BBGKY 계층 구조

통계물리학에서 BBGKY 계층 구조(Bogolyubov-Born-Green-Kirkwood-)이본 계층 구조는 때로는 보고리우보프 계층 구조라고 불리기도 한다)는 다수의 상호작용하는 입자의 시스템의 역학을 기술하는 일련의 방정식이다. BBGKY 계층 구조에서 s-입자 분포함수(확률밀도함수)에 대한 방정식은 (s + 1)입자 분포함수를 포함하므로 방정식의 결합 체인을 형성한다. 이 형식적인 이론적 결과는 니콜라이 보골류보프, 맥스 본, 허버트 S의 이름을 따서 명명되었다. 그린, 존 갬블 커크우드, 자크 이본.

공식화

The evolution of an N-particle system in absence of quantum fluctuations is given by the Liouville equation for the probability density function ${\displaystyle f_{N}=f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)}$ in 6N-dimensional 위상 공간(입자당 공간 3개 및 모멘텀 좌표 3개)

${\displaystyle {\frac {\partial f_{N}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=0,}$

여기서 $q{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$$$_{i},\mathbf {p} _{i}}$는 질량 $m$이 있는 i ${\displaystyle$ $i$$}$ -th$$ 입자에 대한 좌표 및 운동량이며$,$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ -th$$ 입자에 작용하는 순 힘은

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=-\sum _{j=1\neq i}^{N}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-{\frac {\partial \Phi _{i}^{\text{ext}}}{\partial \mathbf {q} _{i}}},}$

where ${\displaystyle \Phi _{ij}(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})}$ is the pair potential for interaction between particles, and ${\displaystyle \Phi ^{\text{ext}}(\mathbf {q} _{i})}$ is the external-field potential. 변수의 일부에 대한 통합에 의해, Louville 방정식은 1-입자 확률밀도함수의 진화와 2-입자 확률밀도함수를, 2-입자 확률밀도함수를 3-입자 확률밀도함수와 연결하는 일련의 방정식으로 변환될 수 있다.e 확률밀도함수와 일반적으로 s-th 방정식은 s-th 확률밀도함수를 연결한다.

${\displaystyle f_{s}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{s},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{s},t)=\int f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)\,d\mathbf {q} _{s+1}\dots d\mathbf {q} _{N}\,d\mathbf {p} _{s+1}\dots d\mathbf {p} _{N}}$

(s + 1)-평균 확률 밀도 함수를 사용하는 경우:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{s}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{i=1}^{s}\left(\sum _{j=1\neq i}^{s}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=(N-s)\sum _{i=1}^{s}\int {\frac {\partial \Phi _{i\,s+1}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}{\frac {\partial f_{s+1}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\,d\mathbf {q} _{s+1}\,d\mathbf {p} _{s+1}.}$

The equation above for s-particle distribution function is obtained by integration of the Liouville equation over the variables ${\displaystyle \mathbf {q} _{s+1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{s+1}\dots \mathbf {p} _{N}}$. 위의 방정식의 문제는 그것이 닫히지 않았다는 것이다. $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$을$($를$)$ ${\displaystyle {해결}_{}}$하려면 f s ${\displaystyle {+}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ {\$displaystyle$ f_${s+$1}을$($를) 알아야 하며$,$ f $s{\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\$을 풀고 전체 Louville 방정식으로 돌아가야 한다. ${\displaystyle {\mathrm{그러나}}_{}}$ f ${\displaystyle s_{}}$ + 1${\$${s+$1$}$을 모델링할 수 있다면$$ f ${\displaystyle s_{}}$ ${\$ f_${s+$1}를 해결할 수 있다$.$ One such case is the Boltzmann equation for ${\displaystyle f_{1}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {p} _{1},t)}$, where ${\displaystyle f_{2}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},t)}$ is modeled based on the molecu라르 혼돈 가설(Stosszahlansatz) 실제로 볼츠만 방정식 f ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= f ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}p}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}p{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathbf{}}_{}}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle f_{2}=f_{2}(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p_{2}}, t)$는 충돌$$ 적분이다. 류빌 방정식에서 볼츠만 방정식을 얻는 이 제한 과정을 볼츠만-그라드 한계라고 한다.^[1]

물리적 해석 및 적용

개략적으로, Louville 방정식은 위상 ${\displaystyle {공간}_{}}$의 확률 밀도의 비압축적 흐름을 나타내는 D $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Df_{N}=0$ 형식의 전체 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ -particle$$ 시스템에 대한 시간 진화를 제공한다. 그런 다음 다른 입자의 자유도 ${\displaystyle {fs}_{}}$ ~${\displaystyle {}_{}\int }$ ${\displaystyle {}_s}$ + ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$}를 통합하여 감소된 분포 함수를 점진적으로 정의한다$.$ BBGKY 계층 구조에서 방정식은 ${\displaystyle {그러한}_{}}$ f ${\$에 대한 시간 진화는 결과적으로 Louville과 같은 방정식에 의해 주어지지만$$ ${\displaystyle N}$- s$${\$displaysty N-s}$ 억제된$$ 입자의 힘-인플레이션을 나타내는 보정 항과 함께 제공됨을 알려준다.

${\displaystyle Df_{s}\propto {\text{div}_{\mathbf {p}\langle {\text{grad}_{\mathbf {q}}\Phi _{i,s+1}\rangele _{f_{s+1}.}$

방정식의 BBGKY 계층 구조 해결 문제는 원래의 Louville 방정식을 푸는 것만큼 어렵지만, BBGKY 계층 구조(사슬을 유한한 방정식 시스템으로 잘릴 수 있도록 허용)에 대한 근사치를 쉽게 만들 수 있다. 이러한 방정식의 장점은 높은 $분포함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}_{}}$+ ${\displaystyle 2_{}}$, f ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$+ 3${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle f_{s+2},f_{s+3},\dots$$$$}}}$이(가)${\displaystyle {}_{}}$f + ${\displaystyle 1_{}}$.$$${\$$displaystyle f_{s+1$}을 통해서만$$ ${\displaystyle f_{}}$의 시간 진화에 암묵적으로 영향을$$ 미친다는 것이다$.$$$ BBGKY 체인의 잘림은 고전적^[2][3] 또는 양자적^[4] 운동 방정식의 도출에 사용될 수 있는 운동 이론의 많은 응용의 공통적인 출발점이다. 특히 첫 번째 방정식 또는 처음 두 방정식의 절단을 사용하여 고전 및 양자 볼츠만 방정식을 도출하고 볼츠만 방정식에 대한 첫 번째 순서 보정을 할 수 있다. 밀도 확률 함수가 입자 사이의 상대적 거리 또는 유체역동체 가정에만 의존한다는 가정과 같은 다른 근사치들은 또한 BBGKY 체인을 용액에 접근할 수 있게 할 수 있다.^[5]

참고 문헌 목록

s-입자 분포 함수는 1935년 J. Yvon에 의해 고전 통계역학에 도입되었다.^[6] s-입자 분포함수에 대한 방정식의 BBGKY 서열체계는 1945년 7월에 받은 글에서 보고리우보프가 운동 방정식의 도출에 적용되어 1946년에 러시아어와^[2] 영어로 출판되었다.^[3] 운동 수송 이론은 커크우드가 1945년 10월에 받아 1946년 3월에 발표한 글과^[7] 그 이후의 글에서 고찰한 것이다.^[8] Born and Green의 첫 번째 기사는 액체의 일반적인 운동 이론을 고려했고 1946년 2월에 접수되어 1946년 12월 31일에 출판되었다.^[9]

참고 항목

• 포커-플랑크 방정식
• 블라소프 방정식
• 클러스터 확장 접근법

참조