오스코팅 서클

동그라미

타이트-케네서 정리에 의해 내포된 아르키메데스 나선형의 접촉 원."나선은 그 자체로 그려진 것이 아닙니다. 우리는 원들이 ^[1]특히 서로 가까이 있는 점들의 궤적으로 보고 있습니다."

곡선의 미분기하학에서 곡선상의 소정점 p에서의 충분히 매끄러운 평면곡선의 접촉원은 전통적으로 p를 통과하는 원과 p에 무한히 가까운 곡선상의 한 쌍의 부가점으로 정의되어 왔다.중심은 내부 정규선에 있으며 곡률은 해당 지점에서 지정된 곡선의 곡률을 정의합니다.이 원은 주어진 지점에서 곡선에 가장 촘촘하게 접근하는 모든 접선 원들 중 하나이며, 라이프니츠에 의해 circulus osculans (라틴어로 "키싱 원"이라는 뜻)라고 명명되었다.

주어진 점에서의 접촉 원의 중심과 반지름을 곡률 중심 및 해당 점에서의 곡률 반지름이라고 합니다.아이작 뉴턴이 그의 프린키피아에서 기하학적 구조를 기술했다.

어떤 장소에서든, 어떤 공통의 중심(중심)으로 향하는 힘에 의해 물체가 주어진 수치를 설명하는 속도가 주어진다.
--

Nontechnical 설명

차를 굽은 길을 따라 광대한 평평한 비행기 위에서 움직인다고 상상해 보세요.길을 따라 한 지점에서의 현재의 위치에 갑자기, 핸들 자물쇠그 후, 자동차는 잠김의 지점에서 도로"키스"원으로 이사를 와요.원의 곡률은 도로에 그 점에서 동등한 있다.도로 곡선의 그 지점에 있는 사람은 원은 접촉 악순환이다.

수학적 설명

$θ (s)$ 를 정규 파라메트릭 평면 곡선으로 합니다. $여기$ 서 s는 호 길이(자연 파라미터)입니다.이는 s가 $구성$ 되는 각 지점에서 단위 $접선$ 벡터 T, 단위 $법선$ 벡터 N, $부호화$ 된 곡률 $k(s$ ) 및 $곡률$ 반지름 $R(s$ $)$ 을 결정합니다.

\displaystyle T(s)=\gamma 's),\display T'(s)=k(s),\quad R(s)=displayfrac {1}{\left k(s)\right }}.}

P가 θ 위의 점이고 여기서 k $k$ $0$ 이라고 가정합니다.해당하는 곡률 중심은 거리 R에서 N을 따라 점 Q이며, k가 양이면 같은 방향이고 k가 음이면 반대 방향이다.중심이 Q이고 반지름이 R인 원을 점 P에서 곡선 θ에 대한 원이라고 합니다.

C가 정공간 곡선일 경우 주요 법선 벡터 N을 사용하여 마찬가지로 접촉원을 정의한다.P점에서 접선 및 주요 법선 벡터 T 및 N에 의해 스판되는 평면인 접촉 평면에 있습니다.

평면 곡선은 또한 다른 규칙 매개변수로 제공될 수 있습니다.

\displaystyle \display (t)=display {bmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end {bmatrix}}

여기서 regular는

모든

t

\displaystyle

t

t

에 대해 "

\gamma '(t)\neq 0

"

\gamma '(t)\neq 0

" ( t

\gamma '(t)\neq 0

{\

\gamma '(t)\neq 0

{

displaystyle

\

displaystyle

"

( t

) \

neq

0 을 의미합니다

\gamma '(t)\neq 0

.그러면 부호화된 곡률 k(t), 정규 단위 벡터 N(t), 곡률 반지름 R(t) 및 접촉 원의 중심 Q(t)에 대한 공식은 다음과 같습니다.

k(t)=frac {x_{1}(t),x_{2}'(t)}{\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}}'\left(t\right)^{2}\right)^{3}/{2}}}},\qquad N(t)=syslogfrac {1}{\syslog '(t)\syslog {bmatrix}-x_{2}'(t)\end {bmatrix}}

R(t)=\left {{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{3}/{2}}{x_{1}'(t),x_{2}'(t)-x_{1}'(t),x_{2}'(t)}}\right \qquad {t}\gamma(t+{\frac1}{k(t)\frac(t)\fright \x_{1}{t})

데카르트 좌표

함수 f에 대해 $t$ = x $및$ $y$ = f $(x$ )를 대입하면 데카르트 좌표에서 접촉 원의 중심을 구할 수 있다.계산을 하면 원 중심부의 X 및 Y 좌표에 대한 결과는 다음과 같습니다.

x_{c}=x-f'{\frac {1+f'^2}}{f'}}}}\text {and}}\timeout y_{c}=f+{\frac {1+f'^2}}{f`}}

기하학적 어원 직접

${\textstyle P_{0}}$ 0 $(\$ P_ ${$ $0$ ${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle P_{1}}$ 1 $(\$ 1 $})$ ${\textstyle P_{2}}$ P $(\$ $textstyle P_{$ $2$ 의 3가지 ${\textstyle P_{0}}$ 을 고려합니다. ${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$ 서 Pi ${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$ ( ${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$ i , ${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$ i ) $=$ ( $x$ _ ${$ i , y _ ${$ i ${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$ } } = ( x _ {i , y _ {i } ) } } } 。이러한 세그먼트를 통과하는 원의 중심을 찾습니다. $textstyle P_$ { ${\textstyle P_{1}P_{2}}$ $}P_$ {1 $}$ 와 ${\textstyle P_{1}P_{2}}$ P2({ $textstyle$ P_ ${1}P_{2})$ 와 ${\textstyle P_{1}P_{2}}$ 그 다음에 이들 선이 교차하는 점 $({textstyle$ C})를 ${\textstyle C}$ $선택$ 합니다.따라서 C $(\textstyle$ C $)$ 의 ${\textstyle C}$ 좌표는 다음 두 방정식의 선형계를 통해 구한다.

\displaystyle \left(\displaystyle x_{i}\right)x_{c}+\left(\display y_{i}\right)x_{c}=displaytfrac {1}{2}\left(\displaystyle ^{2}x_{i}\right)\displaysty =1,2}

여기서

{\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}

{\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}

i

{\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}

{\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}

{\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}

{\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}

1 {

{\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}

textstyle

{\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}

u

_ { i }

{\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}

u

_ {

i

}

{\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}

、

{\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}

2 -

u

i -

{\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}

=

{\textstyle u=x,y}

u

_ { i

}

{\textstyle u=x,y}

=

{\textstyle u=x,y}

{\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}

_ 2

{\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}

u _ {

i

}

u

_ 2 u _ { i

u

_ 1

u

_ textstyle } 、

${\textstyle P=P(\tau )}$ 곡선 P ${\textstyle P=P(\tau )}$ ( ${\textstyle P=P(\tau )}$ ) ${\textstyle P=P(\tau )}$ { $textstyle$ P ${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$ $= P$ ( \ $tau$ ) } 、 ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$ ${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$ $=$ ( ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$ - ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$ ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$ ) ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$ = $P$ ( \ $textstyle$ P _ 0 ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$ ${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$ ( \ $tau$ - ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$ $d$ \ tau ) = P ( ${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$ \ tau ) $=$ P ( \ $tau$ ) = P ${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$ ( \ tau ) ${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$ ）（ \ $tau$ ) ））） ${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$ ) 。

{dot u_{1}=&{\dot {u}d\dot {2}} {\dot },d\display ^{2}\dot u_{1}=&2dot u} {u},dot -dot ^{2}\dot {u},dot =&2dot u} {u} {u} {u} {u} {u} {u

{\textstyle \delta u_{2}}

2

{\textstyle d\tau ^{2}}

u

( \

textstyle

\ timeout

u _

{

{\textstyle \delta u_{2}}

2

{\textstyle \delta u_{2}}

} )

{\textstyle \delta ^{2}u_{2}}

{\textstyle \delta ^{2}u_{2}}

2

{\textstyle \delta ^{2}u_{2}}

( \

textstyle

\ time

^

{2

}u_{2

})에

{\textstyle \delta ^{2}u_{2}}

대해 d

{\textstyle d\tau ^{2}}

2 ( \

textstyle

d \

time

^ {

2}}

의

{\textstyle d\tau ^{2}}

부호가 반전됩니다.

{\textstyle x_{c},y_{c}}

c

{\textstyle x_{c},y_{c}}

{\textstyle x_{c},y_{c}}

c

(\

})의

{\textstyle x_{c},y_{c}}

방정식을 개발하고

(\textstyle

d

\tau)

{\textstyle d\tau ^{2}}

(\

d

\tau ^{2

로

{\textstyle d\tau }

를 그룹화하면 얻을 수 있습니다.

{\dot {x}(x_{c}-x)+{\dot {x}(x_{c}-x)+{\dot {x}(x_{c}-x)+{\dot {x}(y_{c}-x)+{\dot {x}{\dot {x}}{dot {x}{dot {x}}{dot {x} {x} {x}+{dot } {x} }

r

{\textstyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {P_{1}C}}}

{\textstyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {P_{1}C}}}

1

{\textstyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {P_{1}C}}}

→

{\

textstyle \mathbf {r}

= 오른쪽

화살표 {P_{1}C

을

(

를) 나타내면 첫 번째 방정식은

{\textstyle \mathbf {r} }

r

{\textstyle \mathbf

{r}이

{\textstyle \mathbf {r} }

(가)

(\

에서 단위 탄젠트 벡터에 직교함을

{\textstyle \mathbf {r} }

합니다.

\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {t} = 0}

두 번째 관계는

\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} = 1

어디에

\mathbf {k} = param frac {d\mathbf {t} } {ds} = param frac {1} {{\dot {x} } {\dot {x} } \end {matrix}

곡률 벡터입니다.평면 기하학에서 k

(\

는

{\textstyle \mathbf {k} }

t

(\

와

{\textstyle \mathbf {t} }

직교합니다.

\mathbf {t} \cdot \mathbf {k} = \mathbf {t} {t} {{ds}} = specfrac {1} {ds} {cdot \mathbf {t} = frac {d} {ds} {d

{\textstyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =kr}

k

{\textstyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =kr}

r

{\textstyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =kr}

{\textstyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =kr}

r \

textstyle \mathbf {k}

\

cdot \mathbf {r} =kr}

이며

{\textstyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =kr}

, 접촉 원의 반지름은 곡률의 정확히 역수이다.

C $(\textstyle$ C ${\textstyle C}$ 의 좌표 방정식을 풀면

{\displaystyle {\dot {y}-x=&{\frac {\dot {y}}+{\dot {y}^2}\right}{\dot {x}-{\dot {x}}-{\dot {y}}}-{\dot {x}}-{\y}={\frac {\dot {y}-}-{\frac}-{\frac}-{\c}-{\frac {y}-{\fright}-{\frac {y}\frac}.

를 최소화 문제로 원 Osculating.

다음 $방정식$ 으로 본질적으로 정의된 C ${\textstyle C}$ (\ $textstyle$ C $)$ ${\textstyle C}$ 을 고려합니다.

f(x,y)=0

z

{\textstyle z=0}

{\textstyle z=0}

\

textstyle

z =

{\textstyle z=0}

0 \ textstyle z =

0

\ textstyle z

=

f ( x

,

y

의

{\textstyle z=f(x,y)}

단면으로서 생각할 수 있습니다.

{\textstyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}

P 0

=

(

{\textstyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}

0 ,

{\textstyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}

) {\textstyle

P_{0

}=(

x_{0}, y_{0})

의

{\textstyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}

곡선에 대한

{\textstyle \mathbf {n} }

{\

textstyle

\mathbf {n}}

은

{\textstyle \mathbf {n} }

이 지점의 기울기입니다.

\displaystyle \mathbf {n} =(f_{x},f_{y})

따라서 접선

{\textstyle B_{\alpha }}

(\

})의

{\textstyle B_{\alpha }}

중심은 다음과 같이 주어진다.

X_{c}=x_{0}-\alpha f_{x},,,,,,, Y_{c}=y_{0}-\alpha f_{y}

{\textstyle \alpha }

서

{\textstyle \alpha }

α {\

textstyle \alpha }

는

{\textstyle \alpha }

파라미터입니다.

특정

α

{\textstyle \alpha ,}

{\textstyle

\alpha}

의

{\textstyle \alpha ,}

{\textstyle B_{\alpha }}

Bα의

{\textstyle B_{\alpha }}

{\textstyle R}

textstyle B_{\alpha})

은 다음과

{\textstyle R}

같습니다.

({displaystyle R^{2}=\alpha^{2}(f_{x}^2}+f_{y}^2})

가능한 모든 원

{\textstyle B_{\alpha }}

에서 곡선과 가장 잘 맞는 원

(\

를 찾고자 합니다.

${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ $(\$ B_ ${\$ alpha ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ })의 ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ 좌표는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\displaystyle x_{1}=X_{c}+R\cos \theta \,,,,y_{1}=Y_{c}+R\sin \theta }

여기서

{\textstyle \theta =\theta _{0}}

{\textstyle \theta =\theta _{0}}

0 {

textstyle \theta

= \

theta

_

{0

P

{\textstyle P_{1}=P_{0}}

{\textstyle P_{1}=P_{0}}

{\textstyle P_{1}=P_{0}}

0 {

textstyle P_{1

} =

P_{0

{\textstyle P_{1}=P_{0}}

,

R\cos \theta _{0}=\alpha f_{x},,;,,,R\sin \theta _{0}=\alpha f_{y}

{\textstyle P_{0}}

P

{\textstyle P_{0}}

에

{\textstyle P_{0}}

{\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}

{\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}

1

{\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}

{\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}

α {\

textstyle P_{\alpha }

{\textstyle

P_{0

을

{\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}

생각해 봅시다. 여기서 "각도"는

{\textstyle \theta _{1}=\theta _{0}+d\theta }

1

{\textstyle \theta _{1}=\theta _{0}+d\theta }

{\textstyle \theta _{1}=\theta _{0}+d\theta }

0 +

{\textstyle \theta _{1}=\theta _{0}+d\theta }

{

textstyle \theta

_ {1} = \

theta _0}

+

d\ta

입니다.점등,

(\

P_

{1})

의

P_{1}

좌표는

{displaystyle }x_{1}=&x_{0}-\alpha f_{y}d\theta - {1}\alpha f_{x}\left(d\theta \right)^{2}=&y_{0}+alpha f_d}\ta {ta}-{ta {frec

이제

{\textstyle P_{1}}

지점

({

textstyle P_{

1

{\textstyle P_{1}}

})에서

{\textstyle f}

f

f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})

textstyle

f

})

와

{\textstyle f}

그 변동

f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})

f

(

1,

f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})

1)

f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})

-

f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})

(

f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})

0

f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})

y

- f(

x_{1})

-

f(x_{0})

- f(x_

{0

를 평가할 수 있습니다.구조상 d

{\textstyle d\theta }

\

textstyle

{\textstyle \theta }

d \

theta

{\textstyle d\theta }

{\textstyle \theta }

{\textstyle \theta }

{\textstyle P_{1}}

、 P 1

{\textstyle P_{1}}

（ \

textstyle

P _ {

1}

）

의

{\textstyle P_{1}}

첫 번째 순서는 C

(\textstyle

C

)

의 접선상에 있습니다.

(d\theta )^{2}

(d\theta )^{2}

(d\theta )^{2}

)

(d\theta )^{2}

(

displaystyle ( d

\

theta

)^{

2}

)에

(d\theta )^{2}

비례하는 변동은 다음과 같습니다.

{{displaystyle df=-{\frac {1}{2}\alpha \left(f_{x}^2}+f_{y}^{2}\right)+{\frac {1}{2}\left(f_{y}{x}+f_{x}{y}_{y}_f}{f}{f}_x}

이 변동은 0이 됩니다.

\displaystyle \alpha = ffrac {f_{x}^{2}+f_{y}^2}f_{x}+f_{x}{2}f_{y}-f_{x}f_{xy}}}}

따라서 접촉 원의 반지름은

{{displaystyle R=\left {{f_{x}^2}+f_{y}^3/2} {\left(f_{y}) {\left(f_{y}+f_{x}^2}f_{y}-f_{x}f_{y}{xy}\}\right} } }

명시적 $f(x,y)=y-g(x)$ f ( $f(x,y)=y-g(x)$ , $f(x,y)=y-g(x)$ ) $=$ - $f(x,y)=y-g(x)$ ( $f(x,y)=y-g(x)$ ) { $displaystyle$ f $(x,y$ )= $y-g(x$ 의 경우, 이전 섹션의 결과를 찾습니다.

특성.

충분히 매끄러운 파라메트릭 방정식(2회 연속 미분 가능)에 의해 주어지는 곡선 C에 대해서는 한계절차에 의해 접촉원을 얻을 수 있다.이것은 이들 점이 ^[2]P에 가까워질 때 C상의 3개의 다른 점을 통과하는 원의 한계이다.이는 곡선에 대한 접선을 P에 접근하는 C의 구별되는 점 쌍을 통해 분할선의 한계로 구성하는 것과 완전히 유사합니다.

정규점 P의 평면 곡선 C에 대한 오스코팅 원 S는 다음 특성에 의해 특징지을 수 있습니다.

원 S는 P를 통과한다.
원 S와 곡선 C는 P에 공통 접선을 가지므로 공통 정규선을 가집니다.
P에 근접하면 곡선의 점 C와 원 S의 법선 방향의 거리가 정육면체 또는 접선 방향의 P까지의 거리의 고승으로 감소한다.

이것은 보통 P에서 "곡선과 그 접촉원은 2차 이상의 접점을 가진다"로 표현된다.대략적으로 말하면, C와 S를 나타내는 벡터 함수는 P에서 그들의 첫 번째 및 두 번째 도함수와 함께 일치한다.

s에 대한 곡률의 도함수가 P에서 0이 아닌 경우, 접촉원은 P에서 C를 교차한다.곡률의 도함수가 0인 점 P를 정점이라고 합니다.P가 정점이라면 C와 그 접촉원은 적어도 3차 접점을 가진다.또한 곡률이 P에서 0이 아닌 국소 최대값 또는 최소값을 가지면 경합원은 P에서 곡선 C에 닿지만 교차하지 않는다.

곡선 C는 하나의 매개 변수 패밀리의 포락선으로 얻을 수 있다.그들의 중심, 즉 곡률의 중심은 C의 에볼루트라고 불리는 또 다른 곡선을 형성한다.C의 꼭지점은 C의 단수점에 해당한다.

곡률이 단조로운 곡선 C의 호 내(곡선의 정점에서 멀리 떨어져 있음)에서는 서로 맞물리는 원이 모두 분리되고 중첩됩니다.이 결과는 Tait-Kneser ^[1]정리라고 알려져 있다.

예

포물선

포물선의 꼭지점에 있는 접촉원은 반경 0.5와 4차 접점을 가진다.

포물선용

\displaystyle \bmatrix(t)=display {bmatrix}t\t^{2}\end {bmatrix}

곡률 반경은

R(t)=\left {{frac (1+4t^{2}\right}^{3/2}}{2}}\right

정점

\gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}

(

\gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}

0 )

\gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}

[

\gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}

0

]

{

displaystyle \ time

( 0 ) = = {

bmatrix

}

}0

{

\gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}

}

에서의 곡률반경은

R

(0

)

포물선은 4차 접촉 원과 접촉한다.

t

가 클 경우 곡률 반경이 ~ t

증가

합니다³. 즉, 곡선이 점점 더 곧게 펴집니다.

리사 곡선

리사주 곡선에 대한 접촉 원의 애니메이션

주파수 비율(3:2)의 리사주 곡선은 다음과 같이 파라미터화할 수 있습니다.

\displaystyle \bmatrix(t)=display {bmatrix}\cos(3t)\sin(2t)\end {bmatrix}.}

부호 $곡률$ k $(t),$ 정규 단위 $벡터$ N $(t)$ 및 다음과 같은 $곡률 반지름$ R(t)을 가진다.

{\displaystyle k(t)=black {6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+left(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-black(\cos t)^6}\right)^3/2},

N(t)=flac {1}{\flac '(t)\}}\cdot {bmatrix}-2\cos(2t)\-3\sin(3t)\end {bmatrix}

그리고.

R(t)=\left {{frac (232\cos ^{4}(t)-97\cos ^{2}(t)+13-cos ^{6}(t)\right)}{6\cos(t)\left(8\cos ^{4}(t+)\cos }}\right

애니메이션을 보려면 그림을 참조하십시오.여기서 "가속 벡터"는 호 $길이$ s에 대한 두 번째 ${\textstyle {\frac {d^{2}\gamma }{ds^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}\gamma }{ds^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}\gamma }{ds^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}\gamma }{ds^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}\gamma }{ds^{2}}}}$ {\ $textstyle {d^{2}\gamma}$ { $ds$ ^{ $2}}$ 이다 ${\textstyle {\frac {d^{2}\gamma }{ds^{2}}}}$ .

사이클로이드

사이클로이드(파란색), 접촉원(빨간색) 및 에볼루트(녹색).

$반지름$ 이 r인 사이클로이드는 다음과 같이 파라미터화할 수 있습니다.

\displaystyle \bmatrix(t)=display{bmatrix}r\left(t-\sin t\right)\r\left(1-\cos t\right)\end{bmatrix}}

곡률은 다음과 ^[3]같은 공식으로 구할 수 있습니다.

\displaystyle \kappa(t)=-{\frac {좌\csc\leftfrac {t}{2}\right}{4r}}

그 결과, 다음과 같습니다.

R(t)=flac {4r}{\left \csc \leftflac {t}{2}}\right }

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ ^a ^b Ghys, Étienne; Tabachnikov, Sergei; Timorin, Vladlen (2013). "Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem". The Mathematical Intelligencer. 35 (1): 61–66. arXiv:1207.5662. doi:10.1007/s00283-012-9336-6. MR 3041992. S2CID 18183204.
^ 사실, P점에 P의 양쪽에 하나, 두 개의 추가점을 더하면 됩니다.'람(온라인' 참조:Horace Lamb (1897). An Elementary Course of Infinitesimal Calculus. University Press. p. 406. osculating circle.
^ Weisstein, Eric W. "Cycloid". MathWorld.

추가 정보

곡률 연구에 대한 몇 가지 역사적 참고 사항은 다음을 참조하십시오.

Grattan-Guinness & H. J. M. Bos (2000). From the Calculus to Set Theory 1630-1910: An Introductory History. Princeton University Press. p. 72. ISBN 0-691-07082-2.
Roy Porter, ed. (2003). The Cambridge History of Science: v4 - Eighteenth Century Science. Cambridge University Press. p. 313. ISBN 0-521-57243-6.

차량 조작에 대한 적용은 다음을 참조하십시오.

JC Alexander와 JH Maddocks(1988) :차량 조작에 대하여: 10.1137/0148002
Murray S. Klamkin (1990). Problems in Applied Mathematics: selections from SIAM review. Society for Industrial and Applied Mathematics. p. 1. ISBN 0-89871-259-9.

외부 링크

[gtt-1] Ghys, Étienne; Tabachnikov, Sergei; Timorin, Vladlen (2013). "Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem". The Mathematical Intelligencer. 35 (1): 61–66. arXiv:1207.5662. doi:10.1007/s00283-012-9336-6. MR 3041992. S2CID 18183204.

[Lamb-2] 사실, P점에 P의 양쪽에 하나, 두 개의 추가점을 더하면 됩니다.'람(온라인' 참조:Horace Lamb (1897). An Elementary Course of Infinitesimal Calculus. University Press. p. 406. osculating circle.

[3] Weisstein, Eric W. "Cycloid". MathWorld.

[1]

[2]

[3]

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데카르트 좌표

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