle \nabla ^{2}\phi +\rho =0.}$

Here q_α is the particle's electric charge, m_α is the particle's mass, ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$ is the self-consistent electric field, ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)}$ the self-consistent electric potential and ρ is the electric charge density.

Vlasov-Poisson 방정식은 플라즈마에서 다양한 현상, 특히 Landau 댐핑과 이중 층 플라즈마에서의 분포를 설명하는데 사용되며, 이 두 가지 층은 Maxwellian이 아니므로 유체 모델에 접근할 수 없다.

모멘트 방정식

플라스마의 유체 설명(플라즈마 모델링 및 자기유체역학(MHD) 참조)에서는 속도 분포를 고려하지 않는다. $이$는 f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle r\mathbf{}}$, ${\displaystyle v\mathbf{}}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f(\mathbf {r},\mathbf {v},t)$를 숫자 밀도 n, 유속 u, 압력 p와 같은 플라즈마 모멘트로 교체함으로써 달성된다.^[6] $vn{\displaystyle {}^{}}$ f {\${\displaystyle {}^{}}$ $f}$의 n번째 모멘트는 vn f {\$displaystyle$ v$^{n}f}$ 과속도를$$ 통합하여 찾을 수 있기$$ 때문에 이 모멘트를 플라스마 모멘트라고 명명한다. 이러한 변수는 위치와 시간의 함수일 뿐이며, 이는 일부 정보가 손실된다는 것을 의미한다. 다유체 이론에서, 다른 입자 종들은 다른 압력, 밀도, 유속도를 가진 다른 유체로 취급된다. 플라즈마 모멘트를 지배하는 방정식을 모멘트 또는 유체 방정식이라고 한다.

가장 많이 사용된 두 모멘트 방정식은 아래에 제시되어 있다(SI 단위). Vlasov 방정식에서 모멘트 방정식을 도출하는 데는 분포 함수에 대한 가정이 필요하지 않다.

연속성 방정식

연속성 방정식은 밀도가 시간에 따라 어떻게 변하는지 설명한다. 전체 속도 공간에 걸친 블라소프 방정식의 통합으로 찾을 수 있다.

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}fd^{3}v=\int \left({\frac {\partial }{\partial t}}f+(\mathbf {v} \cdot \nabla _{r})f+(\mathbf {a} \cdot \nabla _{v})f\right)d^{3}v=0}$

어느 정도 계산해 본 결과, 결국 다음과 같은 결과를 낳게 된다.

${\displaystyle {\frac {\frac {\properties t}{\n+\cdla \cdot(n\mathbf {u} )=0.}$

숫자 밀도 n과 모멘텀 밀도 nu는 제로스(zerot)이며 첫 번째 주문 모멘트:

${\displaystyle n=\int fd^{3}v}$

${\displaystyle n\mathbf {u} =\int \mathbf {v}fd^{3}v}$

모멘텀 방정식

입자의 운동량 변화 속도는 로렌츠 방정식에 의해 주어진다.

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v}{}{\mathbf {d} t}}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}}$

이 방정식과 Vlasov 방정식을 사용함으로써 각 유체의 운동 방정식은

${\displaystyle mn{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathbf {u} =-\nabla \cdot {\mathcal {P}}+qn\mathbf {E} +qn\mathbf {u} \times \mathbf {B} }$,

여기서 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 압력 텐서입니다. 물질적 파생상품은

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D}{\mathrm {D} t}={\frac {\partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}$

압력 텐서는 입자 질량을 속도의 공분산 행렬에 곱한 값으로 정의된다.

${\displaystyle p_{ij}=m\int(v_{i}-u_{i})(v_{j}-u_{j}fd^{3}v.}$

동결인 근사치

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. (2008년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

이상적인 MHD의 경우, 플라즈마는 특정 조건이 충족될 때 자기장 라인에 묶인 것으로 간주할 수 있다. 흔히 자기장 라인이 혈장 속으로 얼어 들어간다고 한다. 동결된 조건은 Vlasov 방정식에서 도출할 수 있다.

우리는 T, L, V 눈금을 각각 시간, 거리, 속도에 대해 소개한다. 그것들은 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에서 큰 변화를 주는 다양한 매개변수의 크기를 나타낸다$.$ 대체로 우리는 다음을 의미한다.

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial t}T\sim f\quad \f}{\partial f}{\partial \mathbf {r}}}{\partial \partial \mathbf {v}}}}{\partial V\sim f}}f.}$

그리고 나서 우리는 글을 쓴다.

${\displaystyle t^{\premy }={\frac {t}{T}}\quad \mathbf {r}^{\primate }={\frac {\mathbf {r}}{{L}}\quad \mathbf {v}^{\primate }={\frac {\mathbf {v}{V}}}}}.}$

이제 Vlasov 방정식을 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{T}}{\frac {\partial f}{\partial t^{\prime }}}+{\frac {V}{L}}\mathbf {v} ^{\prime }\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} ^{\prime }}}+{\frac {q}{mV}}(\mathbf {E} +V\mathbf {v} ^{\prime }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} ^{\prime }}}=0.}$

지금까지 어떠한 근사치도 행해지지 않았다. 계속할 수 있도록 $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$ 여기서 $\Omega {\displaystyle {}_{}{g}_{}}$ = ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle B/m}$ ${\displaystyle \omega \omega$_{$g}=qB/$m}는$$ 자이로 주파수이고 R은 교라디우스다. Ω으로_g 나누면 우리는 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{g}T}}{\frac {\partial f}{\partial t^{\prime }}}+{\frac {R}{L}}\mathbf {v} ^{\prime }\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} ^{\prime }}}+\left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} ^{\prime }\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} ^{\prime }}}=0}$

If ${\displaystyle 1/\omega _{g}\ll T}$ and ${\displaystyle R\ll L}$, the two first terms will be much less than ${\displaystyle f}$ since ${\displaystyle \partial f/\partial t^{\prime }\sim f,v^{\prime }\lesssim 1}$ and ${\displaystyl$$e \partial f/\partial \mathbf {r} ^{\premium }\sim$ f$}$ 위의 T, L 및 V의 정의로 인해$$. 마지막 용어는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 순서이기 때문에 첫 번째 두 용어를 무시하고 쓸 수 있다$.$

${\displaystyle \left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} ^{\prime }\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} ^{\prime }}}\approx 0\Rightarrow (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\approx 0}$

이 방정식은 정렬된 장과 수직 부분으로 분해될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {E} _{\ }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\ }}}+(\mathbf {E} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$

다음 단계는 $v{\displaystyle \mathbf{}}$= v = ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\$를) 쓰는 것이다$.$

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\time \mathbf {B} =-\mathbf {E} _{\perp }}}}}}$

왜 이런 일이 일어나는지 곧 알 수 있을 것이다. 이 대체를 통해 우리는

${\displaystyle \mathbf {E} _{\ }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\ }}}+(\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$

평행 전기장이 작으면

${\delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp}}}\cdmathbp 약 0}$

이 방정식은 분포가 자이로방성임을 의미한다.^[7] 회전방성 분포의 평균 속도는 0이다. 따라서 $v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 평균 속도와 동일하며$$, u는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} \ 약 0}$

요약하자면, 자이로 기간과 자이로 반경은 분포 함수에 큰 변화를 주는 일반적인 시간 및 길이보다 훨씬 작아야 한다. 자이로 반경은 흔히 V를 열 속도나 알펜 속도로 대체하여 추정한다. 후자의 경우 R을 관성 길이라고 부르는 경우가 많다. 동결인 조건은 각 입자 종에 대해 별도로 평가해야 한다. 전자는 이온보다 자이로 주기가 훨씬 작고 자이로 반경이 훨씬 작기 때문에 냉동인 조건이 충족되는 경우가 더 많을 것이다.

참고 항목

• 플라스마 물리학 논문 목록
• 포커-플랑크 방정식

참조

추가 읽기

• Vlasov, A. A. (1961). "Many-Particle Theory and Its Application to Plasma". New York. Bibcode:1961temc.book.....V.