그로텐디크-리만-로흐 정리

그로텐디크-리만-로흐 정리

그로텐디크-리만-로치 정리에 대한 그로텐디크의 논평
밭	대수 기하학
에 의한 첫 번째 증명	알렉산더 그로텐디크
첫 번째 증빙 인	1957
일반화	아티야-싱어 지수 정리
결과들	히르제브루흐-리만-로흐 정리 표면의 리만-로치 정리 리만-로치 정리

수학에서, 특히 대수 기하학에서, 그로텐디크-리만-로치 정리는 일관성 있는 공동체에 대한 광범위한 결과물이다.복잡한 다지관에 관한 히르제브루흐-리만-로흐 정리의 일반화로서, 그 자체가 콤팩트 리만 표면의 선다발에 대한 고전적인 리만-로치 정리의 일반화다.null

Riemann-Roch 유형 이론은 벡터 번들 코호몰로지 오일러 특성과 그들의 위상학 학위 또는 그것들의 (co)호몰로지 또는 대수학 유사학에서 더 일반적으로 그들의 특성 클래스를 연관시킨다.고전적인 리만-로치 정리는 곡선 및 선다발에 대해 이 작업을 수행하는 반면, 히르제브루흐-리만-로치 정리는 다지관 위에 있는 벡터 번들에 이 작업을 일반화한다.그로텐디크-리만-로치 정리는 두 다지관 사이의 형태론의 상대적 상황에서의 두 가지 정리(또는 더 일반적인 계획)를 설정하고, 하나의 묶음에 관한 진술에서, 그 정리를 연쇄 단지에 적용하는 것으로 바꾼다.null

그 정리는 아티야-싱어 지수 정리의 발달에도 적지 않은 영향을 끼쳤다.반대로, 그로텐디크-리만-로치 정리의 복잡한 분석적 유사성은 가족을 위한 지수 정리를 사용하여 증명할 수 있다.알렉산더 그로텐디크는 1957년에 출판된 원고에 첫 번째 증거를 제시했다.^[1]아르망 보렐과 장-피에르 세레는 1958년 그로텐디크의 교정쇄를 작성해 출판했다.^[2]후에 그로텐디크와 그의 협력자들은 그 증거를 단순화하고 일반화했다.^[3]null

공식화

X를 한 분야에 걸쳐 매끄러운 준프로젝트적 계획이 되게 하라.이러한 가정 하에서, 일관성 있는 피복의 경계 콤플렉스의 그로텐디크 그룹 K ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle K_{0}(X)}$은 유한 순위 벡터 번들의 경계 콤플렉스의 그로텐디크 그룹과 표준적으로 이형화된다.이러한 이형성을 이용하여 체르누스적 성격(체르누스 계급의 이성적 조합)을 펑토릭적 변혁으로 간주한다.

${\displaystyle \mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathb {Q}),}$

여기서 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Q\mathbb{}}$) ${\displaystyle A_{d}(X,\mathb {Q} )$는 치수 d 모듈로 합리적 등가성의 X에 대한 사이클의 차우 그룹이며, 합리적인 숫자로 강조되어 있다.X가 복잡한 숫자에 걸쳐 정의되는 경우, 후자 그룹은 위상학적 코호몰로지 그룹에 매핑된다.

${\displaystyle H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathb {Q}).$

이제 $X{\displaystyle }$. {\$displaystyle X.}$에 있는 부드러운 준 $투사$ 체계와 $경계선$인 F $∙{\$ 사이의 $적절한$ 형태론을 ${\displaystyle \mathrm{고려}}$하십시오${\displaystyle .}$

그로텐디크-리만-로치 정리는 푸시포워드 지도와 관련이 있다.

$f_{!}}=\sum(-1)^{i}^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)}}$

(높은 다이렉트 이미지의 합계) 및 푸시포워드

${\displaystyle f_{*}\colon A(X)\to A(Y)},}$

공식으로

${\displaystyle \mathrm {ch}(f_{!)}{\mathcal{F}^{\bullet }\mathrm {td}(Y)=f_{*}(\mathrm {ch})({\mathcal {F}^{\bullet }}\mathrm {td}(X)})}}$

여기서 $t{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \mathrm {td} (X)}$은(의 접선 번들) X의 Todd 속이다.따라서 정리는 위의 감각과 체르누스 성격에서 추진력을 앞으로 가져가는 동시성이 결여된 것에 대해 정밀한 측정을 제공하며 필요한 보정 인자는 X와 Y에만 의존한다는 것을 보여준다.사실 토드 속은 정확한 순서에서 펑토릭(functorial)이고 승법적이기 때문에 그로텐디크-리만-로치 공식을 그대로 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {ch}(f_{!)}}{\mathcal{F}^{\bullet }=f_{*}(\mathrm {ch})({\mathcal {F}^{\bullet }}})\mathrm {td}(T_{f}),}}}$

where ${\displaystyle T_{f}}$ is the relative tangent sheaf of f, defined as the element ${\displaystyle TX-f^{*}(TY)}$ in ${\displaystyle K_{0}(X)}$. For example, when f is a smooth morphism, ${\displaystyle T_{f}}$ is simply a vector bundle, known as the tangent bundle alf의 섬유를 눅이다.null

A-호모토피¹ 이론을 이용해 나바로&나바로(2017년)에 의해 그렌디크-리만-로치 정리가 두 가지 매끄러운 계략 사이의 적절한 지도가 되는 상황으로 확장되었다.null

일반화 및 전문화

${\displaystyle \mathrm{정리}}$의${\displaystyle }$일반화는${\displaystyle }$c ${\displaystyle h\mathrm{}}$ (${\displaystyle }$- ) t ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ( ${\displaystyle X}$)$${\$displaystyle$ \$mathrmatrm {ch}(-)\$mathrmatrm${td}(X)}$ 조합의 적절한 일반화를 고려함으로써 비 매끄러운 경우에 이루어질 수 있다.null

산술 리만-로치 정리는 그로텐디크-리만-로치 정리를 산술 체계로 확장한다.null

히르제브루치-리만-로치 정리는 (본질적으로) Y가 점이고 필드는 복잡한 숫자의 분야인 특수한 경우다.null

지향적인 코호몰로지 이론을 위한 리만-로치 정리의 한 버전은 이반 파닌과 알렉산더 스미르노프에 의해 증명되었다.^[4]대수 지향 코호몰로지 이론(대수 거미줄 등) 사이의 승법 연산과 관련이 있다.그로텐디크-리만-로흐는 이 결과의 특별한 경우로, 체르누스 캐릭터는 이 설정에서 자연스럽게 등장한다.^[5]null

예

곡선상의 벡터 번들

필드 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대한 부드러운 투영 곡선의 n $순위{\displaystyle }$ n$[\displaystyle n}$ 및 $d$[\displaystyle d}(결정인자의 정도 또는 동등하게 첫 번째 체르 등급의 정도로 정의됨)의$$ 벡터 $번들{\displaystyle }$ E${\displaystyle }$→ ${\displaystystyle$ k$}$은 라인 번들에 대한 리만-Rech와 유사한 공식을 갖는다$$.$X{\displaystyle }$= ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X=C}$와 Y${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle Y=\{*\}}}$을(를) 한 점만 취하면 Grotendieck-Remann-Roch 공식을 다음과 같이 읽을 수 있다.

${\displaystyle {\displaysty}\mathrm {ch}(f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}+{1}(T_{C})\&=f_{*}(c_{1})+{1}(E)+{1}(T_{C})\&=d+n(-1g)\end{aigned}}}}}}$

이 때문에

$\displaystyle \chi(C,E)=d+n(1-g)}$^[6]

이 공식은 $또한{\displaystyle }$ n$등급과$d$$ $등급$ d$등급$의 일관성 있는 단을 포함한다$.$

적절한 지도 작성

그로텐디크-리만-로치 공식의 장점 중 하나는 히르제브루흐-리만-로치 공식의 상대적 버전으로 해석할 수 있다는 점이다.예를 들어, ${\displaystyle \mathrm{부드러운}}$ $형태론{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle$ f$\colon X\to$ Y$}$에는 모두 등차원이 되는 섬유(기본이$$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$로 변경될 때 위상학적 공간으로서의 이형성)가 있다.$$이 사실은 부드러운 적절한 공간을 매개$$ 변수화하는 모듈리 $공간{\displaystyle \mathcal{}}$ M ${\$을(를) 고려할 때 모듈리 이론에 유용하다.예를 들어, 데이비드 뭄포드는 이 공식을 대수곡선의 모듈리 공간에서 차우 링의 관계를 추론하기 위해 사용했다.^[7]null

곡선모듈리

For the moduli stack of genus ${\displaystyle g}$ curves (and no marked points) ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ there is a universal curve ${\displaystyle \pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ where ${\displaystyle {\overline{\mathcal{C}}}_g}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathcal{}}g}_{,}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ {\$mathcal{M}}_{g,1$}($$$g{\displaystyle }$ 속$${\$displaysty g$} 및$$ 1개의 표시된 점의 곡선의 모듈리 스택이다.그리고 나서, 그는 tautological class를 정의한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathb {E} &=\pi _{*}(\omega _{\overline {\mathcal{C}}}}/{\cline {\mathcal{M}}}}}}\lambda _{l}&=c}(\mathb {E} )\end{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \le }$ g ${\leq l\$leq l\$leq g}$ 및 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ $ω'g'/'{\overline {\mathcal{C}}}/{\overline {\mathcal{M}}_${g$}}}}}}}}}}$은 상대$$ 이중화 피복이다.Note the fiber of ${\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}}$over a point ${\displaystyle [C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ this is the dualizing sheaf ${\displaystyle \omega _{C}}$. He was able to find re나는}과 나는 κ{\displaystyle \lambda_{나는}은 λ 사이에 Lations}κ의 나는{\displaystyle \kappa_{나는} 합이 차우의 원산지는 눌러에}[7](6.2필연적인 결과)A∗(M감속){\displaystyle A^{*}({\mathcal{M}}_{g})}의 차원에서 보면 나는}{\displaystyle \lambda_{나는}은 λ을 설명하는{\displaystyle \kappa_{나는}.월그로텐디크-리만-로치를 사용한 매끄러운 위치.Because ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ is a smooth Deligne–Mumford stack, he considered a covering by a scheme ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ which presents ${\display$$style {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}/G]}$ for some finite group ${\displaystyle G}$. He uses Grothendieck-Riemann-Roch on ${\displaystyle \omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}}$ to get

${\displaystyle \mathrm {ch}(\pi _{!)}}(\omega _{\tilde {\mathcal {C}/{\tilde {\mathcal {M}})=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))}$

왜냐하면

${\displaystyle \mathbf {R}^{1}\pi _{!}}({\omega _{\tilde {\mathcal {C}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}_{g}}}})\cong {\mathcal {O}_{\tilde},},}$

이것이 공식을 제공한다.

${\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).}$

$그러면{\displaystyle \mathrm{}}$ c ${\displaystyle \mathrm{h}}$( ${\displaystyle E\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm$ {$ch}(\mathb {E}$)의 연산은 더욱 줄어들 수 있다$$.짝수 ${\displaystyle \mathrm{치수}}$ 2 $[\displaystyle 2k$

${\displaystyle {\text{ch}}(\mathb {E} )_{2k}=0.}$

또한 차원 1에서는

${\displaystyle \lambda _{1}=c_{1}(\mathb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta$}은$($는) 경계상의 클래스다.사례 $g{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle g=2}$과(와) 부드러운 위치 $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$에 관계가 있다$$.

${\displaystyle{\pregated}\progressda _{1}={1}{1}{1}\cappa _{1}}{1}{{1}^{1}2}}={\frac {\cappa _{1}{1}}}}}{288}}}}}}}}}}}}}{정렬}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$E{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 체른 문자를 분석하여 추론할 수 있다$.$

폐쇄 임베딩

폐쇄형 임베딩 $f{\displaystyle }$:${\displaystyle Y}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$f\$colon$ Y$\to$ X$}$에도 Grotendieck-Remann-Roch 공식을 사용한 설명이 있어$$ 공식이 유지되는 또 다른 비교 사례를 보여준다.^[8]치수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 $부드러운{\displaystyle }$ 버라이어티 X ${\displaystyle X}$ 및 코드션 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 하위 변수 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에 대해 다음 공식이 있다$.$

${\displaystyle c_{k}({\mathcal {O}_{Y}=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]}$

짧은 정확한 시퀀스 사용

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}_{{$$Y}\to {\mathcal {O}_{X}\to {\mathcal {O}_{Y}\to$ 0$\},$

공식이 있다.

${\displaystyle c_{k}({\mathcal {I}_{Y}=(-1)^{k}(k-1)![Y]}$

$1{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle c}$ (${\displaystyle O_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$ (${\displaystyle O_{}}$ Y${\displaystyle {}_{}}$) c${\displaystyle }$( I $){\displaystyle 1=c({\mathcal{O}_{X}}}=c({\mathcal {O}_{Y}c)({\mathcal {I}}}}}{\$mathcal$}}}}}{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}$$Y}}$ $.$

적용들

모듈리 공간의 준투영성

Grotendieck-Remann-Roch는 뾰족한 대수 곡선 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {g,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 모듈리 공간과$$같은 거친 모듈리 공간 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}$이$($가) 투영 공간에 내포됨을 인정한다는 것을 입증하는 데 사용될 수 있다.$이$는 M ${\displaystyle M}$에 표준적으로 연결된 단면을 보고$$ 관련 라인 번들의 정도를 연구함으로써 달성할 수 있다.예를 들어, $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 곡선 패밀리를 가지고$$^[9] 있다.

${\displaystyle \pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}}$

분할하여

${\displaystyle s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}}}$

표시된 점에 대응한다.각 섬유는 표준 번들 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\$를 가지므로 관련 라인 번들이 있다$.$

그리고알고 보니

${\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes \{i=1}^{n}\chi_{g,n}^{(i)}\right)}}}$

넉넉한 선다발이기^{[9]pg 209} 때문에 ${\displaystyle {\mathrm{거친}}_{}}$ 모듈리 공간 ${\displaystyle M_{}}$ g${\displaystyle {,}_{}}$ n ${\$은(는) 준투사적이다.null

역사

알렉산더 그로텐디크의 리만-로치 정리 버전은 원래 1956-1957년경에 장 피에르 세레에게 보낸 편지로 전달되었다.그것은 1957년 초기 본 아르비타궁에서 공개되었다.세레와 아르망 보렐은 그 후 프린스턴 대학에서 세미나를 조직하여 그것을 이해했다.최종 발행된 논문은 사실상 보렐-세레 박람회였다.null

그로텐디크 접근법의 중요성은 몇 가지 점에 있다.첫째, 그로텐디크는 진술 자체를 바꾸었는데, 그 당시 정리는 품종에 관한 정리라고 이해한 반면 그로텐디렉은 그것을 품종들 사이의 형태주의에 관한 정리라고 보았다.올바른 일반화를 찾아냄으로써, 결론은 더욱 일반화되는 반면 증거는 더 단순해졌다.간단히 말해서, 그로텐디크는 딱딱한 분석에 강력한 범주형 접근법을 적용했다.더구나 그로텐디크는 위에서 논의한 바와 같이 K그룹을 도입하여 대수학 K이론의 발판을 마련하였다.null

참고 항목

• 가와사키 리만-로치 공식

메모들

참조

• Berthelot, Pierre (1971). Alexandre Grothendieck; Luc Illusie (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Lecture notes in mathematics 225). Lecture Notes in Mathematics (in French). Vol. 225. Berlin; New York: Springer-Verlag. xii+700. doi:10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8.
• Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre (1958), "Le théorème de Riemann–Roch", Bulletin de la Société Mathématique de France (in French), 86: 97–136, doi:10.24033/bsmf.1500, ISSN 0037-9484, MR 0116022
• Fulton, William (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 2 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-62046-X, MR 1644323, Zbl 0885.14002
• Navarro, Alberto; Navarro, José (2017), On the Riemann-Roch formula without projective hypothesis, arXiv:1705.10769, Bibcode:2017arXiv170510769N
• Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2000). "Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties".

외부 링크

• 그로텐디크-리만-로치 정리
• MathOverflow에 있는 "Grotherndeck-Remann-Roch의 응용 프로그램?"이라는 스레드.
• MathOverflow의 "GRR을 어떻게 이해하는가? (Grothendeck Riemann Roch)"라는 스레드.
• Stack Exchange의 "Chern class of imple sheaf" 스레드.