피타고라스 4배

네 개의 원시 피타고라스는 모두 네 배, 한 자릿수 값만 가지고 있다.

피타고라스 4배는 정수 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 의² 튜플로서, + $b 2$ + $c 2$ = $d$ 이다². 그것들은 디오판틴 방정식의 해법이며 종종 양의 정수 값만 고려된다.^[1] 그러나 보다 완전한 기하학적 해석을 제공하기 위해 $정수$ 값은 음수와 0(피타고라스 3배 포함)이 되도록 허용할 수 있으며, 유일한 조건은 d > $0$ 이다. 이 설정에서 피타고라스 4중 $(a,$ $b,$ $c,$ $d)$ 은 정수의 측면 길이 $a$ , $b$ , $c$ 를 $가진$ 입체파를 정의하는데, 이 해석으로 피타고라스 4중주를 피타고라스 상자라고도 한다.^[2] 이 글에서 우리는 달리 명시되지 않는 한 피타고라스의 4배 값이 모두 양의 정수라고 가정할 것이다.

원시 4배수의 파라메트리제이션

피타고라스의 4배는 그것의 출품작의 가장 큰 공통점이 1이라면 원시라고 불린다. 모든 피타고라스 4배는 원시 4배수의 정수배수다. 원시 피타고라스 세트는 공식을 통해 $a$ 가 홀수인 4배이다.

{\displaysty}a&=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},\b&=2(mq+np),\\c&=2(nq-mp),\\d&=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2}+q^{2},\end{aigned}}}}}}

$여기$ 서 $m$ $,$ $n$ , $p$ , $q$ 는 m + $n$ + $p$ + $q$ 가 홀수인 가장 큰 공통점 1을 가진 음이 아닌 정수다.^[3]^[4]^[1] 따라서 모든 원시 피타고라스 4배는 그 정체성에 의해 특징지어진다.

(m^{2}+n^{2}+p^{2}+p^{2}+p^{2}^{2}=(2mq+2np)^{2}+{2}+(m^{2}+n-mp)^{2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}}}^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

대체 파라메트리징

모든 피타고라스의 4배(비원수, 그리고 $a$ , b, $c$ 가 가능한 모든 순서에 나타나지는 않지만 반복과 함께)는 다음과 같이 두 개의 양의 정수 $a$ 와 $b$ 에서 생성될 수 있다.

$a$ 와 $b$ 의 패리티가 다른 경우, $p 2 < a 2$ + $b$ 와² 같은 $a 2$ + $b$ 의² 어떤 요인이 되도록 한다. 그리고 c).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-p.Arser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}a2+b2− p2/2p와 d)a2+b2+p2/2p. $p$ = d - $c$ 에 유의하십시오.

$유사$ 한 방법은 모든 피타고라스의 4배인 a와 $b$ 가 짝수인 4배 생성에 존재한다^[5]. $l$ = $a /$ $2$ 와 m = $b / 2$ 로 하고 $n$ 을² n < $l 2$ + $m$ 과² 같은 $l 2$ + $m$ 의² 인수로 한다. $그$ 다음 c = $l 2$ + $m 2$ - $n 2 / n$ 및 $d$ = l + $m 2$ + $n 2 2 / n$ . 이 방법은 $모든$ $피타고라스$ 의 4배는 l와 m이 모든 자연수 쌍을 통과하고 $n$ 은 각 쌍에 대해 모든 허용 값을 통과할 때 정확하게 생성된다.

$a$ 와 $b$ 가 모두 홀수인 경우에는 그러한 방법이 존재하지 않으며, 이 경우 이전 절의 파라메트리제이션에서 볼 수 있는 해결책이 존재하지 않는다.

특성.

항상 $abcd$ 를 나누는 가장 큰 숫자는 12이다.^[6] 최소 제품으로 4배는 (1, 2, 3)이다.

쿼터니온과 합리적인 직교 행렬과의 관계

A primitive Pythagorean quadruple $(a, b, c, d)$ parametrized by $(m, n, p, q)$ corresponds to the first column of the matrix representation $E (α)$ of conjugation $α (\cdot) α$ by the Hurwitz quaternion $α = m + ni + pj + qk$ restricted to the subspace of quaternions spanned by $i$ , $j$ , $k$ , which is given by

E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmatrix}},

여기서 열은 쌍으로 직교하며 각각 정규

분포를 가진다. 또한

1

/

dE (α)

가 직교 그룹

SO(3,\mathbb {Q} )

O

SO(3,\mathbb {Q} )

Q

SO(3,\mathbb {Q} )

)

SO(3,\mathb {Q}

에 속하며

SO(3,\mathbb {Q} )

실제로 합리적인 계수를 가진 모든 3 x 3 직교 행렬이 이러한 방식으로 발생한다.^[7]

원시피타고라스는 4배정도의 작은 규범이다.

모든 출품작이 30개 미만인 원시 피타고라스 4배는 31개다.

(	1	,	2	,	2	,	3	)	(	2	,	10	,	11	,	15	)	(	4	,	13	,	16	,	21	)	(	2	,	10	,	25	,	27	)
(	2	,	3	,	6	,	7	)	(	1	,	12	,	12	,	17	)	(	8	,	11	,	16	,	21	)	(	2	,	14	,	23	,	27	)
(	1	,	4	,	8	,	9	)	(	8	,	9	,	12	,	17	)	(	3	,	6	,	22	,	23	)	(	7	,	14	,	22	,	27	)
(	4	,	4	,	7	,	9	)	(	1	,	6	,	18	,	19	)	(	3	,	14	,	18	,	23	)	(	10	,	10	,	23	,	27	)
(	2	,	6	,	9	,	11	)	(	6	,	6	,	17	,	19	)	(	6	,	13	,	18	,	23	)	(	3	,	16	,	24	,	29	)
(	6	,	6	,	7	,	11	)	(	6	,	10	,	15	,	19	)	(	9	,	12	,	20	,	25	)	(	11	,	12	,	24	,	29	)
(	3	,	4	,	12	,	13	)	(	4	,	5	,	20	,	21	)	(	12	,	15	,	16	,	25	)	(	12	,	16	,	21	,	29	)
(	2	,	5	,	14	,	15	)	(	4	,	8	,	19	,	21	)	(	2	,	7	,	26	,	27	)

참고 항목

비알 추측
오일러 벽돌
오일러의 힘의 합계 추측
오일러-로드리게스 3D 회전 공식
페르마 입방체
자코비-매든 방정식
라그랑주의 4제곱 정리(모든 자연수는 4 정수 제곱의 합으로 나타낼 수 있음)
레전드레의 3제곱 정리(자연수를 정수 3제곱의 합으로 나타낼 수 없는 것)
프루엣-타리-에스코트 문제
쿼터니온과 공간 회전
택시캅 수

참조

^ ^a ^b R. Spira, 디오판틴 $방정식 2$ x + $y 2$ + $z 2$ = $m 2$ , Amer. 수학. 월간 69권(1962년), 5번, 360–365번.
^ R. A. Beauregard와 E. R. 수리아나라얀, 피타고라스 상자, 수학 매거진 74(2001), 222–227.
^ R.D. Carmichael, Diopantine Analysis, New York: John Wiley & Sons, 1915.
^ L.E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41–56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579–594.
^ 시에르피에스키, 와크와프, 피타고라스 삼각지대, 도버, 2003년(원점 1962년), 페이지 102–103.
^ 맥헤일, 데스, 반 덴 보쉬, 크리스천, "피타고라스 삼쌍둥이에 대한 결과 일반화", 수학적 가제트 96, 2012년 3월, 페이지 91-96.
^ J. 크레모나, 아메르 편집장에게 보내는 편지. 수학. 월 94 (1987), 757–758.

외부 링크

카마이클 구텐베르크 프로젝트의 디오판틴 분석

[Spira-1] R. Spira, 디오판틴 $방정식 2$ x + $y 2$ + $z 2$ = $m 2$ , Amer. 수학. 월간 69권(1962년), 5번, 360–365번.

[2] R. A. Beauregard와 E. R. 수리아나라얀, 피타고라스 상자, 수학 매거진 74(2001), 222–227.

[3] R.D. Carmichael, Diopantine Analysis, New York: John Wiley & Sons, 1915.

[4] L.E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41–56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579–594.

[5] 시에르피에스키, 와크와프, 피타고라스 삼각지대, 도버, 2003년(원점 1962년), 페이지 102–103.

[6] 맥헤일, 데스, 반 덴 보쉬, 크리스천, "피타고라스 삼쌍둥이에 대한 결과 일반화", 수학적 가제트 96, 2012년 3월, 페이지 91-96.

[7] J. 크레모나, 아메르 편집장에게 보내는 편지. 수학. 월 94 (1987), 757–758.

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