스트림 함수

스트림 기능은 축대칭의 3차원뿐만 아니라 2차원의 압축불가(디버전스가 없는) 흐름에 대해 정의된다. 유속 구성요소는 스칼라 스트림 기능의 파생물로 표현할 수 있다. 스트림 함수는 일정한 흐름에서 입자의 궤적을 나타내는 흐름도를 그리는 데 사용될 수 있다. 2차원 라그랑주 스트림 기능은 1781년 조셉 루이스 라그랑주에 의해 도입되었다.^[1] 스톡스 스트림 함수는 축대칭 3차원 흐름을 위한 것으로 조지 가브리엘 스톡스의 이름을 따서 명명되었다.^[2]

유체역학의 특정한 경우를 고려할 때, 두 지점의 스트림 함수 값 사이의 차이는 두 지점을 연결하는 선을 통해 부피측 유량(또는 부피측 유량)을 제공한다.

흐름은 흐름의 흐름 속도 벡터에 접하기 때문에, 흐름 기능의 값은 능률화를 따라 일정해야 한다. 하천기능의 유용성은 주어진 지점에서 x 방향과 y방향의 유속요소가 그 지점의 하천기능의 부분파생상품에 의해 주어진다는 사실에 있다.

2차원 전위 흐름의 경우, 흐름은 등전위 선에 수직이다. 속도 전위와 함께 복합 전위를 도출하기 위해 스트림 기능을 사용할 수 있다. 즉, 스트림 함수는 2차원 헬름홀츠 분해의 솔레노이드 부분을 설명하며, 속도 전위는 비회전 부분을 설명한다는 것이다.

2차원 스트림 기능

정의들

Lamb and ${\displaystyle \mathrm{Batchelor}}$는 압축할 수 없는 흐름 속도 필드$($(${\displaystyle }$t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, v${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle$ $\psi (x,y,t)}$에 대한 스트림 함수 function ($x,y,t$)를 다음과 같이$$ 정의한다.^[3] 점 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ 및 점$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$\},$

${\displaystyle \psi =\int _{A}^{P}\왼쪽(u\,{\text{d}y-v\,{\text{d}x\right)}$

유속 벡터$({\displaystyle u}$, v${\displaystyle }$) ${\displaystyle (u,$$v)}$과 일반${\displaystyle (+d}$ y${\displaystyle }$,${\displaystyle }$- d ${\displaystyle x}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle$$(+\backslash {\displaystyle }$$text{$${\displaystyle d\}}$$y,-\$$text{d}x)$의 도트 곱의 $일체형이다.$$}$ 즉$$, 스트림 함수 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle AP}$ 곡선을 통과하는 볼륨 플럭스 입니다$.$ A $지점{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은 스트림 기능이 동일한 0인 위치를 정의하는 참조 지점일$$ 뿐이다. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 변경하면 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 스트림 함수 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$에 상수가 추가된다$.$

위치 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 최소 이동 ${\displaystyle \Delta }$ P${\displaystyle }$= ${\displaystyle (\Delta }$ x ,${\displaystyle \Delta }$ y${\displaystyle }$)$${\$displaystyle \delta$P=(\$delta$ x$,\delta$ y$)$는 스트림 함수를 변경한다$$.

${\displaystyle \Delta \Delta }$ = ${\displaystyle \Delta }$ y${\displaystyle }$- v ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta =u\,\delta y-v\,\delta$ x$}$.

정확한 디퍼렌셜로부터

${\displaystyle \cHB ={\fract \\\fract }{\\frac },\frac }\property y},\preased y,}$

스트림 함수 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi}$과(와) 관련된 유속 구성 요소는 다음과 같아야 한다$$.

${\displaystyle u={\frac {\fract \\property y},\qquad v=-{\frac \precovery \property }{\fract x},}$

이 경우 흐름의 비압축성(즉, 흐름의 비압축성)으로 인한 영분산 조건을 실제로 만족시킨다.

${\displaystyle {\frac {\preason u}{\preason x}+{\fract v}{\preason y}=0.}$

벡터 전위를 이용한 정의

스트림 기능의 부호는 사용되는 정의에 따라 달라진다.

한 가지 방법은 2차원 흐름에 대한$$ 스트림 함수 ${\displaystyle \psi$}을 정의하여 흐름 속도를 벡터 전위${\displaystyle }\psi {\displaystyle \mathit{}}$ : ${\displaystyle {\boldsymbol {\\psi }:}$을(를) 나타낼 수 있도록 하는 것이다.

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathla \mathmbf {\message}}$

여기서 $\psi {\displaystyle \mathit{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \psi }$) ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }=(0,$${\displaystyle 0,\backslash }$$psi )}($${\displaystyle \mathrm{유<img\; alt="\{\backslash boldsymbol\; \{\backslash psi\; \}\}=(0,0,\backslash psi\; )"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0c8d254b7a1315fe96c6cd96d7320008a006753b"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:12.575ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="134">},}$ ${\displaystyle \mathrm{v}}$ , $0{\displaystyle \mathbf{}}$ )${\displaystyle \mathbf {u}$ = $(u,v,0$

데카르트 좌표계에서는 다음과 같다.

${\displaystyle u={\frac {\fract \\property y},\qquad v=-{\frac \precovery \property }{\fract x},}$

여기서 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ 및$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은(는) 각각 $데카르트{\displaystyle }$x {\$displaystyle$ $x}$$및{\displaystyle }$ y {\$displaysty$ y$}$ 좌표$$ 방향의 흐름 속도 성분이다$$.

대체 정의(반대 기호)

또 다른 정의(위보다 기상학 및 해양학에서 더 광범위하게 사용)는 다음과 같다.

${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle z\mathbf{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ ′ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ≡${\displaystyle \equiv }$ ( -${\displaystyle y_{}^{}}$y${\displaystyle {}_{}^{}}$ , ${\displaystyle x_{}^{}}$x${\displaystyle 0}$, 0 )$${\$displaystyle \mathbf${u} =\$mathbf {$z} $\la \equla$ \equiv \equiv \equiv \$reftleftpref\{y},\x,\$x,\$x,\x$,$0$\ipped \x,0$\right$

여기서 $z{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \mathbf {z}$ = $(0,0,1$)는${\displaystyle }$+ z ${\displaystyle +z}$ 방향에$$ 있는 단위 벡터로서$$ 첨자는 부분파생물을 나타낸다.

이 정의는 위에 주어진 부호${\displaystyle {(}^{}}$ sign has${\displaystyle }$= -${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi '=-\psi })$와 반대되는 부호를 가지고 있으므로 다음과 같이 한다.

${\displaystyle u=-{\frac {\frac \\property y},\qquad v={\frac \property \property x}}}}$

데카르트 좌표로.

스트림 함수의 모든 제형은 2차원 연속성 방정식을 정확히 만족시키기 위해 속도를 제한한다.

${\displaystyle {\frac {\preason u}{\preason x}+{\fract v}{\preason y}=0}$

스트림 함수의 마지막 두 가지 정의는 벡터 미적분학 정체성을 통해 관련된다.

$\displaystyle \bla \left(\mathbf {z} \right)=\bmatbf {z} +\bla \mathbf {z} =\bla \mathbf \z} \mathbf \vla \vla \va \ba '\la \lausea.}$

이 2차원 흐름에서$$ $\psi {\displaystyle \mathit{}}$= ${\displaystyle \psi \mathbf{}}$ z ${\$에 유의하십시오.

2차원 스트림함수의 유도

2차원 평면 흐름에서 두 점 A와 B를 고려한다. 이 두 지점 사이의 거리가 매우 작은 경우: Δn, 그리고 흐름의 흐름이 선 AB에 수직인 q, 단위 두께당 부피 유량 속도 Δψ를 평균 속도로 이 지점들 사이를 통과하는 경우:

$\displaystyle \cHB \cHB =q\put n\,}$

Δn → 0 이 표현을 재정렬하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle q={\frac {\frac \property \}{\property n}\,}$

이제 좌표계를 기준으로 2차원 평면 흐름을 고려하십시오. 관찰자가 임의의 축을 따라 증가 방향으로 보고 왼쪽에서 오른쪽으로 축을 가로지르는 흐름을 본다고 가정합시다. 유속이 양수인 표지 규약을 채택한다.

데카르트 좌표에서의 흐름

x-y-y 카르테시안 좌표계의 원소 사각형으로의 흐름을 관찰함으로써 다음과 같은 것을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\regated}\reason &=u\reason y\,\\reason &=-v\reason x\,\end{regated}}}}$

여기서 u는 x축에 평행하고 x축 방향에 평행한 흐름 속도, v는 y축과 평행한 흐름 속도다. 따라서 Δn → 0으로, 재배치를 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\fraced}u&={\frace \\frac \}{\frac \}{\flict y}\\v&=-{\fract \fract \}{\flict x}\,\ended{fline}}}}}}}}}}}}}}}$

연속성: 파생

데카르트 좌표계 내의 2차원 평면 흐름을 고려한다. 연속성은 우리가 원소 사각형으로의 압축 불가능한 흐름을 고려한다면, 그 작은 원소로의 흐름은 그 원소로부터의 흐름과 같아야 한다고 말한다.

원소로 유입되는 총 흐름은 다음과 같다.

${\displaystyle \cHB_{\text{in}=u\pair y+v\pair x.\,}$

원소의 총 흐름은 다음과 같다.

${\displaystyle \cHB \cHB{\text{out}}=\왼쪽(u+{\frac}{\frac}\{\frac}{\frac}{\frac y}\오른쪽)\fltx\,}$

따라서 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \psi _{\text{in}}&=\delta \psi _{\text{out}}\,\\u\delta y+v\delta x&=\left(u+{\frac {\partial u}{\partial x}}\delta x\right)\delta y+\left(v+{\frac {\partial v}{\partial y}}\delta y\right)\delta x\,\end{aligned}}}$

다음과 같은 이점을 제공하는 단순화:

${\displaystyle {\frac {\preason u}{\preason x}+{\fract v}{\preason y}=0.}$

스트림 함수의 표현을 이 방정식으로 대체하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\fract ^{2}\property y}-{\fract ^{2}\properties }{\property y\}=0.}$

보르티시티

스트림 함수는 다음과 같은 포아송 방정식을 사용하여 vorticity에서 찾을 수 있다.

$\displaystyle \bla ^{2}\reason =-\omega }$

또는

$\displaystyle \bla ^{2}\reason '=+\omega }$

where the vorticity vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} }$ – defined as the curl of the flow velocity vector ${\displaystyle \mathbf {u} }$ – for this two-dimensional flow has ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(0,0,\omega ),}$ i.e. only the ${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$ -구성요소$$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은(는) 0이 아닐 수 있다$$.

스트림 기능의 상수 값이 능률화에 해당한다는 증거

데카르트 좌표계 내의 2차원 평면 흐름을 고려한다. $P{\displaystyle }$ =${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ P$=($${\displaystyle x}$$,$${\displaystyle y}$$)}$과 Q${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$+ d ${\displaystyle x,}$ y${\displaystyle }$+ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle Q=(x+dx,y+dy)}}$을(를) 완전히 닫는 두 점을 고려해 보십시오$.$ 미적분학에서 우리는 이 점을 확인할 수 있다.

${\displaystyle {\dx,y+dy}&\nd}-\cHB(x+dx,y+dy)-\\={}}{{}\cdmbol \cdot d{\cdydy\=}\cdmbol{r\end}}}}\cdata.$

Say ${\displaystyle \psi }$ takes the same value, say ${\displaystyle C}$, at the two points ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle Q}$, then ${\displaystyle d{\boldsymbol {r}}}$ is tangent to the curve ${\displaystyle \psi =C}$ at ${\displaystyle P}$ and

${\displaystyle 0=\cd(x+dx,y+dy)-\cd(x,y)=\cdla \cdot d{\cdmbol{r}}}$

implying that the vector ${\displaystyle \nabla \psi }$ is normal to the curve ${\displaystyle \psi =C}$. If we can show that everywhere ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla \psi =0}$, using the formula for ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ in terms of ${\displaystyle \psi }$, t우리는 결과를 증명할 것이다. 이것은 쉽게 따라온다.

${\displaystyle {\cdmbol {u}\cdot \cdla \cdla \cdla \cdla \over \cdla \over \cdla \over y}{\cdown \compute \cdown \cdown y}=0.}$

스트림 기능의 속성

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. (2017년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

1. 스트림 기능 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$은(는) 모든 능률화를 따라 일정하게 유지된다$$.
2. 연속 흐름(소스나 싱크 없음)의 경우, 닫힌 경로에 걸친 볼륨 유량은 0과 같다.
3. 두 가지 압축 불가능한 흐름 패턴의 경우, 두 흐름 패턴이 중첩될 경우 스트림 함수의 대수적 합은 다른 스트림 함수와 동일하다.
4. 거리에 따른 스트림 기능의 변화율은 변화 방향에 수직인 속도 구성요소에 정비례한다.
5. 그 시냇물은 퍼머컬쳐와 같은 기능을 한다.

참조

인용구

원천

외부 링크

• Joukowsky Transform Interactive WebApp