진동(수학)

시퀀스의 진동(파란색으로 표시됨)은 시퀀스의 한계 상위와 한계 하위의 차이를 말한다.

수학에서 함수나 수열의 진동은 그 수열이나 함수가 무한대나 한 점에 접근할 때 그 극한값 사이에서 얼마나 변화하는지 계량하는 숫자다.한계가 있는 경우와 마찬가지로, 직관적 개념을 수학적 치료에 적합한 형태로 넣는 몇 가지 정의가 있는데, 그것은 실수의 순서의 진동, 한 지점에서 실제 값을 매긴 함수의 진동, 그리고 간격(또는 열린 집합)에서의 함수의 진동이다.

정의들

시퀀스의 진동

$(a_{n})$ ) ${\displaystyle (a_{n}})$ 을 실제 숫자의 순서가 되도록 $(a_{n})$ 한다.해당 시퀀스의 진동 $\omega (a_{n})$ $\omega (a_{n})$ ) ${\displaystyle \omega(a_{n}})$ 는 $(a_{n})$ ( $(a_{n})$ ) ${\displaystyle(a_{n}})$ 의 한계와 하한 사이의 차이(잠재적으로 무한)로 정의된다 $(a_{n})$

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

=

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

→

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

-

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

→ n - lim inf n →

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

{\

시퀀스가 수렴되는 경우에만 진동이 0이다. $\limsup _{n\to \infty }$ $\limsup _{n\to \infty }$ → $\limsup _{n\to \infty }$ {\ $displaystyle \limsup$ _ ${n\to\inft$ $}$ 과 $\limsup _{n\to \infty }$ ( $와$ ) $\liminf _{n\to \infty }$ $inflows$ 이 $\liminf _{n\to \infty }$ (가) + +이거나 -∞과(와) 같은 경우 정의되지 않는다.

열린 집합에서 함수의 진동

$f$ $f$ 을(를) 실제 변수의 실제 값 함수가 되도록 $f$ 한다.도메인에서 $I$ 간격 $I$ $I$ 에서 $f$ $f$ $f$ 이(가) $진동$ 하는 $것$ 은 f {\displaystyle $f}$ 의 우월성과 최소값 간의 차이 $f$

\displaystyle \omega _{f}(I)=\sup _{x\in I}f(x)-\inf _{x\inf _{x\in i}f(x).}

$f:X\to \mathbb {R}$ 일반적으로 $f:X\to \mathbb {R}$ : $f:X\to \mathbb {R}$ → R ${\$ 이(가) 위상학적 $공간$ X ${\displaystyle X}($ 예: 미터법 공간)의 함수라면 $f:X\to \mathbb {R}$ 개방형 세트 $U$ $U$ 에서 $f$ f ${\displaystystyf}$ 의 $U$ 진동은

\displaystyle \omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\inf _{x\in U}f(x).}

점에서의 함수의 진동

지점 $x_{0}$ $x_{0}$ 에서 실제 변수의 $f$ $f$ ${\$ $displaystyle$ $x_$ ${$ } 함수 f ${\$ $displaystyle x_{0$ $}$ 의 $f$ 진동은 $x_{0}$ 에서 f ${\displaystyle$ $f}$ 의 $\epsilon\to 0$ 진동에 대한 한계 → 0 {\ $displaystyle$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\to 0$ $x_{0}$ 으로 정의된다 $x_{0}$ .

\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon).

$x_{0}$ 는 x $x_{0}$ ${\$ $displaystyle x_{$ $0$ $x_{0}$ 을(를) 한계에서 제외하지 않는 $x_{0}$ 한 x $x_{0}$ ${\$ $displaystyle x_{0}$ 에서 함수의 한계 상위와 한계 하위의 차이와 같다.

보다 일반적으로 $f:X\to \mathbb {R}$ : $f:X\to \mathbb {R}$ → R ${\$ 가) 메트릭 공간의 실제 값 함수라면 $f:X\to \mathbb {R}$ 진동은

\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon })(x_{0}).

예

sin (1/x) (위상학자의 사인 곡선)은 x = 0에서 진동이 2이고, 다른 곳에서는 0이다.

${\frac {1}{x}}$ ${\frac {1}{x}}$ ${\$ 은(는) x ${\displaystyle$ x $}$ $x$ = 0일 때 진동이 has이고 ${\frac {1}{x}}$ , $다른$ 유한x {\ $displaystyle$ x $}$ 및 $x$ -display 및 +m일 때 진동이 0이다.
$\sin {\frac {1}{x}}$ 1 $\sin {\frac {1}{x}}$ x {\ $displaystyle \sin$ {\ $frac {$ 1}{x $}}($ 토폴리스트 사인 곡선)는 x{\ $displaystyle$ x} $x$ = 0에서 진동 2를 나타내며, 그 밖의 경우에는 0이다.
$\sin x$ $\sin x$ $\sin x$ ${\displaystyle \sin$ x $}$ 은(는) 모든 유한 $x$ ${\displaystyle$ x $x$ 에 0을, -display 및 +display에 2를 $\sin x$ 가진다.
$(-1)^{x}$ - $(-1)^{x}$ ) $(-1)^{x}$ ${\$ 또는 $(-1)^{x}$ 1, -1, -1, 1, -1...진동 2.

마지막 예에서 시퀀스는 주기적이며 일정하지 않은 주기적인 시퀀스는 0이 아닌 진동을 갖는다.그러나 0이 아닌 진동은 보통 주기성을 나타내지 않는다.

기하학적으로, 실제 숫자의 진동 함수의 그래프는 xy 평면의 어떤 경로를 따라가고, 더 작은 영역으로 정착하지 않는다.올바른 행동의 경우 그 경로는 스스로 되돌아오는 고리처럼 보일 수 있다. 즉, 주기적인 행동이다. 최악의 경우 전체 지역을 덮는 매우 불규칙한 움직임이다.

연속성

Oscillation 함수의 연속성을 정의해 주고 쉽게 평소ε-δ 정의(기능의 경우는 모든 곳에 진짜 라인에 정의된)에 해당합니다:기능 ƒ 점 x0 만일 진동은 제로에서;기호로[1], ω f(x0)=0입니다.{\displaystyle \omega_{f}(x_{0})=0 연속적입니다.}한!사용될 수 있다.맞이 정의 중 하나는 그것이 불연속성을 정량화한다는 것이다: 진동으로 인해 한 지점에서 기능이 얼마나 불연속적인지 알 수 있다.

예를 들어, 불연속성의 분류에서:

탈착식 불연속성에서 함수 값이 OFF되는 거리는 진동이다.
점프 불연속성에서 점프의 크기는 진동(점프의 값이 양쪽에서 이 한계 사이에 있음을 나타냄)이다.
본질적인 불연속성에서 진동은 한계 존재의 실패를 측정한다.

이 정의는 불연속점 집합과 연속점 집합(연속점은 진동이 ε(G_δ 세트) 미만인 집합의 교차점)을 연구하기 위해 기술 집합 이론에 유용하며, 르베그 통합성 조건의 한 방향에 대한 매우 빠른 증거를 제공한다.^[2]

진동은 단순한 재분류에 의한 Δ의 정의에 상당하며, 진동을 정의하기 위해 한계(림수프, 림 inf)를 사용함으로써, 주어진 Δ의₀ 정의를 만족하는 Δ가 없다면, 진동은 최소한 Δ가₀ 있고, 반대로 Δ가 원하는 Δ가 있으면 0이 된다.진동 정의는 위상학적 공간에서 미터법 공간까지의 지도로 자연스럽게 일반화될 수 있다.

일반화

보다 일반적으로 f : X → Y가 위상학적 공간 X에서 미터법 공간 Y까지의 함수라면, f의 진동은 각 x ∈ X에서 다음에 의해 정의된다.

\omega(x)=\inf \left\{\mathrm {diam}(f(U))\mid U\mathrm {\ is\ a\ annears\\}x\iright\}}

참고 항목

참조

^ Real Analysis 소개, 2010년 4월 업데이트된 William F.참호, 정리 3.5.2, 페이지 172
^ Real Analysis 소개, 2010년 4월 업데이트된 William F.트렌치, 3.5 "적절한 리만 적분자의 존재를 보다 고급스럽게 보다" 페이지 171–177

추가 읽기

Hewitt and Stromberg (1965). Real and abstract analysis. Springer-Verlag. p. 78. ISBN 9780387901381.
Oxtoby, J (1996). Measure and category (4th ed.). Springer-Verlag. pp. 31–35. ISBN 978-0-387-90508-2.
Pugh, C. C. (2002). Real mathematical analysis. New York: Springer. pp. 164–165. ISBN 0-387-95297-7.

[1] Real Analysis 소개, 2010년 4월 업데이트된 William F.참호, 정리 3.5.2, 페이지 172

[2] Real Analysis 소개, 2010년 4월 업데이트된 William F.트렌치, 3.5 "적절한 리만 적분자의 존재를 보다 고급스럽게 보다" 페이지 171–177

[2]

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