리만 불변성

리만 불변제는 보다 쉽게 해결할 수 있도록 보존 방정식 시스템에서 만들어진 수학적 변형이다. 리만 불변제는 불변제라는 이름을 얻은 부분 미분방정식의 특성 곡선을 따라 일정하다. 그것들은 베른하르트 리만이 가스 역학에서 비행기 파동에 대한 그의 연구에서 처음 얻은 것이다.^[1]

수학 이론

보존 방정식의 집합을 고려하십시오.

${\displaystyle l_{i}\왼쪽(A_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{{j}}}{partial t_{j}}{partial u_}}}{j}}}}{partial x}\rig}}+l_{j}=0}$

여기서 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$는 행렬 $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$\mathbf {A$$}}$의 $요소$이며$,$ ${\displaystyle l_{}}$ {\$displaystyle l_{i}$ ${\displaystyle {및}_{}}$ b ${\$은 벡터의 요소들이다$$. 이 방정식을 에 다시 쓸 수 있는 것이 가능한지 의문이 제기될 것이다.

${\displaystyle m_{j}\좌측(\frac {\fract u_{j}}}}{\fract t}}+{\fract u_{j}}}\우측)+l_{j}b_{j}=0}$

이 곡선은 벡터 필드$({\displaystyle \alpha }$,$$)에 의해 정의된 $({\displaystyle x}$,${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle$($x,$$t)}$ 평면에$$ 도입된다$.$ 괄호 안의 용어는 ${\displaystyle x}$, t ${\displaystyle x,t}$이(가) x${\displaystyle }$= X (${\displaystyle \eta }$ )${\displaystyle }$, t${\displaystyle }$= ${\displaystyle T}$ (${\displaystyle \eta }$ ) ${\displaystyle$ x$=X$(\$eta )$ $,t=T$(\eta $)}$로 파라메트리되는 총 파생상품의 관점에서 다시 쓰일 것이다.

${\displaystyle {\frac {du_{j}}{d\eta }}=T'{\frac {\partial u_}{j}}{\partial t}+X'{\frac {\partial u_}{j}{\partial x}}}}}}}}}}}}}$

우리가 찾은 마지막 두 방정식을 비교하는 것

${\displaystyle \alpha =X'(\eta ),\beta =T'(\eta )}$

이제 특징적인 형태로 쓰여질 수 있는.

${\displaystyle m_{j}{\frac {du_{j}}{d\eta }}}}+l_{j}b_{j}=0}$

조건을 갖추어야 할 곳

${\displaystyle l_{i}A_{ij}=m_{j}T'}$

${\displaystyle l_{i}a_{ij}=m_{j}X'}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 m ${\$을(를) 제거하여 필요한 조건을 제공할 수 있다$$.

${\displaystyle l_{i}(A_{ij}X'-a_{ij})T')=0}$

그래서 비경쟁적인 해결책이 결정 요인이 된다.

${\displaystyle A_{ij}X'-a_{ij}T' =0}$

리만 불변성의 경우, 우리는 $매트릭스{\displaystyle \mathbf{}}$ A ${\$가) 형성되는 ID 매트릭스인 경우에 대해 염려한다.

${\displaystyle {\frac {\frac u_{j}{\property t}+a_{ij}{\frac u_}{\frac u_}{\property x}=0}$

벡터 $n{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 0이기$$ 때문에 이 값이 균일하다는 점에 유의하십시오. 특징적인 형태에서 시스템은

${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{u}{}}$ t${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle l_{i}{\frac {du_}}{dt}=0}($${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$t = d x d t = ${\dx}{dt}=\data$})}

여기서 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$은(는$)$ $매트릭스{\displaystyle \mathbf{}}$ A {\$displaystyle \mathbf$ {A$}$의 왼쪽 고유 벡터이고 $and$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \lambda 's}$은(는) $매트릭스{\displaystyle \mathbf{}}$A {\$displaystystyle \matbf {A}$의 고유값의 고유값 특성 속도로서 만족도가$$ 된다.

$\displaystyle A-\lambda \delta _{ij} =0}$

이러한 특성 방정식을 단순화하기 위해 ${\displaystyle \frac{\mathrm{dr}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ d${\displaystyle \frac{}{}\frac{t}{}}$ = ${\displaystyle {}_{}\frac{}{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$ i ${\displaystyle \frac{t}{}}$ ${\$과 같은 변환을 만들 수 있다.

어떤 형태인지

${\displaystyle \mu l_{i}du_{i}=dr}$

적분 인자 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$을(를) 곱하여 이를 적분할 수 있다$$. 그래서 그 시스템은 이제 독특한 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle \frac{}{}\mathrm{d}}$ ${\displaystyle \frac{r}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ t${\displaystyle \frac{}{}}$= 0 ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}=0}$ on$$ d ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ x t${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\dx}{dt}=\data _{i}}}$

대각선 시스템과^[2] 동등한 것

${\displaystyle r_{t}^{k}^{k}+\data _{k}r_{x}^{k}=0,}$ ${\displaystyle k=1,...,N.}$

이 체계의 해법은 일반화된 호도계법으로 주어질 수 있다.^[3][4]

예

밀도 면에서 작성된 1차원 오일러 방정식 고려 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$ 및$$ 속도 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은(는)

${\displaystyle \rho _{t}+\rho u_{x}+u\rho _{x}=0}$

${\displaystyle u_{t}+uu_{x}+(c^{2}/\rho )\rho _{x}=0}$

c ${\displaystyle c}$이(가) 음속인 상태에서$$ 등방성 가정으로 도입된다. 이 시스템을 매트릭스 형식으로 작성

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{t}+\left({\begin{matrix}u&\rho \\{\frac {c^{2}}{\rho }}&u\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{x}=\left({\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right)}$

여기서 고유값 및 고유 벡터 위의 분석에서$$ ${\$ $행렬$을 찾아야 한다. 고유값이 만족하는 것으로 확인됨

${\displaystyle \lambda ^{2}-2u\lambda +u^{2}-c^{2}=0}$

주다

$\displaystyle \lambda =u\pm c}$

그리고 고유 벡터는

${\displaystyle \lefts\{precent}1\{\frac {c}{\rho }}}\{\refract\{precipal}\{\rho }}}\{\rho }}\ip)}$

리만 불변자가 있는 곳

${\displaystyle r_{1}=J_{+}=u+\int {\frac {c}{\rho }}$

${\displaystyle r_{2}=J_{-}=u-\int {\frac {c}{\rho }}$

(${\displaystyle {}_{}}$+ ${\$ $J$ - ${\$는 가스 역학에서 널리 사용되는 표기법이다$$. 일정한 특정 열을 가하는 완벽한 가스의 경우, ${\displaystyle {관계\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{c}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \text{constit}}$ const ${\displaystyle {\gamma }^{}}$- 1 ${\$$\rho ^{\$$displaysty \gamma$ $-1$$}$가 특정 열비인 $리만{\displaystyle }$불변성을^[5][6] 부여한다.

${\displaystyle J_{+}=u+{\frac {2}{\gamma -1}c,}$

${\displaystyle J_{-}=u-{\frac {2}{\gamma -1}c,}$

방정식을 말하자면

${\displaystyle {\frac {\partial J_}{\partial t_}{\partial t}+(u+c){\partial j_}{\partial x}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial J_{-}{-}{\partial t}+(u-c){\partial J_{-}{\partial x}=0}$

바꾸어 말하면, 환언하면

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&dJ_{+}=0,\,J_{+}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{+}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u+c,\\&dJ_{-}=0,\,J_{-}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{-}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u-c,\end{aligned}}}$

$여기$서 C${\displaystyle {}_{}}$+ ${\$ 및$$ $C{\displaystyle {}_{}}$- ${\$이(가) 특성 곡선이다$$. 이것은 호도계 변환으로 해결할 수 있다. 호도면에서는 모든 특성이 하나의 곡선으로 무너지면 우리는 단순한 파동을 얻는다. pde 시스템의 매트릭스 형식이 형식인 경우

${\displaystyle A{\frac {\partial v}{\partial t}+B{\partial v}{\partial x}=0}$

$그런{\displaystyle \mathbf{}}$ 다음 A ${\$의 행렬 결정 인자가 0이 아닌$$$$ 한 $역행렬{\displaystyle {}^{\mathrm{A}}}$ - 1$${\$displaystyle$ A$^{-1$}에 곱할 수 있다.

참고 항목

• 단순파

참조