파라메트릭 표면

A parametric surface is a surface in the Euclidean space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ which is defined by a parametric equation with two parameters ${\displaystyle \mathbf {r} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$. Parametric representation is a very general way to specify a surface, as well 암묵적인 표현으로 벡터 미적분학의 주요 이론 중 두 가지에서 발생하는 표면, 즉 스톡스의 정리와 발산 정리는 파라메트릭 형태로 자주 주어진다. 표면상 곡선의 곡률과 호 길이, 제1차 및 제2차 기본 형태, 가우스, 평균 및 주 곡선 등과 같은 미분 기하학적 불변제, 즉 곡선의 곡률과 호 길이는 모두 주어진 파라메트리제이션에서 계산할 수 있다.

예

• 가장 단순한 유형의 파라메트릭 표면은 다음 두 변수의 함수 그래프에 의해 제공된다.

  ${\displaystyle z=f(x,y)\mathbf {r}(x,y)=(x,y,f(x,y))를 참조하십시오.}$

• 합리적인 표면은 합리적인 함수에 의한 매개변수화를 인정하는 표면이다. 이성적인 표면은 대수학적 표면이다. 대수학적 표면을 고려할 때, 그것이 존재한다면, 그것의 합리적인 매개변수화를 계산하는 것보다 그것이 합리적인지 결정하는 것이 일반적으로 더 쉽다.
• 회전 표면은 쉽게 파라메트리될 수 있는 또 다른 중요한 종류의 표면을 제공한다. 그래프 z = f(x), ), x ≤ b가 z 축을 중심으로 회전하는 경우, 결과 표면은 파라메트리제이션(parametrization)을 갖는다.

  ${\displaystyle \mathbf {r}(u,\pi )=(u\cos \pi, u\sin \pi, \req u, f(u)),\req u\leq u, \leq u, \pi.}$

  매개 변수화할 수도 있다.

  ${\displaystyle \mathbf {r}(u,v)=\왼쪽(u{1-v^{2}}:{1+v^{2}}:u{2v}{1+v^{2}},f(u)\right)))\leq uleq b,}$

  f함수가 합리적이라면 표면은 합리적이라는 것을 보여준다.

• X 축에 대한 R 반경의 직선 원형 실린더는 다음과 같은 파라메트릭을 나타낸다.

  ${\displaystyle \mathbf {r}(x,\phi )=(x,R\coses \phi,R\sin \phi).}$

• 구면 좌표를 사용하여 단위 구를 다음과 같이 매개변수화할 수 있다.

  ${\displaystyle \mathbf {r}(\theta ,\phi )=(\cos \sin \pi ,\cos \pi )\cos 0\leq \leq \leq \pi.}$

  이 파라메트리제이션은 방위각 θ이 고유하게 결정되지 않는 북극과 남극에서 분해된다. 구체는 합리적인 표면이다.

같은 표면은 많은 다른 파라메트리제이션들을 허용한다. 예를 들어 좌표 z-평면을 다음과 같이 파라메타할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {r}(u,v)=(au+bv,cu+properties,0)}$

ad - b, c, d와 같은 상수 a, b, c, d에 대해, 즉 매트릭스 ${\$는 변환할 수 없다.

국부 미분 기하학

파라메트릭 표면의 국부적 형태는 파라메트리화 함수의 테일러 확장을 고려해 분석할 수 있다. 표면과 표면적에 있는 곡선의 호 길이는 통합을 통해 찾을 수 있다.

표기법

모수 표면을 방정식으로 지정

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r}(u,v),}$

여기서 $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) 파라미터의 벡터 값 함수(u, v)이며 파라미터는 파라메트릭 Uv-plane의 특정 도메인 D 내에서 다양하다. 매개변수와 관련된 첫 번째 부분파생상품은 일반적으로 $r{\mathbf{}}_{}$ ${}_{}$ $:=$ $\partial \frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{r\mathbf{}}{\mathrm{}}$u $\frac{u}{}$ ${\$$={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}}$ and ${\displaystyle \mathbf {r} _{v},}$ and similarly for the higher derivatives, ${\displaystyle \mathbf {r} _{uu},\mathbf {r} _{uv},\mathbf {r} _{vv}.$$}$

벡터 미적분학에서 매개변수는 자주 표시되며(s,t) 부분파생상품은 ∂ 공지를 사용하여 작성된다.

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial t^{2}}}.}$

접선 평면 및 정규 벡터

벡터일 경우 파라미터의 지정된 값에 대해 파라메트리제이션이 규칙적임

${\displaystyle \mathbf {r} _{u},\mathbf {r} _{v}}}$

선형적으로 독립적이다. 정규점에서의 접선면은 이러한 벡터에 의해 확장되고 매개변수로 결정된 표면에서 r(u, v) 지점을 통과하는³ R의 부착면이다. 모든 접선 벡터는 $r{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 $r{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{v}}$의 선형 조합으로 분해될 수 있다. 이들 벡터의 교차 생산물은 접선 평면에 대한 정규 벡터다. 이 벡터를 그 길이로 나누면 정규 점에서 파라메트리된 표면에 단위 정규 벡터가 생성된다.

${\displaystyle {\hatsbf {n}}}:{\frac {\mathbf {r} _{u}\mathbf {r} _{v}}{{n1}\왼쪽 \mathbf {r} _{u}\mathbf {r} _{v}\mathbf {r} } } }}}}}}}}}}}}}}}.}$

일반적으로 특정 지점에서 표면에 대한 단위 정규 벡터의 두 가지 선택이 있지만, 정규 파라메타화된 표면의 경우 앞의 공식은 일관되게 그 중 하나를 선택하며, 따라서 표면의 방향을 결정한다. R에³ 있는 표면의 미분기하 불변성의 일부는 표면 자체에 의해 정의되고 방향과 독립되어 있는 반면, 다른 것들은 방향이 반대로 되면 기호를 바꾼다.

표면적

표면적은 파라메트릭 UV 평면의 해당 영역 D에 걸쳐 일반 $벡터{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ r ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 길이를 통합하여$$ 계산할 수 있다.

${\displaystyle A(D)=\iint _{D}\왼쪽 \mathbf {r} _{u}\time \mathbf {r} _{v}\right du\,dv.}$

이 공식은 표면적에 대해 폐쇄적인 표현을 제공하지만, 매우 특수한 표면을 제외한 모든 표면의 경우 복잡한 이중 적분(double integrity)을 초래하며, 이는 일반적으로 컴퓨터 대수 시스템이나 대략적인 숫자로 평가된다. 다행히도, 많은 공통 표면이 예외를 형성하고 있으며, 그 영역은 명백하게 알려져 있다. 이것은 원형 실린더, 구체, 원뿔, 토러스 및 몇 개의 다른 혁명의 표면에 적용된다.

이는 스칼라 필드 1에 통합된 표면으로 표현될 수도 있다.

$\displaystyle \int _{S}1\,dS.}$

첫 번째 기본 형태

첫 번째 기본 형태는 2차 형태다.

${\displaystyle \mathrm {I} =E\,du^{2}+2\,F\,dv+G\,dv^{2}}$

거리 및 각도를 계산하는 데 사용되는 표면의 접선 평면에서 매개변수화된 표면 $r{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle r\mathbf{}}$(${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle }$v${\displaystyle }$) ,${\displaystyle \mathbf$ {$r} =\mathbf {r}(u,v$)의 경우 계수를$$ 다음과 같이 계산할 수 있다$.$

${\displaystyle E=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{u}\quad F=\mathbf {r} _{v}\quad G=\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {r}_{v}.}$

표면 S의 파라메타화된 곡선의 호 길이, S의 곡선들 사이의 각도, 그리고 표면적은 모두 첫 번째 기본 형태의 측면에서 표현식을 허용한다.

만약 (u(t), v(t)), a t t b b가 이 표면의 파라메타화된 곡선을 나타낸다면, 그것의 호 길이는 적분으로 계산될 수 있다.

${\displaystyle \int_{a}^{b}{\sqrt {E\,u'(t)^{2}+2F\,u'v'(t)+G\,v'(t)^{2}}\,dt.}$

첫 번째 기본 형태는 지점에 따라 표면의 각 지점에서 접선 평면에 있는 양의 확정 대칭 이선형 형태의 계열로 볼 수 있다. 이 원근법은 특정 지점에서 교차하는 S의 두 곡선 사이의 각도를 계산하는 데 도움이 된다. 이 각도는 접선 벡터와 곡선 사이의 각도와 동일하다. 이 벡터 쌍에 대해 평가된 첫 번째 기본 형태는 도트 제품이며, 각도는 표준 공식에서 찾을 수 있다.

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}{}}{\\왼쪽 \mathbf {a} \오른쪽 \mathbf {b}}}}}}$

도트 제품을 통해 각도의 코사인을 표현한다.

표면적은 다음과 같이 첫 번째 기본 형태로 표현할 수 있다.

${\displaystyle A(D)=\iint _{D}{\sqrt{EG-F^{2}}\,du\,dv.}$

라그랑주의 정체성에 따르면 제곱근 아래의 표현은 ${\displaystyle {정밀}^{}}$하게 ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$× ${\displaystyle {{\mathbf{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {2{}_{}}^{\mathrm{}}}${\$displaystyle \left \mathbf$ {$r} _{u}\timees \mathbf {r} _{v}\오른쪽 ^{2$}}이고$$따라서 정규점에서는 엄격히 긍정적이다.

두 번째 기본 형태

두 번째 기본 형태

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,\mathrm {d} u^{2}+2M\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v+N\,\mathrm {d} v^{2}}$

첫 번째 기본 형태와 함께 표면의 곡선의 곡선을 결정하는 접선면의 2차 형태다. (u, v) = (x, y)와 주어진 지점에서 표면에 닿는 접선면이 수평인 특별한 경우, 두 번째 기본 형태는 근본적으로 x와 y의 함수로서 z의 테일러 팽창의 2차 부분이다.

일반적인 파라메트릭 표면의 경우 정의가 더 복잡하지만, 두 번째 기본 형태는 순서 1과 2의 부분적 파생상품에만 의존한다. 계수는 파라메트리제이션에 의해 정의된$$ 단위 정규 벡터 $n{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$ ${r}$에 대한$$ $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ ${\mathbf {n}}$의 두 번째 부분파생물의 투영으로 정의된다.

${\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}.}$

첫 번째 기본 형태와 마찬가지로, 두 번째 기본 형태는 지점에 따라 표면의 각 지점의 접선 면에 대칭 이선형 형태의 계열로 볼 수 있다.

곡률

표면의 첫 번째와 두 번째 기본 형태는 중요한 미분 기압 불변량인 가우스 곡률, 평균 곡률 및 주요 곡선을 결정한다.

주된 곡선은 두 번째와 첫 번째 기본 형태로 구성된 쌍의 불변성이다. 그것들은 2차 방정식의 뿌리 κ₁, κ이다₂.

${\displaystyle \det(\mathrm {II} -\kappa \mathrm {I}=0,\quad \begin{bmatrix}L-\kappa E&M-\kappa F&N-\kappa G\end{bmatrix=0.}$

가우스 곡률 K = κκ₁₂, 평균 곡률 H = (κ₁ + κ₂)/2는 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}:{EG-F^{2}},\quad H={\frac {EN-2FM+GL}{2}{2(EG-F^{2})}}.}$

표지판까지, 이러한 수량은 사용된 파라메트리제이션과는 독립적이므로 표면의 기하학적 구조를 분석하는 데 중요한 도구를 형성한다. 보다 정확히 말하면 표면의 방향이 역전되면 주곡선과 평균 곡면성이 기호를 변화시키고, 가우스 곡면성은 파라메트리제이션과는 완전히 독립적이다.

한 점에서 가우스 곡률의 부호는 그 지점 근처의 표면의 모양을 결정한다: K > 0의 경우 표면은 국소적으로 볼록하고 점을 타원이라고 하는 반면, K < 0의 경우 표면은 안장 모양이고 점은 쌍곡선이라고 한다. 가우스 곡률이 0인 점을 포물선이라고 한다. 일반적으로 포물선 점들은 포물선이라고 불리는 표면에 곡선을 형성한다. 첫 번째 기본 형태는 양성이 확실하므로, 그 결정요인 EG - F는² 어디에서나 양성이 된다. 따라서 K의 부호는 2차 원소의 결정체인 LN - M의² 부호와 일치한다.

위에 제시된 첫 번째 기본 형태의 계수는 대칭 행렬로 구성될 수 있다.

${\displaystyle F_{1}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}.}$

그리고 위에 제시된 두 번째 기본 형태의 계수에 대해서도 동일하다.

${\displaystyle F_{2}={\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}$

지금 행렬 $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}을 정의하면 주 곡선 atures과₁ κ은₂ A의 고유값이다$.$^{[1][dead link]}

Now, if v₁ = (v₁₁, v₁₂) is the eigenvector of A corresponding to principal curvature κ₁, the unit vector in the direction of ${\displaystyle \mathbf {t} _{1}=v_{11}\mathbf {r} _{u}+v_{12}\mathbf {r} _{v}}$ is called the principal vector corresponding to the principal curvature κ₁.

Accordingly, if v₂ = (v₂₁,v₂₂) is the eigenvector of A corresponding to principal curvature κ₂, the unit vector in the direction of ${\displaystyle \mathbf {t} _{2}=v_{21}\mathbf {r} _{u}+v_{22}\mathbf {r} _{v}}$ is called the principal vector corresponding to the principal curvature κ₂.

참고 항목

• 스플라인(수학)
• 표면 정규

참조

외부 링크

• 자바 애플릿은 나선형 표면의 파라메트리제이션(parametrization)을 보여준다.
• m-ART(3d) - 파라메트릭 표면을 생성하고 시각화하는 iPad/iPhone 애플리케이션.