리만 매핑 정리

수학적 분석 → 복합적 분석
복합분석
콤플렉스
실수 상수 복합면 콤플렉스 결합체 단위복합번호
복합함수
복합값함수 분석함수 홀로모르픽 함수 코치-리만 방정식 포멀 파워 시리즈
기본 이론
0과 극 코치의 적분 정리 지역 원시 코치의 적분식 권선번호 로랑 시리즈 절연 특이점 잔류 정리 등각도 슈바르츠 보조정리 조화함수 라플라스 방정식
기하함수 이론
사람
아우구스틴루이코치 레온하르트 오일러 카를 프리드리히 가우스 자크 하다마르 오카 기요시 베른하르트 리만 카를 위어스트라스
수학포털
v t

복잡한 분석에서, 리만 매핑 정리는 U가 C의 전부가 아닌 복잡한 수평면 C의 개방된 부분 집합체일 경우, U로부터 개방된 단위 디스크로 바이홀로모르픽 매핑 f(즉, 역이 홀로모르픽인 비주사적 홀로모르픽 매핑)가 존재한다고 명시한다.

${\displaystyle D=\{z\in \mathbf {C} : z <1\}}$

이 매핑은 리만 매핑이라고 알려져 있다.^[1]null

직관적으로 U가 단순히 연결되어 있다는 조건은 U가 어떤 "구멍"도 가지고 있지 않다는 것을 의미한다.f가 바이홀모픽이라는 사실은 그것이 정합 지도라는 것을 의미하며 따라서 각도를 보존한다.직관적으로 그러한 지도는 충분히 작은 도형의 모양을 보존하면서 회전하고 스케일링(반사하지는 않음)할 수 있다.null

Henri Poincaré는 지도 f가 본질적으로 고유하다는 것을 증명했다: z가₀ U의 요소이고 φ이 임의의 각도인 경우, f(z₀) = 0이고 point z에서₀ f의 파생적 인수가 φ과 같을 정도로 위와 같은 f가 정확하게 존재한다.이것은 슈바르츠 보조정리법의 쉬운 결과다.null

정리의 핵심으로서, 둘 다 구의 최소 두 지점이 없는 리만 구의 간단히 연결된 두 개의 열린 하위 집합은 서로 일치하게 매핑될 수 있다.null

역사

이 정리는 1851년 베른하르트 리만 박사가 박사학위 논문에서 (U의 경계가 조각적으로 부드럽다는 가정하에) 명시하였다.Lars Ahlfors는 정리의 원래 공식화에 대해 "현대적인 방법이라도 어떤 증거 시도에도 저항할 수 있는 용어로 마침내 공식화되었다"^[2]고 쓴 적이 있다.리만의 결점 있는 증거는 당시 건전하다고 여겨졌던 디리클레트 원리(리만 자신이 지명한 것)에 달려 있었다.그러나 칼 위어스트라스는 이 원칙이 보편적으로 타당하지 않다는 것을 발견했다.이후 데이비드 힐버트는 리만이 협력하고 있다는 가설 하에서 디리클레의 원리가 상당 부분 유효하다는 것을 증명할 수 있었다.그러나, 디리클레 원칙이 유효하기 위해서는 U의 경계와 관련된 특정 가설이 필요하며, 일반적으로 단순히 연결된 도메인에는 유효하지 않다.null

그 정리에 대한 최초의 엄격한 증거는 1900년 윌리엄 포그 오스굿에 의해 주어졌다.그는 C자체가 아닌 임의의 단순하게 연결된 도메인에서 그린의 기능의 존재를 증명했다; 이것은 리만 매핑 정리를 확립했다.^[3]null

콘스탄틴 캐러테오도리는 1912년에 정리의 또 다른 증거를 제시했는데, 이것은 잠재력 이론보다는 순전히 기능 이론의 방법에 의존한 최초의 것이었다.^[4]그의 증명서는 몬텔의 정상가족 개념을 사용했는데, 이것은 교과서에서 증명하는 표준 방법이 되었다.^[5]캐러테오도리는 1913년에 도메인들 사이의 리만 매핑이 경계의 동형성으로 확장될 수 있는지에 대한 추가적인 문제를 해결함으로써 계속되었다(캐러테오도리의 정리 참조).^[6]null

카라테오도리의 증거는 리만 표면을 사용했고 2년 후 폴 코에베에 의해 필요 없는 방식으로 단순화되었다.또 다른 증거는, Lipot Fejér와 Frigyes Riesz 때문에, 1922년에 출판되었고, 이전의 것들보다 다소 짧았다.이 증거에서 리만의 증거에서처럼, 극한 문제의 해결책으로 원하는 맵핑을 얻어냈다.페제르-리제스 증명서는 알렉산더 오스트로우스키와 카라테오도리에 의해 더욱 단순화되었다.^{[citation needed]}null

중요도

리만 매핑 정리의 고유성과 파워를 상세히 기술한 포인트는 다음과 같다.

• 비교적 간단한 리만 매핑(예를 들어 원 내부에서부터 사각형 내부까지의 지도)에도 기본적인 기능만을 사용하는 명시적인 공식은 없다.
• 예를 들어, 평면 내에서 간단히 연결된 오픈 세트는 매우 복잡할 수 있다. 예를 들어, 경계는 세트 자체가 경계로 되어 있더라도 무한 길이의 어느 곳에서도 구별할 수 없는 프랙탈 곡선이 될 수 있다.이런 세트가 멋지고 규칙적인 유닛 디스크에 각도 보존 방식으로 매핑될 수 있다는 사실은 직관에 반하는 것으로 보인다.
• 더 복잡한 영역에 대한 리만 매핑 정리의 아날로그는 사실이 아니다.다음으로 간단한 경우는 이중으로 연결된 도메인(구멍이 하나 있는 도메인)이다.어떤 두배로 그 구멍 디스크를 제외하고는 그 구멍 비행기 conformally 0<>에 약간의 환주{z:r<>z<1};r<1 없기 때문에, 환주{z:1<>z<>2}conformally은 앤은 동등하지는 않는다는데 환형 관내 사이에 역전과 곱셈을 제외하고 상수에 정각의 지도는 동일한지 연결 영역.Ulus{z:1<>z.< 4} (극단 길이를 사용하여 증명할 수 있듯이).
• 3개 이상의 실제 차원으로 이루어진 리만 매핑 정리의 아날로그는 사실이 아니다.3차원의 순응 지도 집단은 매우 빈약하며, 본질적으로 뫼비우스의 변형만을 포함하고 있다(리우빌의 정리 참조).
• 더 높은 차원의 임의 동형성이 허용되더라도 볼에 대한 동형성이 아닌 수축성 다지관(예: 화이트헤드 연속체)을 발견할 수 있다.
• 몇 가지 복잡한 변수에서 리만 지도 정리라는 아날로그도 사실이 아니다.$C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n})($${\displaystyle 2}$ 2$${\$displaystyle n\geq 2})$에서는 공과 폴리디스크가 모두 단순하게 연결되지만, 그 사이에 생동형 지도가 없다.^[7]

일반 패밀리를 통한 증거

간단한 연결

정리.오픈 도메인 G ⊂ ℂ의 경우, 다음 조건은 동일하다.^[8]

1. G는 간단히 연결된다.
2. G의 닫힌 조각과 부드러운 곡선을 중심으로 한 모든 홀모형 함수의 적분은 사라짐.
3. G의 모든 홀모픽 함수는 홀모픽 함수의 파생물이다.
4. G의 모든 무반사성 홀로모르프 함수 f는 홀로모르프 로그가 있다.
5. G의 모든 무반사성 홀로모르픽 함수 g는 홀로모르픽 제곱근을 가지고 있다.
6. G에 포함되지 않은 경우, G에 있는 조각처럼 부드러운 닫힘 곡선의 구불구불한 w의 수는 0이다.
7. 확장된 복합 평면 ℂ ∪ {}}의 G 보수가 연결된다.

(1) ∆ (2)는 기준점 a가 G인 연속 닫힌 곡선은 연속적으로 상수 곡선 a로 변형될 수 있기 때문이다.따라서 곡선 위에 있는 fz의 선 적분은 0이다.

(2) ⇒ (3) 왜냐하면 a부터 z까지의 모든 조각처럼 매끄러운 경로에 대한 적분을 원시적인 정의에 사용할 수 있기 때문이다.null

(3) ⇒ (4) γ을 따라 fdf⁻¹/dz를 a에서 x까지 통합하여 로그의 분기를 부여한다.null

(4) ⇒ (5) 제곱근을 g (z) = exp f(z)/2로 취함으로써 여기서 f는 로그의 홀모형 선택이다.null

(5) ⇒ (6) γ이 조각처럼 닫힌 곡선이고 f가_n G 바깥 w에 대한 z - w의 연속 제곱근이라면, f_n ∘ γ 약 w의 구불구불한 숫자는 winding 약 0의 2배이다ⁿ.따라서 w에 대한 winding의 구불구불한 숫자는 모든 n에 대해 2로ⁿ 나누어져야 하므로 0이 되어야 한다.

(6) ⇒ (7) 그렇지 않은 경우 확장 평면 { { {}} \ G는 B와 A 경계에서 ∞이 있는 두 개의 개방 및 폐쇄 세트 A와 B의 분리 결합으로 작성할 수 있다.Δ > 0을 가장 짧은 유클리드 거리 A와 B가 되도록 하고 Δ에 길이 Δ/4의 사각형 그리드를 정사각형 중심에 A의 점 A로 구축한다.C는 A로부터 거리 Δ/4가 있는 모든 제곱의 결합의 콤팩트한 집합이 되도록 한다.C ∩ B = ∅ 및 ∂C가 A 또는 B를 충족하지 않음: G의 닫힌 직사각형 경로 finite의_j 유한한 수를 형성하는 G의 수평 및 수직 세그먼트로 구성된다. C를_i A를 포함하는 모든 제곱으로 간주하면 (2 π)⁻¹ ∫_∂C dg(z - a)는 a에 걸쳐 C의_i 구불구불구불구불한 숫자의 합계와 같으므로 1이 주어진다.반면에 a의_j 구불구불한 숫자의 합은 1과 같다.따라서 a에 대한 γ_j 중 적어도 하나의 구불구불한 숫자는 0이 아니다.null

(7) ⇒ (1) 이것은 순전히 위상론적인 주장이다.G의 z에 바탕을₀ 둔 조각처럼 매끄러운 닫힌 곡선이 되도록 하자. 근사치 approx은 z에₀ 바탕을 둔 길이 Δ > 0의 사각형 그리드에 있는 직사각형 경로와 같은 호모토피 등급에 있다. 그러한 직사각형 경로는 N 연속적으로 지시된 수직 및 수평면의 연속에 의해 결정된다.N에 대한 유도에 의해, 그러한 경로는 그리드의 한 모퉁이에 있는 일정한 경로로 변형될 수 있다.경로가 점 z에서₁ 교차하는 경우, 길이 < N의 두 개의 직사각형 경로로 분할되므로, 기본 그룹의 유도 가설과 기본 특성에 의해 z의₁ 상수 경로로 변형될 수 있다.추론은 "동북방 논증"을 따른다.^[9][10] 즉, 비자기간 교차 경로에는 실제 부분이 가장 큰 코너 z₀(급성)와 가상 부분이 가장 큰 코너 z(동북방)가 있을 것이다.필요할 경우 역방향으로, 경로는 z - Δ에서 z로₀₀, 그리고 n ≥ 1에 대해₀ w = z₀ - i n Δ로, 그리고 w₀ - Δ로 좌회전한다. R은 이러한 정점을 가진 열린 직사각형이 되도록 한다.경로의 권선 번호는 z에서₀ w까지₀ 수직 세그먼트의 오른쪽 점의 경우 0이고 오른쪽의 점의 경우 -1이다. 따라서 R 내부.권선수는 G에서 0이므로 R은 G에 위치한다. z가 경로의 점이라면 G에 위치해야 하며, z가 경로에 위치하지 않고 ∂R에 위치하면 연속성에 의해 z에 대한 권선수는 -1이므로 z도 G에 위치해야 한다.따라서 R ∪ ∂ ∂ R g G. 그러나 이 경우 네 번째까지 직사각형의 세 면을 교체하면 경로가 변형될 수 있으며, 그 결과 두 개의 변이 줄어들 수 있다.(자체 교차 허용)null

리만 매핑 정리

• 위어스트라스의 수렴 정리.일련의 홀로모픽 함수의 콤팩타에 대한 균일한 한계는 홀로모픽이며, 파생상품의 경우에도 유사하다.

이것은 첫 번째 진술에 대한 모레라의 정리의 즉각적인 결과물이다.Cauchy의 통합 공식은 파생상품에 대한 공식을 제공하며, 파생상품도 콤팩타에 균일하게 수렴되는지 확인하는 데 사용할 수 있다.^[11]

• 후르비츠의 정리.개방된 도메인에서 일련의 무반사성 홀로모픽 함수가 콤팩타에 대해 균일한 한도를 갖는 경우, 그 한계는 동일하게 0이거나 무반사적이다.개방된 도메인에서 일련의 비생산적인 홀모픽 함수가 compacta에 대해 균일한 한도를 갖는 경우, 한계는 일정하거나 한계는 비생산적이다.

한계 함수가 0이 아닌 경우 0을 분리해야 한다.승수가 있는 0은 홀모픽 함수 g에 대해 권선 번호(2 i π)⁻¹ ∫_C g(z)⁻¹ g'(z) dz로 계산할 수 있다.따라서 구불구불한 숫자는 균일한 한계 하에서 연속적이므로, 시퀀스의 각 기능이 0도 없고 한계도 없다.두 번째 문장의 경우 f(a) = f(b)이고 g_n(z) = f_n(z) - f_n(a)를 설정한다고 가정한다.이러한 것들은 디스크에 존재하지 않지만 g(z) = f(z) - f(a)는 b에서 사라지므로 g는 동일하게 사라져야 한다.^[12]

정의.$오픈{\displaystyle \mathcal{}}$ 도메인에서 홀모픽 함수의$$ F ${\${\$cal {F}$ 패밀리 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 함수 순서가 콤팩타에서 홀모픽 함수로 균일하게 수렴되는 반복성을 갖는다면$$ 정상이라고 한다.A family ${\displaystyle {\cal {F}}}$ is compact if whenever a sequence f_n lies in ${\displaystyle {\cal {F}}}$ and converges uniformly to f on compacta, then f also lies in ${\displaystyle {\cal {F}}}$. A family ${\displaystyle {\cal {F}}}$ is said to be locally bounded if their functions are unifor각 컴팩트 디스크에서 mly bounded.Cauchy 적분식을 구분하면, 지역적으로 경계된 가족의 파생상품도 국부적으로 경계한다.^[13][14]null

• 몬텔의 정리.도메인 G에 있는 모든 국부적으로 경계된 홀모픽 함수의 가족은 정상이다.

f는_n 완전히 경계된 시퀀스로서 G의 계수 가능한 밀도 하위 집합 w를_m 선택한다. 국소 경계와 "대각형 인수"에 의해, g가_n 각 w 지점에서_m 수렴되도록 하위 집합을 선택할 수 있다.이 홀모픽 함수의 순서가 각 콤팩트 K에서 G에 균일하게 수렴되는지 확인해야 한다.E의 폐쇄가 컴팩트하고 G가 포함되도록 E를 K ⊂ E와 함께 개방하십시오.순서(gg_n)는 국부적으로 경계하므로, g_n′ ≤ M on E.콤팩트함에 의해 Δ > 0을 충분히 작게 취한 경우, E에 남아 있는 동안 K를 커버하기 위해 반경 Δ > 0의 오픈 디스크 D가_k 정밀하게 많이 요구된다.이후

${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle {}_{}}$a${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle a_{}^{}}$ b g ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle z}$) d ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle g_{n}-g_{n}(a)=\int _{a}^{b}g_{n}^{$n}^{n}^{n}^{$n}(z)\,dz$

g_n(a) - g_n(b) ≤ Ma - b ≤ 2 Δ M. 이제 각 k에 대해 g_n(w_i)가 수렴하여 n과 m이 한계의 Δ 이내가 되도록 크게 취하는 D에서_k w를_i 선택한다.그럼 D의_k z는

${\displaystyle g_{n}(z)-g_{m}(z) \leq g_{n}(z)-g_{n}(w_{i}) + g_{n}(w_{i})-g_{m}(w_{i}) + g_{m}(w_{1})-g_{(}z) \leq 4M\delta +2\delta .}$

따라서 시퀀스(g_n)는 필요에 따라 K의 균일한 표준으로 Cauchy 시퀀스를 형성한다.^[15][16]

• 리만 지도 정리.G가 단순하게 연결된 도메인 ≠ ≠에 있고 G에 거짓말이 있는 경우, 단위 디스크 D에 대해 f(a) = 0, f a(a) > 0으로 정규화된 G의 고유한 정합성 매핑 f가 있다.

f와 g 만족으로 인해 고유성이 따르며, 동일한 조건 h = f ∘ g는⁻¹ h (0) = 0, h' (0) >0을 갖는 단위 디스크의 통일성 홀로모르픽 지도가 될 것이다.그러나 슈바르츠 보조정리자에 의해, 유닛 디스크의 그 자체에 대한 비현실적인 홀로모르픽 지도는 뫼비우스 변환 k(z) = e^iθ(z - α)/(1 - α* z)에 의해 α < 1. 그러므로 h는 신분 지도와 f = g가 되어야 한다.

$존재$를 증명하려면 F ${\$를 f(a) = 0, f(a) > 0으로 G의 홀로모르픽 단발성 매핑 f의 계열로$$ 가져간다.몬텔의 정리에 의한 정상적인 계열이다.단순 연결성의 특성화에 의해 b \ G의 b에 대해서는 G의 제곱근 $h{\displaystyle (}$ z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= z${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{b}}$ ${\$의 홀모형 분기가 있다.G에서 z와₁ z의₂ 경우 단발성과 h(z₁) ≠ - h(z₂)이다. h(G)는 중심 h(a)와 반경 r이 0 이상인 폐쇄 디스크 Δ를 포함해야 하므로 -Δ의 지점은 h(G)에 있을 수 없다.F(h(a) = 0, F(a) > 0으로 D에 \ -Δ를 가져가는 독특한 뫼비우스 변환이 되도록 하자. 시공 F ∘ h는 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 있으므로 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$F}}}}}}$이(가)가 비어 있지 않다.코에베의 방법은 문제를 해결하는 정합적 지도를 만들기 위해 극한 기능을 사용하는 것인데, 이 상황에서 흔히 알프스의 이름을 따서 G의 알프스 함수라고 부른다.^[17]F_nn {\$displaystyle$ ${\cal {F}$에서 0 < M ≤ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ suprem suprem f suprem suprem suprem suprem suprem suprem suprem suprem in$$in f in in$$in$$ in in f in in$$in $in{\displaystyle \mathcal{}}$ in in in in in in in in in in in in in in in in in in in몬텔의 정리에 의해, 필요시 반복적으로 전달되는 f는_n 콤팩타에서 균일하게 f의 홀로모르픽 함수를 가지는 경향이 있다.후르비츠의 정리로는 f는 단발적이거나 일정하다.그러나 f는 f(a) = 0과 f′(a) > 0을 가지고 있다. 따라서 M은 유한하여 fa(a) > 0과 같고 $f$는$$F {\$displaystyle{\cal${F$}$에 있다$.$ 등각 매핑 f가 G를 D로 가져가는지 확인하는 것이 남아 있다.그렇지 않다면, D \ f(G)에서 c 0 0을 취하여 H를 (f(z) - c)/(1 - c*f(z)의 홀로모르픽 제곱근으로 한다.H함수는 단발성이며 G를 D로 매핑한다.F(z) = e^iθ(H)(z) - H(a)/(1 - H(a)*H(z)에서 H(a)/ H(a) = e^−iθ.그 후 $F$는 F$${\$displaystyle${\$cal{F}}$에 있고 일상적인 계산에 따르면 F′(a) = H′(a) / (1 - H(a) = f′(a) = f′(a) = f′(a) = f′(a). 이것은 M의 최대성과 모순되므로 F는 D의 모든 값을 취해야만 한다.^[18][19][20]

비고. 리만 매핑 정리의 결과로, 평면의 모든 단순하게 연결된 영역은 단위 원반과 동형이다.점을 생략하면 정리부터 이 말이 이어진다.전체 평면의 경우, 동형상 )(z) = z/(1 + z )는 D에 home의 동형상을 준다.null

평행 슬릿 매핑

정상가족을 위한 코베의 통일화 정리도 일반화하여, 슬릿이 x축에 대한 각도 θ을 갖는 유한 평행 슬릿 영역에 곱셈 연결 영역을 위한 균일화자 f를 산출한다.따라서 G가 ∞을 포함하고 있고 미세하게 많은 요르단 등고선으로 경계되는 ℂ ∪ {∪}의 도메인인 경우, G에 f(z) = z⁻¹ + z + z₁₂² + z ⋅⋅⋅⋅을 가진 독특한 단발적 함수 f가 있으며, Re e a를 ^{−2i θ}₁ 최대화하고 X축에 대한 각도 θ을 가진 평행 슬릿 도메인을 가지고 있다.^[21][22][23]null

병렬 슬릿 도메인이 다중 연결 사례에서 표준 도메인이라는 첫 번째 증거는 1909년 데이비드 힐버트에 의해 제시되었다.Jenkins(1958)는 독창적인 기능과 순응적 매핑에 관한 저서에서 1930년대 초의 Herbert Grözsch와 René de Posel의 작품을 바탕으로 한 치료를 했다; 그것은 Quasiconformal mapping과 2차적 미분들의 전구였으며, 후에 Oswald Teichmüler로 인해 극한 미터법으로 발전되었다.^[24]메나헴 쉬퍼는 1950년과 1958년에 그가 국제 수학자회의에 준 연설에 요약된 매우 일반적인 변이 원리에 근거한 치료를 했다."경계변동"에 대한 정리("내경변동"과 구별하기 위해)에서 그는 1936년부터 Ugtred Shuttleworth Haslam-Jones로 인해 직선 세그먼트의 측정-이론적 특성화에 의존하는 미분 방정식과 불평등을 도출했다.하슬람 존스의 증거는 어려운 것으로 간주되었고 쇼버와 캠벨-라무룩스에 의해 1970년대 중반에야 만족스러운 증거를 받았다.^[25][26][27]null

쉬프(1993)는 리만 매핑 정리와 비슷한 평행 슬릿 영역에 대해 획일화 증빙을 했다.표기법을 단순화하기 위해 수평 슬릿을 취할 것이다.Bieberbach의 불평등에 의해 첫째, 어떤 일가 함수 g(z))z+cz2+···과 z의 열린 단위 원판야 한다를 만족시키 c≤ 2. 결과, 만약 f(z))z+a0+a1z–1+···은 일가에서 z>R, 그때 f(z)–a0 ≤ 2z: 걸리S>R, 집합 g(z))S[f(S/z)– b]–1에 z에 있는 부대 디스크, b는 분모는 지금.here-vanishing, 그리고 슈바르츠 보조정리 해다음 함수_R f(z) = z + R²/z는 z + z₁^–1 + z + ·· 형태의 z > R에 고유한 단발성 함수로 "극단적 조건"이 특징이며, Re a₁: 이것은 z > 1의 단발성 함수 f(z R) / R의 계열에 적용되는 Grönwall 면적 정리의 즉각적인 결과물이다.^[28][29]

To prove now that the multiply connected domain G ⊂ ℂ ∪ {∞} can be uniformized by a horizontal parallel slit conformal mapping f(z) = z + a₁ z^–1 + ···, take R large enough that ∂G lies in the open disk z < R. For S > R, univalency and the estimate f(z) ≤ 2 z imply that, if z lies in G with z ≤ S, then f(z) ≤ 2S.단발성 f의 가문은 몬텔의 정리대로 G \ { {}에 국부적으로 경계되기 때문에 그들은 정상적인 가문을 형성한다.더욱이 f가_n 패밀리 안에 있고 콤팩타에 균일하게 f를 하는 경향이 있다면 f도 패밀리 안에 있고 f의_n ∞에서 로랑 팽창의 각 계수는 f의 해당 계수에 대한 경향이 있다.이것은 특히 계수에 적용된다: 그래서 압축성에 의해 Re a를₁ 최대화하는 단발적인 f가 있다.f(z) = z + a₁ + ⋅⋅⋅가 필요한 병렬 슬릿 변환인지 확인하려면, f(G) = G가₁ 수평 슬릿이 아닌 그 경계에서 컴팩트하고 연결된 구성요소 K를 가지고 있다는 환원 억양이라고 가정한다.그러면 ℂ ∪ {∞}에서 K의 보완 G는₂ 단순히₂ G with₁ G와 연결된다. 리만 매핑 정리에는 h(G₂)가 수평 슬릿을 제거한 ℂ이 되도록 정합 지도 h(w) = w₁ + b⁻¹ + ⋅⋅⋅가 있다.soh(f(z) = z + (a₁ + b₁)z⁻¹ + ⋅⋅⋅⋅, 따라서 Re (a₁ + b₁) ≤ f의 극단성으로 rea₁.따라서 Re b₁ ≤ 0.반면에 리만 매핑 정리에 의해 w > S에서 G로₂ 정합 지도 k(w) = w + c + c₁ + w₀⁻¹ + c⋅⋅가 있다.그⁻¹ 다음 f(k(w) - c₀ = w + (a₁ + c₁) w + ⋅⋅⋅⋅.앞 단락 Re c₁ < Re (b₁ + c₁)의 슬릿 매핑에 대한 엄격한 최대치에 의해, Re₁ b > 0이 되도록 한다.Re b에₁ 대한 두 가지 불평등은 모순적이다.^[30][31][32]null

등정 평행 슬릿 변환의 고유성의 증명은 골루진(1969년)과 그룬스키(1978년)에 제시되어 있다.수평 슬릿 영역에 Joukowsky 변환 h의 역류를 적용하면 G는 단위 원 C에₀ 의해 경계된 도메인이며 분석 호 C와_i 분리된 점(다른 평행 수평 슬릿 아래에 Joukowsky 변환의 역행 이미지)을 포함하고 있다고 가정할 수 있다.따라서 G에서 고정 a를 취하면 수평 슬릿 도메인을 이미지화한 단발성 맵핑 F₀(w) = h h f(w) = (w - a)⁻¹ + a(w - a) + a₁₂(w - a)² + ⋅⋅⋅가 있다.F₁(w)가 F₁(w) = (w - a)⁻¹ + b₁(w - a) + b₂(w - a) + b(w ²- a) + ⋅⋅⋅을 가진 또 다른 균일화제라고 가정하자.각 C의_i F₀ 또는 F에₁ 따른 영상은 y 좌표가 고정되어 있으므로 수평 세그먼트가 된다.반면에 F₂(w) = F₀(w) - F₁(w)는 G에서 홀로모르픽이다. 만약 그것이 일정하다면, F₂(a) = 0이기 때문에 동일한 0이어야 한다. F가₂ 일정하지 않다고 가정한다.가정으로 F₂(C_i)는 모두 수평선이다.t가 이 선들 중 하나에 없는 경우, Cauchy의 주장 원리는 G에서 F₂(w) = t의 해결책 수가 0이라는 것을 보여준다(결국_i 어떤 t도 C에 가까운 G의 등고선에 의해 둘러싸이게 된다).이는 비정규적 홀로모르픽 함수 F가₂ 공개 매핑이라는 사실과 모순된다.^[33]null

디리클레 문제를 통한 증거 스케치

U와 U의 점 z를₀ 고려하여 U를 단위 디스크에 매핑하고 z를₀ 0에 매핑하는 기능을 구성하고자 한다.이 스케치를 위해, 우리는 U가 리만이 그랬던 것처럼 경계선이 있고 경계가 부드럽다고 가정할 것이다.쓰다

${\displaystyle f(z)=(z-z_{0}e^{g(z)}}}}$

여기서 g = u + iv는 실제 부분 u와 가상 부분 v를 갖는 일부 (결정되어야 할) 홀모픽 함수다.그러면 z가₀ f의 유일한 0이라는 것이 확실해진다.우리는 z ) ∂U에 f(z) = 1이 필요하므로

${\displaystyle u(z)=-\log z-z_{0}}$

경계에서u는 홀로모르픽 함수의 실제 부분이기 때문에, 우리는 u가 반드시 조화 함수라는 것을 안다. 즉, 그것은 라플레이스의 방정식을 만족시킨다.null

그러면 질문은 다음과 같은 것이 된다: 모든 U에 정의되어 있고 주어진 경계 조건을 가진 실제값 조화 함수 u가 존재하는가?긍정적인 대답은 디리클레 원칙에 의해 제공된다.일단 u의 존재가 확립되면, 홀로모르픽 함수 g에 대한 Cauchy-Remann 방정식은 v를 찾을 수 있게 한다(이 주장은 U가 단순히 연결되어 있다는 가정에 달려 있다).u와 v를 구성했으면 결과 함수 f가 실제로 필요한 속성을 모두 갖는지 확인해야 한다.^[34]null

균일화 정리

리만 매핑 정리는 리만 표면의 맥락으로 일반화할 수 있다.U가 리만 표면의 비어 있지 않은 단순 연결 오픈 서브셋인 경우, U는 리만 구체, C 또는 D 중 하나에 대해 생체형이다.이것을 획일화 정리라고 한다.null

매끄러운 리만 매핑 정리

경계가 매끄러운 단순하게 연결된 경계 도메인의 경우, 리만 매핑 기능과 그 모든 파생상품은 도메인의 폐쇄까지 연속성에 의해 확장된다.이것은 평면 도메인의 소볼레프 공간 이론이나 고전적 전위 이론에서 따르는 디리클레 경계 값 문제의 해결책의 규칙성 특성을 이용하여 증명할 수 있다.부드러운 리만 매핑 정리를 증명하는 다른 방법으로는 커널 함수 이론이나^[35] 벨트라미 방정식이 있다.null

알고리즘

컴퓨터 정합성 매핑은 영상 처리와 같은 공학 분야뿐만 아니라 응용 분석과 수학 물리학의 문제에서도 두드러지게 나타난다.null

1980년대 초순에 표준지도를 계산하기 위한 기본 알고리즘이 발견되었다.Given points ${\displaystyle z_{0},\ldots ,z_{n}}$ in the plane, the algorithm computes an explicit conformal map of the unit disk onto a region bounded by a Jordan curve ${\displaystyle \gamma }$ with ${\displaystyle z_{0},\ldots ,z_{n}\in \gamma .}$ This algorithm converges for 요르단 지역은^[36] 균일하게 가까운 경계선이라는 의미에서.매핑 기능 및 그 역에 대한 닫힌 영역과 닫힌 디스크에 해당하는 균일한 추정치가 있다.데이터 포인트가 ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$ C$^{1$} 곡선$$ 또는 K-Quasicircle에 있을 경우 개선된 추정치를 구한다.이 알고리즘은 대략적인 순응용법으로 발견되었지만, 루우너 미분방정식의 디스커트화로도 볼 수 있다.^[37]null

다음은 두 평면 도메인 사이의 정합성 매핑에 대한 수치 근사치로 알려져 있다.^[38]null

긍정적인 결과:

• 다음과 같은 의미로 균일화 지도를 계산하는 알고리즘 A가 있다.Let ${\displaystyle \Omega }$ be a bounded simply-connected domain, and ${\displaystyle w_{0}\in \Omega .}$ ∂Ω is provided to A by an oracle representing it in a pixelated sense (i.e., if the screen is divided to ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$ pixels, the oracle can say whether each pixel be경계에 이르거나 말거나).Then A computes the absolute values of the uniformizing map ${\displaystyle \phi :(\Omega ,w_{0})\to (D,0)}$ with precision ${\displaystyle 2^{-n}}$ in space bounded by ${\displaystyle C\cdot n^{2}}$ and time ${\displaystyle 2^{O(n)}}$, where C depends onlyΩ{\displaystyle \Omega}과 d(w0,∂ Ω)의 직경을 잽니다.에{\displaystyle d(w_{0}일 경우,\partial \Omega).}게다가, 알고리즘}한ϕ(w)<>로 1− 2− n.{\displaystyle \phi(w)<>1-2^{-n}.}게다가, A 싶어 φ(w)의 정밀 2− n{\displaystyle 2^{-n}에 맞춰 가치를 계산합니다.eries에서 대부분의 2의 O(n).{\displaystyle 2^{-O(n)}− 정확하게 ∂Ω. 특히 몇몇 상수는 ≥ 1{\displaystyle a\geq 1}와 시간 T(n)<>에}, 만약 ∂Ω은 다항 공간 공간에 계산할 수 있는 법에{\displaystyle n^{}};2O(법에),{\displaystyle T(n)<, 2^{O(n^{})},}thenAc.는 데 사용할 수 있ompute 공간 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {max}^{}}$ ${\displaystyle {(,2}^{}}$) ${\$ n$^{\max(a,2)}}$ 및 시간$$ 2 ${\displaystyle O^{}}$(${\displaystyle {n^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$. ${\displaystyle 2^{O(n^{a}})}.$$}$

• 다음과 같은 의미로 균일화 지도를 계산하는 알고리즘 A′이 있다.Let ${\displaystyle \Omega }$ be a bounded simply-connected domain, and ${\displaystyle w_{0}\in \Omega .}$ Suppose that for some ${\displaystyle n=2^{k},}$ ∂Ω is given to A′ with precision ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ by ${\displaystyle O(n^{2})}$ pixels.Then A′ computes the absolute values of the uniformizing map ${\displaystyle \phi :(\Omega ,w_{0})\to (D,0)}$ within an error of ${\displaystyle O(1/n)}$ in randomized space bounded by ${\displaystyle O(k)}$ and time polynomial in ${\displaystyle n=2^{k}}$ (t모자는 BPL(n)-머신이다.또한 알고리즘은 ( ${\displaystyle w}$)${\$$displaystyle$ ${\tfrac{1}{$$n}$만큼의$$ 정밀도 $displaystyle {\tfrac$ {1}{n}}}을(를$)$ 사용하여$\varphi {\displaystyle (}$$w$)의 값을 계산한다$.$$}$

부정적인 결과:

• 있는 알고리즘 A그것은 linear-time 계산할 수 있는 경계 내부에 반지름 을과simply-connected 도메인Ω{\displaystyle \Omega};반이 되었고, 정각의 반지름 r(Ω, 0)은 첫 20n{20n\displaystyle}숫자 계산한 숫자 n{n\displaystyle} 때{\displaystyle r(\Omega ,0),} 있다 가정하자.nwe는 선형 시간 오버헤드로 #SAT(n)의 모든 인스턴스를 해결하기 위해 A에 대한 한 번의 호출을 사용할 수 있다.즉, #P는 집합의 등정 반지름을 계산하기 위해 폴리타임 감소가 가능하다.

• $O{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle$$$\$Oomega$$}$의 명시적 컬렉션에 의해$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ \$Oomega$}의 경계가 ${\displaystyle 정밀도}$ 1 /${\displaystyle }$n ${\displaystyle$ $1$$/n}$으로 주어지는$$ 단순 연결 $도메인{\displaystyle \mathrm{}}$Ω$$, {\$displaystyle$$\Oomega}$의 등각 반지름을 계산하는 문제를 고려하십시오.정밀한 $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ n ${\displaystyle c^{}}$ ${\$1$/n^{c}$ by$$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F}$(${\displaystyle n,}$ n ${\displaystyle c^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle CONF(n,n^{c})$로 등각 반지름을 계산하는 문제를 나타낸다.$}}$ ${\displaystyle {그러면}_{}}$ M A $Jn$ {\displaystyle $MAZ_$${$$n}}$은는) 0 < 1 . {\$displaystyle$0$<{\tfrac {1}{n2$}에 대해$$ AC0을(를$)$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle N}$ $n$n, $)$로 축소할 수 있다$$$.$$}$

참고 항목

• 측정 가능한 리만 지도 정리
• 슈바르츠-크리스토펠 매핑 – 상부 하프 평면을 단순한 폴리곤의 내부로 정합성 있게 변형한 것이다.
• 등각 반지름

메모들

위키미디어 커먼즈에는 리만 지도 제작과 관련된 미디어가 있다.

참조

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외부 링크

• Dolzhenko, E.P. (2001) [1994], "Riemann theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press