리만-힐버트 문제

수학에서 리만-힐버트 문제는 베른하르트 리만과 데이비드 힐베르트의 이름을 딴 것으로 복잡한 평면의 미분 방정식 연구에서 발생하는 문제의 한 종류다.리만-힐버트 문제에 대한 몇 가지 존재 이론은 마크 크레인, 이스라엘 고베르크 등이 만들어냈다(1981년 클랜시와 고베르크의 책 참조).null

리만 문제

${\displaystyle \Sigma }}$이(가)${\displaystyle {}_{}}\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ + ${\$ _${+}($내부)와 ${\displaystyle {-}_{}}$ -$${\$displaystyle \Sigma$ _${-}($외부)로 표시된 평면을 복잡한 평면에서 닫힌 단순 윤곽선이라고$$ 가정합시다.리만의 박사학위 논문(1996년 판디(1996) 참조)에서 고찰한 고전적 문제는 함수를 찾는 것이었다.

${\displaystyle M_{+}(z)=u(z)+iv(z)}$

$\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$+ ${\$ 내부 분석: $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}$을(를) 따라 M의₊ 경계 값이 방정식을 만족하도록$$$$ 함

${\displaystyle a(z)u(z)-b(z)v(z)=c(z)}$

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ∈ ${\displaystyle z\in \Sigma }$에 대해$,$ 여기서 a, b, c는 실제 가치 함수(Bitsadze 2001) harv 오류: no target: CITREFBitsze2001 (도움말)null

리만 매핑 정리에서는 ${\displaystyle \Sigma }}$이(가$$) 단위 원일 때의 경우를 충분히 고려한다(Pandey 1996, §2.2).이 경우 슈바르츠 반사와 함께 M₊(z)을 구할 수 있다.

${\displaystyle M_{-}(z)={\overline {M_{+}\왼쪽({\bar {{z}^{-1}\오른쪽)}}}.}$

단위 원 σ에는 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle z\stackrel{}{}}$ $"{\$ 등이 있다.

${\displaystyle M_{-}(z)={\overline {M_{+}(z)}},\quad z\in \Sigma .}$

따라서 문제는 유닛 디스크의 내부와 외부에서 각각 기능₊ M(z)과₋ M(z) 분석물을 찾는 것으로 줄어들어 유닛 서클에서 발생한다.

${\displaystyle {\frac {a(z)+ib(z)}}}{2}}M_{+}(z)+{\frac {a(z)-ib(z)}{2}}M_{-}(z)=c(z),}}$

또한 무한대의 조건이 다음을 유지하도록 한다.

${\displaystyle \lim _{z\to \infit }M_{-}(z)={\overline {{M}_{+}(0)}}}}.}$

힐버트 문제

힐버트의 일반화는 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}$에 있는 것과 같이 σ의 내부와 외부에서 각각 M과₊ M 분석물을₋ 찾으려고 시도하는 문제를 고려하는 것이었다.

${\displaystyle \알파(z)M_{+}(z)+\beta(z)M_{-}(z)=c(z)}$

여기서 α, β 및 c는 임의로 주어진 복합 값 함수(더 이상 복잡한 결합체만이 아님)이다.null

리만-힐버트 문제

힐버트의 일반화뿐만 아니라 리만 문제에서도 등고선 ${\displaystyle \Sigma }$는 단순했다.완전한 리만-힐버트 문제는 윤곽선이 교차점이 없는 여러 방향의 부드러운 곡선의 조합으로 구성될 수 있도록 한다.그런 다음 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$에 대한 점의 지수에 따라 "contour"의 +와 - 면은 결정될 수 있다$.$ Riemann-Hilbert 문제는 equation ${\displaysty \Sigma }$의 +와 - 면에 각각 한 쌍의 함수인₊ M과 M 분석법을₋ 찾는 것이다$.$

${\displaystyle \알파(z)M_{+}(z)+\beta(z)M_{-}(z)=c(z)}$

모든 z ∈ σ에 대하여.

일반화: 인자화 문제

지향적인 "내용" σ(기술적으로: 복잡한 평면에서 무한한 자기 간섭점 없는 매끄러운 곡선의 지향적인 결합)을 감안할 때, 리만-힐버트 요인화 문제는 다음과 같다.null

등고선 σ에 정의된 행렬 함수 V를 주어, 다음과 같은 두 조건이 충족되도록 σ의 보완에 정의된 홀로모르픽 행렬 함수 M을 찾는다.

1. 만약 우리가₊ approach에 접근할 때 M과₋ M이 M의 비접전성 한계를 나타낸다면, σ의 모든 비간격 지점에서 M = MV이다₊₋.
2. z는 σ 밖의 어떤 방향을 따라 무한대로 가는 경향이 있기 때문에, M은 정체성 행렬을 지향한다.

가장 간단한 경우 V는 부드럽고 통합이 가능하다.더 복잡한 경우 그것은 특이점을 가질 수 있다.한계치₊ M과 M은₋ 고전적이고 연속적일 수도 있고 L의₂ 의미로 취할 수도 있다.등고선 Ⅱ의 끝점 또는 교차점에서는 점프 조건이 정의되지 않는다. 특이성을 보장하기 위해 해당 지점 주변의 M 성장에 대한 제약조건을 제시해야 한다(아래 스칼라 문제 참조).null

애플리케이션 대 통합성 이론

Riemann-Hilbert 문제는 몇 가지 관련 등급의 문제에 적용된다.null

A. 통합 가능한 모델

라인상의 1+1 차원 부분 미분방정식이나 주기적인 문제 또는 심지어 초기 경계 값 문제(Fokas(2002)에 대한 Cauchy 문제와 관련된 역 산란 또는 역 스펙트럼 문제는 리만-힐버트 문제로 나타낼 수 있다.마찬가지로 Pinlevé 방정식의 역 모노드로미 문제도 리만-힐버트 문제로 명시될 수 있다.

B. 직교 다항식, 랜덤 행렬

등고선에 대한 가중치를 부여하면, 해당 직교 다항식은 리만-힐버트 인자화 문제 해결(Fokas, Its & Kitaev(1992)을 통해 계산할 수 있다.또한 여러 고전적 앙상블에서 랜덤 행렬의 고유값 분포는 직교 다항식(예: Deift (1999) harvtxt error: no target: CITREFDeift1999 (도움말)을 포함하는 계산으로 축소된다.

C. 결합 확률

가장 유명한 예는 무작위 순열의 길이 분포에 관한 백, 디프트 & 요한슨의 정리(1999)이다.위의 B의 연구와 함께, 이른바 '통합가능성'에 대한 최초의 엄격한 조사의 하나이다.그러나 집적성 이론과 무작위 행렬의 다양한 고전적 앙상블 사이의 연결고리는 다이슨의 작품(예:다이슨(1976년).

Riemann-Hilbert 문제에 대한 수치 분석은 통합 가능한 PDE를 수치적으로 해결하는 효과적인 방법을 제공할 수 있다(예: 참조).트로그돈&올버(2016년).null

점근성 용액에 사용

특히 리만-힐버트 인자화 문제는 위의 세 가지 문제(예를 들어 시간이 무한대로 가거나 분산계수가 0으로 가거나 다항식도가 무한대로 가거나 순열의 크기가 무한대로 가듯이)에 대한 점증적 값을 추출하는 데 사용된다.리만-힐버트 문제 해결책의 점근거동을 추출하는 방법이 있는데, 이는 정지상 방법 및 지수적 통합에 적용되는 가장 가파른 하강 방법과 유사하다.null

고전적인 점근법들과 유사하게, 한 "변형" 리만-힐버트 문제들은 명백하게 해결될 수 없다.이른바 '비선형'의 정지상 방식은 디프트앤조우(1993)가 잇츠(1982년)와 마나코프(1979년) 하브텍스트 오류: 대상이 없음: CITREFManakov1979(도움말) 때문이다.Deift-Joo 분석의 중요한 요소는 등고선에 있는 단일한 통합의 점증적 분석이다.관련 커널은 표준 Cauchy 커널(Gakhov(2001) harvtxt 오류: no target: CITREFGakhov2001(도움말); 또한 cf. 이하 스칼라 예시 참조)이다.null

고정 위상의 비선형적인 방법의 본질적인 확장은 대부분의 용도에서 결정적이었던 Deift, Venakides & Zoo(1997)에 의한 이른바 유한 격차 g-기능 변환의 도입이었다.이것은 Lax, Levermore, Venakides의 연구에서 영감을 얻었는데, 그는 KdV 방정식의 작은 분산 한계 분석을 "정전기" 유형의 가변적 문제인 일부 외부 분야에서 로그 전위에 대한 최대화 문제의 분석으로 축소시켰다.g-함수는 최대화 "균형화" 척도의 로그 변환이다.KdV 방정식의 작은 산포 한계 분석은 사실 "실제" 직교 다항식(즉, 실제 선에 정의된 직교성 조건)과 에르미타르의 무작위 행렬에 관한 대부분의 연구의 분석 근거를 제공했다.null

아마도 지금까지 이론의 가장 정교한 연장은 "비자신성인" 사례, 즉 밑바탕에 깔린 Lax 연산자(Lax pair의 첫 번째 구성요소)가 자기자신이 아닌 경우, 캄비시스, 맥러플린 & 밀러(2003)에 의해 적용된 것일 것이다.이 경우 실제 "스티븐 강하 등고선"을 정의하고 계산한다.해당 변동 문제는 최대 최소 문제인데, "균형화" 측정을 최소화하는 윤곽선을 찾는다.변이성 문제와 규칙적인 해결책의 존재에 대한 증거는 외부 분야의 일부 조건 하에서 캄비시스 & 라흐마노프(2005)에서 수행되었다. 발생되는 윤곽선은 1980년대에 허버트 R에 의해 정의되고 연구된 "S-곡선"이다.Stahl, Andrei A.곤차르와 에브게니 A 라흐마노프.null

리만-힐버트 요인화 문제에 대한 대체 무증상 분석은 맥러플린&밀러(2006)에 제공되며, 특히 점프 매트릭스에 분석적 확장이 없을 때 편리하다.그들의 방법은 등고선에 있는 단수집적분들의 점근법적 분석보다는 d-bar 문제의 분석에 기초한다.분석적 확장이 없는 점프 매트릭스를 처리하는 대체 방법이 Varzugin(1996)에서 도입되었다.null

리만-힐버트 문제의 기저 공간이 콤팩트한 과대망상 리만 표면인 캄비시스 & 테슐(2012년)에 또 다른 이론의 연장이 나타난다.정확한 요인화 문제는 리만-로치 정리 때문에 더 이상 홀로모픽이 아니라 오히려 메로모픽이다.관련된 단수 커널은 일반적인 코치 커널이 아니라 표면에서 자연적으로 정의된 메로모르픽 미분류를 포함하는 보다 일반적인 커널이다(예: 캄비시스 & 테슐(2012년)의 부록 참조).리만-힐버트 문제 변형 이론은 "단거리" 섭동 하에서 무한 주기 토다 격자의 안정성 문제(예: 유한한 수의 입자의 섭동)에 적용된다.null

문헌에서 연구된 대부분의 리만-힐버트 요소화 문제는 2차원적이다. 즉, 알려지지 않은 행렬은 차원 2이다.아르노 쿠이즐라르스와 협력자들에 의해 고차원적인 문제가 연구되었다(예: 참조).쿠이즐라르스 & 로페스(2015년).null

예제: 스칼라 리만-힐버트 인자화 문제

V = 2, σ이 z = -1 ~ z = 1의 등고선이라고 가정해 보십시오. M이 경계라고 가정하면 M의 해결책은 무엇인가?

이를 해결하기 위해 $방정식{\displaystyle {}_{}}$M + = ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$-$$V {\$displaystyle$ M_${+}=M_{-}V}$의 로그를 살펴보자$.$

${\displaystyle \log M_{+}(z)=\log M_{-}(z)+\log 2.}$

M은 1을 경향이 있으므로 M → 0을 z → ∞으로 로그한다.

Cauchy 변환에 대한 표준 ${\displaystyle \mathrm{사실}}$은 $C{\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle {}_{}}$= I ${\displaystyle C_{+}-C_{-}=I}$이며, $여기$서${\displaystyle {}_{}}$C +${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ -$${\$displaysty C_{+},C_{-}$는 σ 이하로부터 Cauchy 변환의 한계이므로$$, 우리는 get을 얻는다.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma _{+}}{\frac {\log 2}{\zeta -z}}\,d\zeta -{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma _{-}}{\frac {\log {2}}{\zeta -z}}\,d\zeta =\log 2{\text{ when }}z\in \Sigma .}$

리만-힐버트 요인화 문제의 해법 M은 독특하기 때문에(리우빌의 정리를 쉽게 응용(복잡한 분석)), 속호츠키-플멜지 정리가 해답을 준다.우리는 얻는다.

${\displaystyle \log M={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma }{\frac {\log {2}}{\zeta -z}}d\zeta ={\frac {\log 2}{2\pi i}}\int _{-1-z}^{1-z}{\frac {1}{\zeta }}d\zeta ={\frac {\log 2}{2\pi i}}\log {\frac {z-1}{z+1}},}$

즉

${\displaystyle M(z)=\left({\frac {z-1}{z+1}}\오른쪽)^{\frac {\log{2}}{2\pi i}}}}}$

등고선 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$에 분기 컷이 있음$.$

확인:

${\displaystyle {\reasoned}M_{+}(0)&=(e^{i\pi })^{\frac {\log 2}{2\pi i}}=e^{\frac {\log 2}{2}}\\M_{-}(0)&=(e^{-i\pi })^{\frac {\log 2}{2\pi i}}=e^{-{\frac {\log 2}{2}}}\end{aligned}}}$

그러므로,

${\displaystyle M_{+}(0)=M_{-}(0)e^{\log {2}}=M_{-}(0)2.}$

만약 문제가 스칼라가 아니라면, 쉽게 로그인을 할 수 없다.일반적으로 명시적인 해결책은 매우 드물다.null

COVARAT 2: 특수 지점 1과 -1 근처에 있는 M의 경계(또는 최소한 블로업에 대한 제약)가 중요하다.그렇지 않으면 양식의 모든 기능

${\displaystyle M(z)=\왼쪽({\frac {z-1}{z+1}:{z+1}\오른쪽)^{\frac {\log {2}}:{2\pi i}+{\frac {a}{z-1}{b}{z+1}}}}}}}}}}}$

또한 해결책이다.일반적으로 문제가 잘 해결되도록 특수 지점(점프 등고선 또는 교차점의 끝점)에서 성장에 관한 조건이 필요하다.null

참조

• Baik, J.; Deift, P.; Johansson, K. (1999), "On the distribution of the length of the longest increasing subsequence of random permutations", Journal of the American Mathematical Society, 12 (4): 1119–1178, doi:10.1090/S0894-0347-99-00307-0.
• Bitsadze, A.V. (2001) [1994], "Boundary value problems of analytic function theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Clancey, K.; Gohberg, I. (1981), Factorization of matrix functions and singular integral operators, Oper. Theory: Advances and Appl., vol. 3, Basel-Boston-Stuttgart: Birkhäuser Verlag.
• Deift, Percy A. (2000), Orthogonal Polynomials and Random Matrices, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2695-9.
• Deift, Percy; Venakides, S.; Zhou, X. (1997), New Results in Small Dispersion KdV by an Extension of the Steepest Descent Method for Riemann–Hilbert Problems, International Mathematical Research Notices, pp. 286–299.
• Deift, Percy; Zhou, X. (1993), "A Steepest Descent Method for Oscillatory Riemann–Hilbert Problems; Asymptotics for the MKdV Equation", Annals of Mathematics, Second Series, 137 (2): 295–368, arXiv:math/9201261, doi:10.2307/2946540, JSTOR 2946540.
• Dyson, Freeman (1976), "Fredholm Determinants and Inverse Scattering Problems", Communications in Mathematical Physics, 47 (3): 171–183.
• Fokas, A.S. (2002), "Integrable nonlinear evolution equations on the half-line", Communications in Mathematical Physics, 230 (1): 1–39.
• Fokas, A.S.; Its, A.R.; Kitaev, A.V. (1992), "The isomonodromy approach to matrix models in 2D quantum gravity", Communications in Mathematical Physics, 147 (2): 395–430.
• Khimshiashvili, G. (2001) [1994], "Birkhoff factorization", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Its, A.R. (1982), "Asymptotics of Solutions of the Nonlinear Schrödinger Equation and Isomonodromic Deformations of Systems of Linear Differential Equations", Soviet Mathematics - Doklady, 24 (3): 14–18.
• Its, A.R. (2003), "The Riemann–Hilbert Problem and Integrable Systems" (PDF), Notices of the AMS, 50 (11): 1389–1400.
• Kamvissis, S.; McLaughlin, K.; Miller, P. (2003), Semiclassical Soliton Ensembles for the Focusing Nonlinear Schrödinger Equation, Annals of Mathematics, Princeton: Princeton University Press.
• Kamvissis, S.; Rakhmanov, E.A. (2005), "Existence and Regularity for an Energy Maximization Problem in Two Dimensions", Journal of Mathematical Physics, 46 (8): 083505, arXiv:0907.5571, Bibcode:2005JMP....46h3505K, doi:10.1063/1.1985069.
• Kamvissis, S.; Teschl, G. (2012), "Long-time asymptotics of the periodic Toda lattice under short-range perturbations", J. Math. Phys., 53 (7): 073706, arXiv:0705.0346, Bibcode:2012JMP....53g3706K, doi:10.1063/1.4731768.
• Kuijlaars, Arno; López, Abey (2015), "A vector equilibrium problem for the normal matrix model, and multiple orthogonal polynomials on a star", Nonlinearity, 28 (2): 347–406, arXiv:1401.2419, Bibcode:2015Nonli..28..347K, doi:10.1088/0951-7715/28/2/347.
• Lax, Peter D.; Levermore, C.D. (1983), "The Zero Dispersion Limit for the KdV Equation I-III", Communications on Pure and Applied Mathematics, 36 (3): 253–290, 571–593, 809–829, doi:10.1002/cpa.3160360302.
• Manakov, S.V. (1974), "Nonlinear Fraunnhofer diffraction", Sov. Phys. JETP, 38: 693–696, Bibcode:1974JETP...38..693M.
• McLaughlin, K.; Miller, P. (2006), "The d-bar steepest descent method and the asymptotic behavior of polynomials orthogonal on the unit circle with fixed and exponentially varying nonanalytic weights", IMRP: 1–77.
• Pandey, J.N. (1996), The Hilbert transform of Schwartz distributions and applications, Wiley-Interscience.
• Varzugin, G.G. (1996), "Asymptotics of oscillatory Riemann-Hilbert problems", Journal of Mathematical Physics, 37 (11): 5869–5892, doi:10.1063/1.531706.
• Trogdon, Thomas; Olver, Sheehan (2016), Riemann–Hilbert Problems, Their Numerical Solution, and the Computation of Nonlinear Special Functions, SIAM.

외부 링크

• Gakhov, F.D. (2001) [1994], "Riemann–Hilbert problem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press