접선

곡선에 접하다.빨간색 선은 빨간색 점으로 표시된 점에서 원곡선에 접선합니다.

구에 대한 접선 평면

기하학에서 평면 원곡선에 대한 접선(또는 단순히 접선)은 해당 점에서 원곡선에 "접선"하는 직선입니다.라이프니츠는 그것을 ^[1]곡선상의 무한히 가까운 한 쌍의 점들을 통과하는 선으로 정의했다.좀 더 정확히 말하면, 직선은 곡선상의 점(c, f(c))을 통과하고 기울기 f'(c)를 갖는 경우 x = c에서의 곡선 y = f(x)의 접선이라고 한다. 여기서 f'는 f의 도함수이다.유사한 정의는 n차원 유클리드 공간의 공간 곡선과 곡선에 적용된다.

접선과 원곡선이 만나는 지점(접선점)을 통과할 때 접선은 원곡선과 "같은 방향으로 가고" 있으므로 해당 지점에서 원곡선에 대한 최선의 직선 근사치가 됩니다.

미분 가능한 곡선의 한 점에 대한 접선은 주어진 지점에서 ^[2]원래 함수에 가장 가까운 아핀 함수의 그래프인 접선 근사로도 생각할 수 있습니다.

마찬가지로, 지정된 지점에서 지표면에 대한 접선 평면은 해당 지점에서 지표면에 "접촉"하는 평면입니다.접선의 개념은 미분 기하학에서 가장 기본적인 개념 중 하나이며 광범위하게 일반화되었다.접선 공간을 참조하십시오.

tangent라는 단어는 touch라는 라틴어 tangere에서 유래했다.

역사

유클리드는 원소 제3권(기원전 ^[3]300년경)에서 원에 대한 접선(ἐαπμμέaptaptapt ephaptomén)을 몇 가지 언급하고 있다.아폴로니우스의 작품 원뿔(기원전 225년경)에서 그는 접선을 선으로 정의하여 접선과 ^[4]곡선 사이에 다른 직선이 들어가지 않도록 했다.

아르키메데스 (기원전 287년경–212년경)는 ^[4]곡선을 따라 이동하는 점의 경로를 고려함으로써 아르키메데스 나선형의 접선을 발견했다.

1630년대에 페르마는 탄젠트와 분석의 다른 문제들을 계산하기 위한 적정 기술을 개발했고 포물선과의 탄젠트를 계산하기 위해 이것을 사용했다.적정성 기술은 f $f(x+h)$ + $)$ 와 f $)$ 의 차이를 h $(\displaystyle$ $f$ $(x+$ $h$ $h$ 의 $f(x+h)$ $f(x)$ 거듭제곱으로 나누는 것과 유사하다. 독립적으로 데카르트는 원의 반지름이 항상 원에 정규적이라는 관찰에 기초하여 정규법을 사용했다.자기 자신.^[5]

이 방법들은 17세기에 미적분의 발전을 이끌었다.많은 분들이 기여하셨습니다.로버발은 몇 가지 단순한 ^[6]움직임의 결과인 이동점에 의해 묘사된 곡선을 고려함으로써 접선을 그리는 일반적인 방법을 발견했다.르네 프랑수아 드 슬루즈와 요하네스 후드는 ^[7]접선을 찾기 위한 대수 알고리즘을 발견했다.존 월리스와 아이작 바로우의 발전으로 아이작 뉴턴과 고트프리드 라이프니츠의 이론으로 이어졌다.

1828년 접선의 정의는 "곡선에 닿지만 생성되었을 때 절단되지 않는 직선"^[8]이었다.이 오래된 정의는 변곡점이 접선을 갖는 것을 방지합니다.그것은 무시되었고 현대의 정의는 접선을 곡선상의 무한히 가까운 한 쌍의 점을 통과하는 선으로 정의한 라이프니츠의 정의와 동등합니다.

평면 원곡선에 대한 접선

원에 대한 탄젠트, 코드 및 소트

접선이 곡선에 "터치"한다는 직관적인 개념은 함수 곡선에 있는 두 점, A와 B를 통과하는 직선(고정선)의 순서를 고려함으로써 보다 명확하게 만들 수 있습니다.A에서의 접선은 점 B가 A에 근사하거나 A에 가까워질 때의 한계입니다.접선의 존재와 고유성은 "미분성"으로 알려진 수학적 평활도의 특정 유형에 따라 달라집니다.예를 들어, 두 개의 원형 호가 날카로운 점(정점)에서 만나는 경우, 분할선의 진행 한계는 "점 B"가 정점에 접근하는 방향에 따라 달라지기 때문에 정점에 고유하게 정의된 접선은 없습니다.

대부분의 점에서는 접선이 교차하지 않고 원곡선에 닿습니다(단, 계속되면 접선점에서 멀리 떨어진 다른 위치에서 원곡선을 교차할 수도 있습니다).접선(이 지점에서)이 곡선과 교차하는 점을 변곡점이라고 합니다.원, 포물선, 쌍곡선 및 타원에는 변곡점이 없지만, 더 복잡한 곡선은 변곡점이 정확히 한 개 있는 입방함수 그래프나 사인 주기마다 두 개의 변곡점이 있는 사인파처럼 있습니다.

반대로 곡선이 그 점을 통과하는 직선의 한쪽에 완전히 놓여 있지만 이 직선은 접선이 아닙니다.예를 들어, 위에서 설명한 이유로 접선이 존재하지 않는 삼각형의 정점을 통과하는 선과 교차하지 않는 선이 이에 해당합니다.볼록 기하학에서는 이러한 선을 지지선이라고 합니다.

각 점에서 이동 선은 항상 곡선에 접합니다.기울기는 도함수입니다. 녹색은 양의 도함수, 빨간색은 음의 도함수, 검은색은 0 도함수입니다.접선이 곡선과 교차하는 점(x,y) = (0,1)은 최대값 또는 최소값이 아니라 변곡점입니다.

분석적 접근법

접선의 기하학적 아이디어(secant line 한계)는 접선을 명시적으로 찾는 데 사용되는 분석 방법의 동기가 됩니다.그래프에 대한 접선을 찾는 문제, 즉 접선 문제는 17세기에 미적분의 발전을 이끈 핵심 질문 중 하나였다.르네 데카르트는^[9] 기하학의 두 번째 책에서 곡선에 대한 접선을 구성하는 문제에 대해 "그리고 감히 이것은 내가 아는 기하학에서 가장 유용하고 일반적인 문제일 뿐만 아니라 내가 알고 싶어했던 문제이기도 하다"^[10]고 말했다.

직관적인 설명

곡선이 함수의 그래프(y = f(x))로 제공된다고 가정합니다.p = 지점(a, f(a))에서 접선을 찾으려면 곡선의 또 다른 인근 지점 q =(a + h, f(a + h))를 고려하십시오.p와 q를 통과하는 secant line의 기울기는 차이 비율과 같습니다.

(\displaystyle\frac {f(a+h)-f(a)}{h}).}

점 q가 p에 가까워지면, h를 점점 작게 만드는 것에 해당하는 차이 상수는 p에서 접선의 기울기인 특정 한계값 k에 접근해야 합니다.k가 알려진 경우 접선의 방정식은 점-경사 형태로 찾을 수 있습니다.

\displaystyle y-f(a)=k(x-a)입니다.\,}

보다 엄밀한 설명

앞의 추론을 엄격히 하기 위해서는, 어떤 한계값 k에 접근하는 차이 지수의 의미를 설명해야 한다.정밀한 수학 공식은 19세기에 코치에 의해 제공되었고 한계라는 개념에 기초하고 있다.그래프에 p에 끊기거나 날카로운 가장자리가 없고 p에 너무 가깝거나 수직이 아니라고 가정합니다.그리고 h가 0에 가까워질수록 차이상수가 k에 가까워지고 h가 충분히 작을 경우 h의 크기에 비해 거리가 무시해도 될 정도로 k의 고유값이 있다.그러면 그래프에 대한 접선의 기울기가 함수 f에 대한 차이 몫의 한계로 정의됩니다.이 한계는 x = a에서 f δ(a)로 표시된 함수 f의 도함수이다.도함수를 사용하여 접선의 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\displaystyle y=f(a)+f'(a)(x-a)입니다.\,}

미적분은 멱함수, 삼각함수, 지수함수, 로그, 그리고 그들의 다양한 조합과 같은 공식에 의해 주어진 함수의 도함수를 계산하는 규칙을 제공한다.따라서, 이 모든 함수와 다른 많은 함수의 그래프에 대한 접선의 방정식은 미적분학의 방법으로 찾을 수 있다.

메서드가 실패할 수 있는 방법

미적분은 또한 그래프에 접선의 기울기를 결정하는 한계가 존재하지 않는 함수와 점이 있음을 나타냅니다.이 점들의 경우 함수 f는 미분할 수 없다.한계와 도함수에 따라 접선을 찾는 방법에는 두 가지 이유가 있습니다. 기하학적 접선은 존재하지만 기울기가 없기 때문에 점-경사 형태로 지정할 수 없는 수직선이거나 그래프가 기하학적 접선을 방지하는 세 가지 동작 중 하나를 나타냅니다.

그래프 y = x는^1/3 첫 번째 가능성을 보여줍니다. 여기서 a = 0에서의 차이 상수는 h/h = h와^1/3^−2/3 같으며, h는 0에 가까워질수록 매우 커집니다.이 원곡선의 원점에 수직인 접선이 있습니다.

그래프 y = x는^2/3 다른 가능성을 보여 줍니다. 이 그래프에는 원점에 첨부가 있습니다.즉, h가 0에 가까워지면 a = 0의 차이 상수는 x의 부호에 따라 플러스 또는 마이너스 무한대에 가깝습니다.따라서 곡선의 두 가지 모두 y=0인 반수직선에 가깝지만 이 선의 음수 부분에는 가까운 것은 없습니다.기본적으로 이 경우 원점에 접선은 없지만, 어떤 상황에서는 이 선을 접선으로 간주할 수도 있고 대수기하학에서는 심지어 이중 접선으로 간주할 수도 있습니다.

절대값 함수의 y = x 그래프는 원점에서 서로 다른 기울기가 결합된 두 직선으로 구성됩니다.점 q가 오른쪽에서 원점에 가까워지면 secant line은 항상 기울기 1을 가집니다.점 q가 왼쪽에서 원점에 가까워질 때 secant line은 항상 기울기 -1을 가집니다.따라서 원점에서 그래프에 대한 고유한 접선은 없습니다.두 개의 다른(그러나 유한한) 기울기를 갖는 것을 코너라고 합니다.

마지막으로, 미분성은 연속성을 의미하기 때문에, 대조적인 상태는 비분화성을 의미한다.이러한 점프나 점 불연속에는 접선이 없다.여기에는 한 경사가 양의 무한대에 근접하는 반면 다른 경사는 음의 무한대에 근접하여 무한 점프 불연속성을 초래하는 경우가 포함됩니다.

방정식

곡선이 y = f(x)로 주어질 때 접선의 ${\frac {dy}{dx}},$ 는 ${\frac {dy}{dx}},$ y ${\frac {dy}{dx}},$ d x ${\frac {dy}{dx}},$ , { $displaystyle {frac {dy$ }{display $}}$ 이므로 $\frac{dy}{dx},$ 점-공식(X $,$ Y)에서 접선의 방정식은 다음과 같습니다.

y-Y=syslogfrac {dy}{dx}}(X)\cdot(x-X)

여기서 (x, y)는 접선상의 임의의 점의 좌표이며 x $x=X$ $({displaystyle x=$ X $x=X$ ^[11]에서 도함수가 평가되는 위치입니다.

곡선이 y = f(x $g(x)$ 일 때, 접선의 방정식은 다항식 나눗셈을 사용하여 f $)$ { $style$ $(x-X)^{2}$ f $,(x)}$ 을 $f \, (x)$ $($ 를 $(x-X)^{2}$ $(x-X)^{2}$ - X) {{displaystyle ( $x-X$ 로 $f\,(x)$ 찾을^[12] 수 있습니다. 나머지가 $g(x)$ x $)$ { $displaystyle g($ x)로 $g(x)$ 되면 접선의 방정식은 다음과 같습니다.

\displaystyle y=g(x)입니다.}

곡선의 방정식이 f(x, y) = 0의 형태로 주어질 때, 기울기의 값은 암묵적 미분, 즉 다음과 같이 구할 수 있다.

{\displaystyle\frac{dy}=-{frac\frac\frac\frac\f}{frac\f}{frac\frac\f}{frac\f}}}

f(X,Y) = 0인 점(X,Y)에서의 접선의 방정식은 다음과 같습니다^[11].

{\frac f}{\cdot x}(X,Y)+{\frac {\frac f}{\cdot(y-Y)=0.

이 방정식은 ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0$ f ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0$ ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0$ ( ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0$ , Y ) ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0$ \ $displaystyle$ { \ $frac f$ $}$ $（ X$ , ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0$ ） $=$ 0 ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0$ f ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0$ ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0$ , Y ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0$ 0 ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0$ \ $displaystyle$ { \ $frac f$ } { \ $frac$ f } $($ X , $Y$ ) \ $neq$ ) ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0$ 0 ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0$ 0 0 0 、 0 、、、 0 of 0 of 0 of 0 0 、、、、、（ 이 슬로프의 접선(X , Y ) ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0$ ） 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0만약 ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$ ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$ y ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$ ( $X$ , ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$ ) ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$ ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$ ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$ ( ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$ , Y ) $0$ , { $displaystyle$ \ $frac$ { \ $frac$ f $}$ ( X , Y ) = $ac frac$ { \ $frac$ f $}$ { \ $frac$ f } { \ $frac$ f } { \ framilic x （ X , Y ） } } the ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$ line is is line is is is line line the is is is is is is $the$ ( is is is is is is is is is the the the is ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$ the

대수 곡선의 경우, 동종 좌표로 변환함으로써 연산을 다소 단순화할 수 있다.구체적으로 곡선의 균질 방정식은 g(x, y, z) = 0이라고 하자. 여기서 g는 n도의 균질함수이다.그렇다면, 만약 (X, Y, Z)가 곡선에 있다면, 오일러의 정리는 다음을 의미한다.

{\displaystyle {\frac g} {\frac g} {\frac z} \discdot Z=ng(X,Y,Z)=0}.

따라서 접선의 균질 방정식은 다음과 같다.

{\frac g}{\frac x}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac g}{\frac z}(X,Y,Z)\cdot z=0.

데카르트 좌표의 접선 방정식은 이 ^[13]방정식에서 z=1을 설정하여 찾을 수 있습니다.

이를 대수 곡선에 적용하려면 f(x, y)를 다음과 같이 적습니다.

f=u_{n}+u_{n-1}+\display +u_{1}+u_{0},

여기서_r 각 u는 모든 정도 r항의 합이다.곡선의 균질 방정식은 다음과 같습니다.

g=u_{n}+u_{n-1}z+\display +u_{1}z^{n}=0.,

위의 방정식을 적용하고 z=1을 설정하면 다음과 같이 됩니다.

{\frac f}{\frac x}(X,Y)\cdot x+{\frac g}{\frac z}=0

탄젠트선의 ^[14]방정식으로 사용합니다.이 형식의 방정식은 ^[13]적용된 후에는 더 이상 단순화할 필요가 없기 때문에 실제 사용하기에 더 간단한 경우가 많습니다.

곡선이 모수적으로 제공되는 경우:

\displaystyle x=x(t),\display y=y(t)}

접선의 기울기는

(\displaystyle {frac} {dt} = frac {dt} {\frac {dt}} }

t $\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ , $\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ $\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ ( $\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ ) , $\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ $\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ ( $\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ ) {\ $displaystyle \,t=T,X=x(T),Y=y(T)}$ 의 접선에 대한 방정식을 $\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ 합니다 $\, t=T, \, X=x(T), \, Y=y(T)$ ^[15].

{\displaystyle\frac {dx}{dt}(T)\cdot(y-Y)=cdfrac {dy}{dt}(T)\cdot(x-X)}

${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$ ${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$ ${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$ ( ${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$ T ) ${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$ ${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$ ${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$ d ${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$ ( ${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$ ) ${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$ , { $displaystyle \ frac$ { dx $}$ { $dt}$ ( $T$ ) = $0$ , 의 $경우,$ 접선은 $정의$ 되지 않습니다.그러나 접선이 존재할 수 있으며 곡선의 암묵적 방정식으로 계산할 수 있습니다.

곡선에 대한 정규선

접선 지점에서 곡선에 대한 접선에 수직인 선을 해당 지점에서 원곡선에 대한 정규선이라고 합니다.수직선의 기울기는 곱 -1이므로 곡선의 방정식이 y = f(x)이면 정규선의 기울기는 다음과 같습니다.

\displaystyle -{\frac {1}{\frac {dy}}}}

그리고 (X, Y)에서의 정규선의 방정식은 다음과 같다.

{\displaystyle(x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.}

마찬가지로, 곡선의 방정식이 f(x, y) = 0의 형태라면, 정규선의 방정식은 다음과 같이 주어진다^[16].

{\frac f}{\frac f}{\frac x}}(y-{\frac f}(y-Y)

곡선이 모수적으로 제공되는 경우:

\displaystyle x=x(t),\display y=y(t)}

그러면 정규선의^[15] 방정식은

{\displaystyle\frac {dx}{dt}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.}

곡선 사이의 각도

두 원곡선이 교차하는 지점에서 두 원곡선 사이의 각도는 해당 지점에서 접선 사이의 각도로 정의됩니다.보다 구체적으로 두 곡선은 한 점에 동일한 접선을 가지면 한 점에서 접선이고 접선 선이 ^[17]직교이면 직교라고 합니다.

한 점에 여러 접선

리마손 트리섹트릭스: 원점에 두 개의 접선이 있는 곡선.

점이 특이점일 경우 위의 공식은 실패합니다.이 경우 점을 통과하는 두 개 이상의 원곡선 분기가 있을 수 있으며, 각 분기에는 고유한 접선이 있습니다.점이 원점일 때, 이 선들의 방정식은 원래의 방정식에서 가장 낮은 정도를 제외한 모든 항을 제거함으로써 형성된 방정식을 인수분해함으로써 대수 곡선에 대해 찾을 수 있다.모든 점은 변수의 변경(또는 곡선의 변환)을 통해 원점을 만들 수 있으므로, 이것은 모든 단일 점에서 접선을 찾는 방법을 제공합니다.

예를 들어 오른쪽에 표시된 리마손 삼등분 행렬의 방정식은 다음과 같습니다.

({displaystyle(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}

이를 확장하고 2차 항을 제외한 모든 항목을 제거함으로써

(\displaystyle a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0,}

이 점을 고려했을 때

y=\pm}x

이것이 ^[18]원점을 통과하는 두 접선의 방정식입니다.

곡선이 자체 교차하지 않는 경우, 기준점에서의 접선은 다른 지점에서는 미분할 수 있지만 해당 지점에서는 미분할 수 없기 때문에 여전히 고유하게 정의되지 않을 수 있습니다.이 경우 왼쪽(낮은 값) 또는 오른쪽(높은 값)에서 각각 기준점에 접근하기 때문에 왼쪽 및 오른쪽(높은 값) 도함수는 도함수의 한계로 정의된다.예를 들어, 곡선 y = x는 x = 0에서 구분할 수 없습니다. 곡선의 왼쪽 및 오른쪽 도함수의 기울기는 각각 -1 및 1이며, 이러한 기울기가 있는 지점의 접선을 왼쪽 및 오른쪽 ^[19]접선이라고 합니다.

때때로 왼쪽과 오른쪽 접선의 기울기가 같으므로 접선이 일치합니다.예를 들어, x = 0에서 왼쪽 및 오른쪽 도함수가 모두 무한인 곡선의 경우, 왼쪽 및 오른쪽 접선 선 모두 방정식 x = 0을 가집니다.

공간 곡선에 대한 접선

수학에서 접선 벡터는 주어진 지점에서 곡선이나 표면에 접하는 벡터입니다.접선 벡터는 R의 곡선의ⁿ 맥락에서 곡선의 미분 기하학으로 설명됩니다.보다 일반적으로, 탄젠트 벡터는 미분 가능한 다양체의 탄젠트 공간의 요소이다.접선 벡터는 세균으로도 설명할 수 있다.형식적으로 x

(\displaystyle

x)

x

의

x

접선 벡터는 x

(\displaystyle

x

x

의 세균

x

에 의해 정의된 대수의 선형 파생입니다.

접선원

두 쌍의 접선 원.내부 접선 위 및 외부 접선 아래

같은 평면에서 반지름이 같지 않은 두 개의 원이 한 점에서만 만나면 서로 접선한다고 합니다.마찬가지로, i = 1, 2에 대해 반지름이 r이고_i 중심이 (x_i, y_i)에 있는 두 개의 원은 다음과 같은 경우 서로 접선한다고 한다.

\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^2},

중심 사이의 거리가 반지름의 합과 같으면 두 원은 외부적으로 접선한다.

\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^2},}.,

중심 사이의 거리가 반지름의 ^[20]차이와 같으면 두 원은 내부적으로 접선한다.

\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^2},}.,

지표면에 대한 접선 평면

주어진 점 p에서 지표면에 대한 접선 평면은 곡선의 경우 접선과 유사한 방식으로 정의됩니다.이는 p에서의 평면에 의한 표면의 최선의 근사치이며, 이러한 점들이 p로 수렴될 때 p에 가까운 표면에서 3개의 다른 점을 통과하는 평면의 한계 위치로 구할 수 있다.

고차원 다지

보다 일반적으로, n차원 유클리드 공간에서 k차원 다양체의 각 지점에 k차원 접선 공간이 있다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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원천

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외부 링크

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Weisstein, Eric W. "Tangent Line". MathWorld.
원에 대한 접선 대화형 애니메이션 사용
접선 및 첫 번째 도함수 — 대화형 시뮬레이션

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[8] 노아 웹스터, 미국 영어사전(뉴욕: S. Converse, 1828), 제2, 페이지 733, [1]

[9] Descartes, René (1954). The geometry of René Descartes. Courier Dover. p. 95. ISBN 0-486-60068-8. {{cite book}}:외부 링크 publisher=(도움말)

[10] R. E. Langer (October 1937). "Rene Descartes". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 44 (8): 495–512. doi:10.2307/2301226. JSTOR 2301226.

[E191-11] 에드워즈 제191호

[12] Strickland-Constable, Charles, "다항식 그래프에 대한 접선을 찾는 간단한 방법", Mathemical Gazet, 2005년 11월, 466-467.

[E192-13] 에드워즈 제192호

[E193-14] 에드워즈 제193호

[E196-15] 에드워즈 제196호

[E194-16] 에드워즈 제194호

[E195-17] 에드워즈 제195호

[E197-18] 에드워즈 제197호

[19] 토마스, 조지 B. 주니어와 피니, 로스 L. (1979), 미적분과 해석 기하학, 애디슨 웨슬리 푸블.회사: 페이지 140

[20] "Circles For Leaving Certificate Honours Mathematics by Thomas O'Sullivan 1997".

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v t 미적분학.
계산 전	이항 정리 오목함수 연속 함수 요인 유한차이 자유 변수 및 한계 변수 함수의 그래프 선형 함수 라디안 롤의 정리 섹트 경사 접선
한계	부정 형식 함수의 한계 단측 한계 시퀀스의 제한 근사순서 제한의 정의(약어, ))-한도의 정의
미적분	파생상품 이차 도함수 편도함수 차동 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠 표기법 뉴턴 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합 체인 로피탈스 제품. 라이프니츠 장군의 법칙 몫 기타 기술 암묵적 미분 역함수와 미분 로그 도함수 관련 요금 정지점 제1도함수 검정 2차 도함수 극단값 정리 맥시멈과 미니마 기타 응용 프로그램 뉴턴의 방법 테일러의 정리 미분 방정식 상미분 방정식 편미분 방정식 확률 미분 방정식
적분학	반파생적 호 길이 리만 적분 기본 속성 통합 상수 미적분의 기본 정리 적분 기호로 구분 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각형의 오일러 접선 반각 치환 적분에서의 부분 분수 이차 적분 사다리꼴 규칙 볼륨 워셔 방법 셸 방식 적분 방정식 적분 미분 방정식
벡터 미적분	파생상품 컬 방향 도함수 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 인테그레이션 녹색의 스토크스 가우스
다변수 미적분	발산 정리 기하학 헤시안 행렬 야코비 행렬과 행렬식 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 편도함수 표면적분 볼륨 적분 상세 토픽 미분 형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분
시퀀스 및 시리즈	산술-기하수열 시리즈의 종류 교대로 이항 푸리에 기하학 고조파 인피니트 힘 마크로린 테일러 텔레스코핑 수렴 테스트 아벨스 교대 급수 코시 응축 직접 비교 디리클레즈 일체형 한계 비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 및 숫자	베르누이 수 e(역학적 상수) 지수 함수 자연 로그 스털링 근사
미적분의 역사	적절성 브룩 테일러 콜린 매클로린 대수의 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 무한소수 미적분학 아이작 뉴턴 플럭션 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭션법 역학적 이론의 방법
리스트	차별화 규칙 지수함수의 적분 목록 쌍곡선 함수의 적분 목록 역쌍곡선 함수의 적분 목록 역삼각함수의 적분 목록 비합리함수 적분 목록 로그 함수 적분 목록 합리적인 함수의 적분 목록 삼각함수의 적분 목록 섹트 세컨트 큐브 제한 목록 적분 목록
기타 토픽	복소 미적분 등고선 적분 미분 지오메트리 다지관 곡률 곡선의 표면의 텐서 오일러-마클로린 공식 가브리엘의 뿔 인테그레이션 22/7이 †를 초과하는 증거 레지오몬타누스의 각도 최대화 문제 슈타인메츠 고체

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