리만 Xi 함수

수학에서 리만 Xi 함수는 리만 제타 함수의 변종이며, 특히 단순한 기능 방정식을 갖도록 정의된다. 그 함수는 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)을 기리기 위해 명명되었다.

정의

리만의 원래 소문자 "xi"-함수인 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi$}이$($가) 대문자 ξ ${\$그리스 문자 "Xi")로 이름이 바뀌었다$$. Landau의 소문자 ${\displaystyle \xi }$ ${\$xi")은 다음과^[1] 같이 정의된다.

${\displaystyle \xi(s)={\frac {1}{1}{2}}초(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\오른쪽)\제타(s)}$

$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ 여기서 ${\displaystyle \zeta }$(${\displaystyle }$s ) ${\displaystyle \zeta (s)$는 Riemann 제타 함수를 나타내고$$ ${\displaystyle \gamma }$(${\displaystyle }$) ${\displaysty \Gamma(s)}$은 감마 함수를 나타낸다$$.

${\displaystyle 랜도}$의 ' ${\$에 대한 함수 방정식(또는 반사 공식)은 다음과$$ 같다.

$\displaystyle \xi(1-s)=\xi(s)~.}$

란다우(Landau)의$$ 대문자 ${\displaystyle Ⅱ\mathrm{}}$ ${\$을(를) 재적용한 Rieman의 본래의 기능은 만족한다.^[1]

${\displaystyle \mathrm{\xi }(z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{\xi }}{}(1\frac{\mathrm{}}{}}$ 2${\displaystyle }$+ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle i}$ )${\$

그리고 기능 방정식을 준수한다.

${\displaystyle \Xi(-z)=\Xi(z)~.}$

두 기능 모두 실제 논쟁에 대해 전체적이고 순전히 현실적이다.

가치

양수 짝수의 일반적인 형태는

${\displaystyle \xi(2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{n(2n)!}}}{2n}^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$

여기서 B는_n n번째 베르누이 숫자를 나타낸다. 예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle \xi(2)={\frac {\pi }{6}}}$

시리즈 표현

▼ ${\displaystyle \xi}$ $함수$의 영상 시리즈 확장 가능

${\displaystyle {\frac {d}{dz}\ln \xi \left\frac {-z}}}\sum _{n=0}^{\inflit }\n+1}z^{n}}}},}$

어디에

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}}\왼쪽.{\frac{d^{n}}\왼쪽[s^{n-1}\log \xi(s)\right]\right _{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-{\frac{1}{\rho }}\right]^{n}\right],}$

합계가 ρ을 초과하는 경우, ${\displaystyle \Im \mathrm{}}$ (${\displaystyle \rho }$ ) $displaystyle \Im (\rho$) $}$의 순서로 제타 함수의 비경쟁 0이 된다$.$

이 팽창은 리만의 기준에서 특히 중요한 역할을 하는데, 리만 가설은 모든 양의 n에 대해 λ_n > 0을 갖는 것과 동등하다고 기술하고 있다.

하다마드 제품

단순한 무한 확장 제품

${\displaystyle \xi(s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\오른쪽)\!}$

여기서 ρ은 ξ의 뿌리에 걸쳐 있다.

확장의 수렴을 보장하기 위해 제품을 0의 "매칭 쌍"으로 인수해야 한다. 즉, ρ과 1-ρ 형식의 0 쌍에 대한 요인은 함께 그룹화해야 한다.

참조

추가 참조사항

• Weisstein, Eric W. "Xi-Function". MathWorld.
• Keiper, J.B. (1992). "Power series expansions of Riemann's xi function". Mathematics of Computation. 58 (198): 765–773. Bibcode:1992MaCom..58..765K. doi:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 Riemann Ⅱ 함수의 자료가 통합되어 있다.