리만-시겔 공식

수학에서 리만-시겔 공식은 리만 제타 함수의 대략적인 기능 방정식의 오차에 대한 점증식 공식으로, 제타 함수의 근사치를 두 개의 유한 디리클레트 계열의 합으로 계산한 것이다.1850년대 베른하르트 리만의 미발표 원고에서 시겔(1932년)에 의해 발견되었다.시겔은 등고선 적분을 포함하는 제타함수의 표현식인 리만-시겔 적분 공식에서 유래했다.리만-시겔 공식의 값을 계산하는 데 종종 사용되며, 때로는 상당한 속도를 내는 오들리츠코-슈헨지 알고리즘과 결합하기도 한다.임계선을 따라 사용할 때는 Z함수의 공식으로 되는 형태로 사용하는 것이 유용할 때가 많다.null

M과 N이 음이 아닌 정수일 경우, 제타 함수는

${\displaystyle \zeta(s)=\sum \n=1}^{{n}{n1}{n^{n1}}+{n^{n^{1-s}\sum _{n=1}{n^{1-s}+R}$

, where

${\displaystyle \gamma(s)=\pi ^{{\tfrac {1}{1}:{1}{1}-s}{\frac {\\prec {s}{2}}\오른쪽){\Gamma \left({\tfrac {1}{1}:{1}(1-s)\rig)}}}$

함수 방정식 ζ = s(1 - s) ζ(1 - s)에 나타나는 요인이다.

${\displaystyle R(s)={\frac {-\\pi i}{2\pi i}\int{\frac {(-x)^{s-1e^{-Nx}}{e^{e^}-{x}-1}dx}$

등고선 적분으로, 윤곽선은 +각각에서 시작하고 최대 2㎛에서 절대값의 특이점 주위를 돈다.대략적인 함수 방정식은 오차항의 크기에 대한 추정치를 제공한다.시겔(1932년)과 에드워즈(1974년)는 이 적분에 가장 가파른 하강 방법을 적용하여 임(s)의 일련의 음력으로 오류 용어 R(s)에 대해 점증하지 않는 확장을 줌으로써 리만-시겔 공식을 도출한다.애플리케이션에서 s는 보통 임계선에 있으며, 양의 정수 M과 N은 약 (22Im)으로 선택된다.^1/2가브케(1979)는 리만-시겔 공식의 오류에 대해 좋은 한계를 발견했다.null

리만 적분식

리만은 그것을 보여주었다.

${\displaystyle \int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}\,du={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}}$

여기서 통합의 등고선은 0과 1 사이를 통과하는 경사 -1의 선이다(Edwards 1974, 7.9).null

그는 이것을 제타 함수에 대한 다음과 같은 통합 공식을 주기 위해 사용했다.

${\displaystyle \pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\piix}}\,dx}$

참조

• Berry, Michael V. (1995), "The Riemann–Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders", Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 450 (1939): 439–462, doi:10.1098/rspa.1995.0093, ISSN 0962-8444, MR 1349513, Zbl 0842.11030
• Edwards, H.M. (1974), Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics, vol. 58, New York-London: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315.10035
• Gabcke, Wolfgang (1979), Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel (in German), Georg-August-Universität Göttingen, hdl:11858/00-1735-0000-0022-6013-8, Zbl 0499.10040
• Patterson, S.J. (1988), An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 14, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-33535-3, Zbl 0641.10029
• Siegel, C. L. (1932), "Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie", Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. Und Phys. Abt. B: Studien 2: 45–80, JFM 58.1037.07, Zbl 0004.10501 Gesammelte Abhandlungen, vol. 1. 베를린: Springer-Verlag, 1966.

외부 링크

• Gourdon, X., Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function
• Weisstein, Eric W. "Riemann–Siegel Formula". MathWorld.