부드러운 다지관을 위한 리만-로치 정리

수학에서, 매끄러운 다지관에 대한 리만-로치 정리는 히르제브루흐-리만-로치 정리 또는 그로텐디크-리만-로치 정리(GRR)와 같은 결과의 버전이다.1959년 마이클 아티야와 프리드리히 히르제브루치가 이런 종류의 결과를 얻어, 그 요건을 스핀 구조와 같은 것으로 줄였다.null

공식화

X와 Y를 매끄러운 닫힌 다지관, f: X → Y 연속 지도로 한다.K-그룹 K(X)의_f v=f^*(TY) - TX를 허용한다.조광(X) ≡ 조광(Y)이 2를 변조하는 경우

${\displaystyle \mathrm {ch}(f_{K*}(x)=f_{H*}(\mathrm {ch})(x)e^{d(v_{f})/2}{\hat {A}(v_{f}),}}}$

여기서 ch는 체른 문자, d(v_f)는² d(v_f) satisfying f w^*₂(TY)-w₂(TX) mod 2, f는_K* K-이론을 위한 기신 동형, f는_H* 동형학을 위한 기신 동형이다.^[1]이 정리는 처음에 아티야와 히르제브루치에 의해 증명되었다.^[2]null

그 정리는 몇 가지 특수한 경우를 고려함으로써 증명된다.^[3]Y가 X 위에 있는 벡터 번들 V의 Thom 공간이라면, Gysin 맵은 Thom 이소모르피즘일 뿐이다.그 후, 분할 원리를 이용하여 라인 번들에 대한 명시적 계산을 통해 정리를 확인하는 것으로 충분하다.null

f: X → Y가 내장되어 있다면, Y에서 X의 정상 묶음인 톰 공간을 Y에서 X의 관형근린으로 볼 수 있고, 절제가 지도를 준다.

${\displaystyle u:H^{*}(B(N),S(N)\to H^{*}(Y,Y-B(N))\to H^{*}(Y)}$

그리고

${\displaystyle v}$: ${\displaystyle K}$( ${\displaystyle B}$( N${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, S${\displaystyle }$( ${\displaystyle N}$)${\displaystyle }$→ K${\displaystyle }$( ${\displaystyle Y}$, Y${\displaystyle }$- ${\displaystyle B}$(${\displaystyle }$N${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle K}$( ) ${\displaystyle v:K(B (N),S (N)}\to K(Y$

K-이론/코호몰로지용 기신 맵은 이러한 맵을 가진 톰 이소모르피즘의 구성으로 정의된다.X에서 N의 톰 스페이스까지의 지도를 정리하는 것이 중요하고, 체르누스 문자는 u와 v를 통근하기 때문에 임베딩에도 정리정리가 참이다.f: X → Y.

마지막으로, 일반 지도 f: X → Y를 내장할 수 있다.

${\displaystyle i:X\to Y\time S^{2n}}$

그리고 투영법

$[\displaystyle p:Y\time S^{2n}\to Y.}$

그 정리는 임베딩에 충실하다.투영에 대한 기신 지도는 보트 주기성 이소모르프(Bot-periodic Isomorphism)로, 체르누스 문자와 통용되기 때문에, 정리도 이 일반적인 경우에 속한다.null

코롤러리

그런 다음 아티야와 히르제브루치는 케이스 X = 포인트에서 특수화 및 정제되었으며, 여기서 조건이 Y에 스핀 구조의 존재가 된다.코롤라리는 폰트랴긴 계급과 J-호모폴리즘에 있다.null

메모들