스미스-볼터라-캔터 세트

수학에서 스미스-볼터라-칸토어 집합(SVC), 지방 칸토어 집합 또는 can-칸토어 집합은^[1] 어느 곳에서도 밀도가 없는(특히 간격이 없는) 실선 ℝ의 점 집합의 예시로서, 양수치가 있다.스미스-볼터라-칸토어 세트는 수학자인 헨리 스미스, 비토 볼테라, 게오르크 칸토어의 이름을 따서 지어졌다.1875년 논문에서 스미스는 실제 라인에 대한 근거 없는 긍정적 조치의 집합에 대해 논의했고,^[2] 볼테라는 1881년에 이와 유사한 사례를 소개했다.^[3]오늘날 우리가 알고 있는 칸토어는 1883년에 그 뒤를 이었다.Smith-Volterra-Cantor 세트는 토폴로지적으로 3분의 1 중간 칸토르 세트와 동일하다.

건설

캔터 세트의 구조와 유사하게, 스미스-볼터라-캔터 세트는 단위 간격[0, 1]에서 일정한 간격을 제거하여 구성된다.

[0, 1] 간격에서 중간 1/4을 제거하는 것으로 공정이 시작되므로(중간점 양쪽에서 1/8을 1/2로 제거하는 것과 동일) 나머지 집합은 다음과 같다.

${\displaystyle \left[0,{\frac {3}{8}\right]\cup \left[{\frac {5}{8},1\right].}$

다음 단계는 나머지 두ⁿ⁻¹ 간격의 중간에서 폭 1/4의ⁿ 하위 간격을 제거하는 것으로 구성된다.따라서 두 번째 단계에서는 간격(5/32, 7/32), (25/32, 27/32)이 제거되어

${\displaystyle \left[0,{\frac {5}{32}\right]\컵 \left[{7}{7}{7}}{8}\right]\컵 \frac {5}{8}, {\frac}{32}}}\right]\cupt[{27,{32,{32,}}}}}}}}}}}}rig}}}}}}}}}}}}}}\cuperi1\copen.}$

이 제거 작업을 무한정 계속하면 Smith-Volterra-Canter 집합은 제거되지 않는 점 집합이다.아래 이미지는 이 프로세스의 초기 세트와 5번의 반복을 보여준다.

Smith-Volterra-Cantor 집합의 구조에서 각각의 후속 반복은 나머지 간격에서 비례적으로 덜 제거된다.이는 칸토어 세트와 대조적으로 각 구간에서 제거된 비율이 일정하게 유지된다.따라서 전자는 플러스 척도를 갖는 반면 후자는 제로 척도를 갖는 것이다.

특성.

시공에 따라 스미스-볼터라-칸토어 세트는 간격이 없으므로 내부 공간이 비어 있다.닫힌 집합의 순서의 교차점이기도 하며, 이는 닫힌다는 것을 의미한다.공정 중 전체 길이의 간격

${\displaystyle \sum \sum _{n=0}^{\frac {2^{n}{2n+2}}={\frac {1}{1}{4}}}}}{\frac {1}}}{8}}}+{16}}+\cdots ={\frac {1}2}},},},}},}$

[0, 1]에서 제거되며, 나머지 점의 집합이 1/2의 양의 측정값을 갖는다는 것을 보여준다.이로써 스미스-볼터라-칸토어는 경계선이 양의 르베그 측도를 갖는 폐쇄형 집합의 예가 된다.

기타 지방 캔터 세트

일반적으로 알고리즘의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$단계에서$$^th 남은 각 하위간격에서$$ ${\displaystyle {rn}_{}}$ ${\$를 제거하고 캔터 유사 집합으로 끝낼 수 있다.결과 집합은 시퀀스의 합계가 초기 간격의 측정값보다 작은 경우에만 양의 측정값을 갖는다.예를 들어, 길이 $중간$ 간격(${\displaystyle n^{}}$ ${\$ a$^{n})$이 $각{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$ 반복에$$^th 대해$$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]}}$에서 제거되었다고 가정하고, 약 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{}}}$ ${\displaystystyleq a\dfrac${1$}{1$ 그런 다음 결과 집합이 측정된다고 가정합시다.

${\displaystyle {\begin{aligned}1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a^{n+1}&=1-a\sum _{n=0}^{\infty }(2a)^{n}\\&=1-a{\dfrac {1}{1-2a}}\\&={\dfrac {1-3a}{1-2a}}\end{aligned}}}$

$이{\displaystyle \mathrm{}}$ 구조에서는 ${\$$displaystyle a$$}$이${\displaystyle (}$가) ${\displaystyle 1}$에서 $1$로$($가$)$ 이동하는 {\$displaystyle$ a$}$이(가) 1 / 3 {\displaystyle 1/$3$$}$에서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystystyle 0}$까지($)$ 가능하지 않음).

Smith-Volterra-Cantor 세트의 데카르트 제품을 사용하여 0이 아닌 측정으로 더 높은 차원에서 완전히 분리된 세트를 찾을 수 있다.이러한 유형의 2차원 세트에 덴조이-리츠 정리를 적용함으로써, 곡선의 포인트가 플러스 면적을 갖는 요르단 곡선인 오스굿 곡선을 찾을 수 있다.^[4]

참고 항목

• SVC는 볼테라의 기능 구성에 사용된다(외부 링크 참조).
• SVC는 조던이 측정할 수 없는 소형 세트의 예입니다, 조던 측정값# 참조.좀 더 복잡한 세트로 확장.
• SVC의 표시기 기능은 (0,1)에서 Riemann을 통합할 수 없는 경계함수의 예로서, 더욱이 Riemann 통합함수와 거의 모든 곳에서 동일하지 않다. Riemann 통합#Examples를 참조한다.

참조

원천

• 브레수드, 데이비드 마리우스(2003년).미적분학의 기본 정리와의 씨름: 볼테라의 기능, 데이비드 마리우스 브레수드의 대화
• 스미스, 헨리 J.S. (1874년)."불연속 기능의 통합에 대하여"런던 수학 학회의 진행.첫 번째 시리즈.6: 140–153