Null 집합

수학적 분석에서 null $N\subset \mathbb {R}$ N $N\subset \mathbb {R}$ ⊂ $N\subset \mathbb {R}$ {\ $displaystyle N\subset \mathb {R}}$ 은 $N\subset \mathbb {R}$ (는) 측정 가능한 집합이며 측정치가 0인 집합이다.이것은 임의로 작은 총 길이의 간격의 계산 가능한 조합으로 커버할 수 있는 세트로 특징지어질 수 있다.^{[citation needed]}

사항 집합의 개념은 집합 이론에 정의된 빈 집합과 혼동해서는 안 된다.빈 세트에는 레베게가 0으로 측정되지만 null인 비빈 세트도 있다.예를 들어, 비어 있지 않은 모든 실수 집합은 Lebesgue의 측정치가 0이므로 null이다.

보다 일반적으로 주어진 측정 공간 $M=(X,\Sigma ,\mu )$ = $M=(X,\Sigma ,\mu )$ ( $M=(X,\Sigma ,\mu )$ , $M=(X,\Sigma ,\mu )$ , $M=(X,\Sigma ,\mu )$ ) ${\displaystyle$ M $=(X,\Sigma ,\mu )}$ 에서 $M=(X,\Sigma ,\mu )$ null 집합은 $S\subset X$ $\mu (S)=0$ $\mu (S)=0$ = 0 ${\displaystyle$ S $\subset X}$ 과 $S \subset X$ $\mu (S)=0$ $S\subset X$ 이다 $\mu (S)=0$

예

실수의 모든 유한하거나 카운트할 수 있는 무한 부분 집합은 null 집합이다.예를 들어, 자연수 집합과 합리적 수 집합은 모두 셀 수 없이 무한하므로 실제 숫자의 하위 집합으로 간주할 때 null 집합이다.

캔터 세트는 셀 수 없는 null 세트의 예다.^{[further explanation needed]}

정의

$A$ 이 $A$ (가) 다음과 $\mathbb {R}$ 같은 $\mathbb {R}$ 라인 $\mathbb {R}$ R {\ $displaystyle \mathb$ {R $}$ 의 하위 집합이라고 가정하십시오.

\displaystyle \forall \varepsilon >0,\ \cHB \left\{U_{n}\right\}_{n:U_{n}=(a_{n}},b_{n}})\subset \mathb {R} :\quad A\subset \bigcup _{n=1}^{\infully \n}\land \sum \{n=1}^{n}}\ft}\right <\varepsilon \}}}

여기서 $U$ 는_n 간격이고 $U$ 는 $U$ 의 길이인 경우 $A$ 는 null 집합으로,^[1] 0-콘텐츠 집합이라고도 한다.

수학적 분석의 용어에 있어서, 이 정의는 $A$ 의 오픈 커버의 시퀀스가 있어야 하며, 커버 길이의 한계는 0이다.

특성.

빈 집합은 항상 null 집합이다.더 일반적으로, null 집합의 모든 계산 가능한 조합은 null이다.null 집합의 모든 측정 가능한 부분 집합은 그 자체가 null 집합이다.이러한 사실들은 함께 X의 m-null^{[further explanation needed]} 집합이 X에 시그마 이데알을 형성한다는 것을 보여준다.마찬가지로, 측정 가능한 m-null 집합은 측정 가능한 집합의 시그마-알지브라(Sigma-algebra)의 시그마 이상을 형성한다.따라서 null 집합은 거의 모든 곳에 대한 개념을 정의하면서 무시할 수 있는 집합으로 해석될 수 있다.

르베그 측도

르베그 측정은 유클리드 공간의 하위 집합에 길이, 면적 또는 부피를 할당하는 표준 방법이다.

$\mathbb {R}$ ${\$ 의 부분 집합 N은 Null Lebeg 측정값을 가지며 $\mathbb {R}$ , 다음과 같은 경우에만 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\$ 에서 null 집합으로 간주된다.

임의의 양수 ε을 지정하면

\mathbb {R}

{\

에 구간의 순서 {

I n

}이

\mathbb {R}

(

가) 있어 N은

{

I n}

의 유니언에 포함되고 유니언의 총 길이는 ε보다 작다.

이 조건은 구간 대신 n-cube를 사용하여 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 에 일반화할 수 있다.사실, 이 아이디어는 어떤 리만족 다지관에도 이치에 맞도록 만들어질 수 있다, 비록 그곳에는 르베그 측정이 없더라도 말이다.

예를 들어,

$\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 에 대해 $\mathbb {R} ^{n}$ 모든 싱글톤 세트는 null이므로, 모든 countable 세트는 null이다.특히 $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ 에 조밀도가 있음에도 불구하고 합리적인 숫자의 집합 Q는 null 집합이다.
칸토어 세트의 표준구조는 $\mathbb {R}$ ${\$ 에서 계산할 수 없는 null 집합의 예지만 $\mathbb {R}$ 칸토어 세트에 어떠한 측정도 할당한 다른 시공은 가능하다.
치수 n보다 작은 $\mathbb {R} ^{n}$ n ${\$ 의 모든 하위 집합은 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ $\$ $mathb {R}$ ^{n $}}$ 에 null Lebeg 측정값을 가지고 있다 $\mathbb {R} ^{n}$ 예를 들어 직선이나 $\mathbb {R} ^{2}$ R $\mathbb {R} ^{2}$ {\ $displaystyledesets$ 이다 $\mathbb {R} ^{2}$
Sard의 보조정리: 부드러운 기능의 임계치 집합은 0을 측정한다.

If λ is Lebesgue measure for $\mathbb {R}$ and π is Lebesgue measure for $\mathbb {R} ^{2}$ , then the product measure $\lambda \times \lambda =\pi$ . In terms of null sets, the following equivalence has been styled a Fubini's theorem:^[2]

$A\subset \mathbb {R} ^{2}$ $A\subset \mathbb {R} ^{2}$ $A\subset \mathbb {R} ^{2}$ 2 ${\$ 및 $A\subset \mathbb {R} ^{2}$ A $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},$ = $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},$ { y $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},$ : $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},$ ( $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},$ , y $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},$ ) $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},$ $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},$ ${\displaystyle A_{x}=\{y:(x,y)\in$ A $\}}$ 의 경우 $\\displaystyle \pi(A)=0\iff \lambda \left(\left\\{x}\lambda \left(A_{x}\right)=0.}$

사용하다

Null 집합은 Lebesgue 적분 정의에서 핵심 역할을 한다: 함수 $f$ 와 $g$ 가 null 집합에서 제외되는 경우, $f$ 는 $g$ 인 경우에만 통합할 수 있고, 그 적분들은 동일하다.이것은 L공간의^p 공식적 정의를 null 집합에서만 다른 기능의 동등성 등급 집합으로서 동기를 부여한다.

null 집합의 모든 하위 집합을 측정할 수 있는 조치는 완료된다.어떤 비완전 조치도 null 집합의 하위 집합이 측정값 0을 가지고 있다고 주장함으로써 완전한 조치를 형성하기 위해 완료될 수 있다.Lebesgue 측정은 완전한 측정의 예로서, 일부 구조에서는 완전하지 않은 보렐 측정의 완료로 정의된다.

보렐을 측정할 수 없는 캔터 세트의 하위 집합

보렐 측정치가 완전하지 않다.한 가지 간단한 구조는 표준 칸토어 $세트$ K로 시작하는데, 칸토어 세트는 보렐 측정가능하고 측정가능성은 0이다. 그리고 보렐 측정가능성이 없는 $K$ 의 부분집합 $F$ 를 찾는 것이다. (레베그 측정이 완료되었기 때문에, 이 $F$ 는 물론 르베그 측정이 가능하다.)

첫째, 우리는 모든 양의 척도가 측정할 수 없는 부분 집합을 포함하고 있다는 것을 알아야 한다.f는 $K$ 에서^c 국소적으로 일정하고 [0, 1]에서 단조롭게 증가하며 f $(0)$ = 0, $f(1$ ) = $1$ . 물론, $f (K c)$ 는^c K의 성분당 1점을 포함하고 있으므로 셀 수 있다.따라서 $f (K c)$ 는 0을 측정하므로 $f (K)$ 는 1을 측정한다.우리는 엄격히 단성 함수가 $필요$ 하므로 g $(x)$ = $f (x)$ + $x$ 를 고려하십시오. $g$ ( $x)$ 는 엄격히 단성적이고 연속적이므로 동성형이다. $게다가$ , g $(K)$ 는 측정치 1을 가지고 있다. $E$ ⊂ $g (K)$ 를 측정할 수 없도록 하고, $F$ = $g -1 (E$ )를 측정하도록 한다 $.$ $g$ 는 주입식이기 때문에 $우리$ 는 F $k$ K를 가지고 있고, $그래서$ F는 null 집합이다.단, 그것이 Borel 측정가능하다면, $g (F)$ 도 Borel 측정가능할 것이다(여기서 우리는 연속함수에 의해 설정된 Borel의 preimage를 측정할 수 있다는 사실을 사용한다; $g (F)$ = ( $g -1) -1$ 는 $연속함수$ h = $g$ 를⁻¹ 통한 F의 preimage이다).따라서 $F$ 는 null이지만, Borel은 측정할 수 없는 집합이다.

하르 null

분리 가능한 Banach 공간 $(X,$ +)에서 그룹 연산은 하위 $집합$ A ⊂ $X$ 를 $임의$ 의 x $for$ X에 대해 번역 $A$ + $x$ 로 이동시킨다.보렐 하위 $집합$ 의 of-algebra에 모든 $x$ 에 $대해$ $μ (A$ + $x)$ = $0$ 과 같이 확률 측정 μ가 있는 경우, $A$ 는 Haar null 집합이다.^[3]

이 용어는 번역 조치의 무효 불변성을 말하며, 이를 Haar 조치와 함께 발견된 완전한 불변성과 연관시킨다.

위상학 그룹의 일부 대수적 특성은 하위 집합 및 Haar null 집합의 크기와 관련이 있다.^[4] $A$ 가 미미한 세트가 아닐 때 $AA$ 가⁻¹ ID 요소의 열린 이웃을 포함한다는 것을 보여주기 위해 폴란드 그룹에서 Har null 세트가 사용되어 왔다.^[5]이 속성은 스타인하우스 정리의 결론이기 때문에 휴고 스타인하우스(Hugo Steinhaus)의 이름을 따서 명명되었다.

참고 항목

참조

^ Franks, John (2009). A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration. The Student Mathematical Library. Vol. 48. American Mathematical Society. p. 28. doi:10.1090/stml/048. ISBN 978-0-8218-4862-3.
^ van Douwen, Eric K. (1989). "Fubini's theorem for null sets". American Mathematical Monthly. 96 (8): 718–21. doi:10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR 2324722. MR 1019152.
^ Matouskova, Eva (1997). "Convexity and Haar Null Sets" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (6): 1793–1799. doi:10.1090/S0002-9939-97-03776-3. JSTOR 2162223.
^ Solecki, S. (2005). "Sizes of subsets of groups and Haar null sets". Geometric and Functional Analysis. 15: 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074. doi:10.1007/s00039-005-0505-z. MR 2140632. S2CID 11511821.
^ Dodos, Pandelis (2009). "The Steinhaus property and Haar-null sets". Bulletin of the London Mathematical Society. 41 (2): 377–44. arXiv:1006.2675. Bibcode:2010arXiv1006.2675D. doi:10.1112/blms/bdp014. MR 4296513. S2CID 119174196.

추가 읽기

Capinski, Marek; Kopp, Ekkehard (2005). Measure, Integral and Probability. Springer. p. 16. ISBN 978-1-85233-781-0.
Jones, Frank (1993). Lebesgue Integration on Euclidean Spaces. Jones & Bartlett. p. 107. ISBN 978-0-86720-203-8.
Oxtoby, John C. (1971). Measure and Category. Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-0-387-05349-3.

[1] Franks, John (2009). A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration. The Student Mathematical Library. Vol. 48. American Mathematical Society. p. 28. doi:10.1090/stml/048. ISBN 978-0-8218-4862-3.

[2] van Douwen, Eric K. (1989). "Fubini's theorem for null sets". American Mathematical Monthly. 96 (8): 718–21. doi:10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR 2324722. MR 1019152.

[3] Matouskova, Eva (1997). "Convexity and Haar Null Sets" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (6): 1793–1799. doi:10.1090/S0002-9939-97-03776-3. JSTOR 2162223.

[4] Solecki, S. (2005). "Sizes of subsets of groups and Haar null sets". Geometric and Functional Analysis. 15: 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074. doi:10.1007/s00039-005-0505-z. MR 2140632. S2CID 11511821.

[5] Dodos, Pandelis (2009). "The Steinhaus property and Haar-null sets". Bulletin of the London Mathematical Society. 41 (2): 377–44. arXiv:1006.2675. Bibcode:2010arXiv1006.2675D. doi:10.1112/blms/bdp014. MR 4296513. S2CID 119174196.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v t 측량 이론
기본개념	절대 연속성 르베그 통합 L공백^p 치수 공간 측정 확률공간 측정 가능한 공간/기능
놓다	거의 모든 곳에서 보렐 세트 측정의 수렴 𝜆-시스템 필수 범위 최소/최소 국소 측정 가능 π-시스템 σ-algebra 측정할 수 없는 집합 비탈리 세트 Null 집합 지원 횡척도
측정 유형	베이어 바나흐 베소프 보렐 콤플렉스 완성하다 내용 (논리적으로) 볼록스 이산형 유한한 내부 (Quasi-) 불변성 국소 유한 최대화 미터법 바깥쪽 바깥쪽 퍼펙트 사전측정 (하위-) 확률 투영 값 라돈 무작위 정규 보렐 정규 이너 레귤러 아우터 레귤러 포화상태 함수 설정 σ-finite s-through 서명된 단수형 스펙트럼 엄밀히 말하면 긍정적이다. 꽉 끼다 벡터
특정조치	계산 디락 오일러 가우스어 하르 조화 하우스도르프 강도 레베게 로그 제품 푸시포워드 구면계 접선 사소한 젊은
주요 결과	카라테오도리의 확장 정리 수렴 정리 지배적인 모노톤 비탈리 분해 정리 한 조던 에고로프스 파투 보조정리 푸비니즈 홀더 부등식 민코프스키 부등식 라돈-니코딤 리에즈-마르코프-카쿠타니 표현 정리
기타 결과	해체 정리 르베그 밀도 정리 르베그 분화 정리 사르트의 정리
적용들	확률론 실분석 스펙트럼 이론

Search