리만 해결사

리만 해결사는 리만 문제를 해결하기 위해 사용되는 숫자 방법이다. 그것들은 계산 유체 역학과 계산 자기유체역학에서 많이 사용된다.

정의

일반적으로 말해서, 리만 해결사는 리만 문제의 불연속성에 걸친 수적 흐름을 계산하는 구체적인 방법이다.^[1] 그것들은 고해상도 계획에서 중요한 부분을 형성한다. 일반적으로 리만 문제에 대한 좌우 상태는 플럭스 리미터나 WENO 방법과 같은 비선형 재구성 형태를 사용하여 계산한 다음 리만 해결사의 입력으로 사용된다.^[2]

정확한 해결사

세르게이 K. 고두노프는 이전의 CIR(Courant-Isacson-Rees) 방법을 쌍곡선 보존법의 비선형 시스템으로 확장함으로써 오일러 방정식에 최초의 정확한 리만 해결사를 도입한 공로를 인정받고 있다.^[3] 현대의 해결사들은 상대론적 효과와 자기장을 시뮬레이션 할 수 있다.

보다 최근의 연구는 리만 문제에 대한 정확한 직렬 해결책이 존재한다는 것을 보여주는데, 이것은 고두노프의 계획에 필요한 반복적인 방법을 피하기 위해 어떤 경우에는 충분히 빠르게 수렴될 수 있다.^[4]

근사 용해제

특히 자기유체역학에서는 반복적인 해결책이 너무 비싸기 때문에, 몇 가지 근사치를 만들어야 한다. 일부 인기 해결사는 다음과 같다.

노루 용해제

필립 L. 로는 야코비안의 선형화를 이용했고, 그 후 정확히 해결한다.^[5]

HLLE 해결사

HLLE 해결사(Ami Harten, Peter Lax, Bram van Leer, Einfeldt에 의해 개발됨)는 리만 문제에 대한 대략적인 해결책이며, 이는 오직 보존법의 본질적 형태와 인터페이스에서 가장 크고 작은 신호 속도에 기초한다.^[6]^[7] HLLE 솔버의 안정성과 강건성은 원래 논문에서 아인펠트가 제안한 것과 같이 신호 속도 및 단일 중앙 평균 상태와 밀접한 관련이 있다.

HLLC 해결사

HLLC(Harten-Lax-van Leer-Contact) 해결사는 토로가 도입했다.^[8] 선형화와 같이 일부 추정치에 의해 누락된 레어액션 파형을 복원하는데, 이는 단순할 수 있지만 중파 속도에 Roe 평균 속도를 사용하는 것처럼 보다 발전된 것이 존재한다. 그들은 꽤 튼튼하고 효율적이지만 다소 더 난해하다.^[9]

회전-하이브리드 리만 솔버

이러한 용해제는 니시카와 히로아키와 키타무라가 로 용해자의 카르분클 문제와 HLLE 용해제의 과도한 확산을 동시에 극복하기 위해 도입한 것이다.^[10] 그들은 Roe 용해체와 HLLE/Rusanov 용해체를 결합하여 견고하고 정확한 Riemann 용해체를 개발하였는데, 두 Rieman 용해체를 두 가지 직교 방향으로 적용하면 단일 Roe형 용해체(파속도가 변형된 Roe 용해체)로 결합할 수 있음을 보여준다. 특히 Roe 및 HLLE 용해제(Rotated-RHLL 용해제)에서 파생된 용해제는 매우 견고하며(구조화 및 비정형 그리드에서 가능한 모든 시험 사례에 대해 카번클리스가 없음) 정확하고(경계층 계산에 대한 Roe 용해제만큼 정확함)가 높다.

기타 해결사

HLL 방식과^[11] 특성 분해를 통한 플럭스 스플릿에 기초한 솔러를 포함하여 다양한 다른 솔버를 사용할 수 있다.^[12]

메모들

^ LeVeque, Randall J., 1955- (1992). Numerical methods for conservation laws (2nd ed.). Basel: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2723-5. OCLC 25281500.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
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^ Wu, Y.Y.; Cheung, K.F. (2008), "Explicit solution to the exact Riemann problem and application in nonlinear shallow-water equations", Int. J. Numer. Methods Fluids, 57 (11): 1649–1668, Bibcode:2008IJNMF..57.1649W, doi:10.1002/fld.1696
^ Roe, P. L. (1981), "Approximate Riemann solvers, parameter vectors and difference schemes", J. Comput. Phys., 43 (2): 357–372, Bibcode:1981JCoPh..43..357R, doi:10.1016/0021-9991(81)90128-5
^ Harten, Amiram; Lax, Peter D.; Van Leer, Bram (1983). "On Upstream Differencing and Godunov-Type Schemes for Hyperbolic Conservation Laws". SIAM Review. 25 (1): 35–61. doi:10.1137/1025002. ISSN 0036-1445. JSTOR 2030019.
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^ Donat, R.; Font, J.A.; Ibáñez, J.Ma; Marquina, A. (October 1998). "A Flux-Split Algorithm Applied to Relativistic Flows". Journal of Computational Physics. 146 (1): 58–81. Bibcode:1998JCoPh.146...58D. doi:10.1006/jcph.1998.5955.

참고 항목

참조

Toro, Eleuterio F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Berlin: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-65966-2

외부 링크

[1] LeVeque, Randall J., 1955- (1992). Numerical methods for conservation laws (2nd ed.). Basel: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2723-5. OCLC 25281500.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)

[2] Toro, E. F. (2006). Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics : a practical introduction (3rd [rev.] ed.). Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-49834-6. OCLC 405546150.

[3] Godunov, S. K. (1959), "A difference scheme for numerical computation of discontinuous solution of hyperbolic equation", Mat. Sbornik, 47: 271–306

[4] Wu, Y.Y.; Cheung, K.F. (2008), "Explicit solution to the exact Riemann problem and application in nonlinear shallow-water equations", Int. J. Numer. Methods Fluids, 57 (11): 1649–1668, Bibcode:2008IJNMF..57.1649W, doi:10.1002/fld.1696

[5] Roe, P. L. (1981), "Approximate Riemann solvers, parameter vectors and difference schemes", J. Comput. Phys., 43 (2): 357–372, Bibcode:1981JCoPh..43..357R, doi:10.1016/0021-9991(81)90128-5

[6] Harten, Amiram; Lax, Peter D.; Van Leer, Bram (1983). "On Upstream Differencing and Godunov-Type Schemes for Hyperbolic Conservation Laws". SIAM Review. 25 (1): 35–61. doi:10.1137/1025002. ISSN 0036-1445. JSTOR 2030019.

[7] Einfeldt, B. (1988), "On Godunov-type methods for gas dynamics", SIAM J. Numer. Anal., 25 (2): 294–318, Bibcode:1988SJNA...25..294E, doi:10.1137/0725021

[8] Toro, E. F.; Spruce, M.; Speares, W. (1994), "Restoration of the contact surface in the HLL-Riemann solver", Shock Waves, 4 (1): 25–34, Bibcode:1994ShWav...4...25T, doi:10.1007/BF01414629

[9] Quirk, J. J. (1994), "A contribution to the great Riemann solver debate", Int. J. Numer. Methods Fluids, 18 (6): 555–574, Bibcode:1994IJNMF..18..555Q, doi:10.1002/fld.1650180603, hdl:2060/19930015894.

[10] Nishikawa, H.; Kitamura, K. (2008), "Very simple, carbuncle-free, boundary-layer-resolving, rotated-hybrid Riemann solvers", J. Comput. Phys., 227 (4): 2560–2581, Bibcode:2008JCoPh.227.2560N, doi:10.1016/j.jcp.2007.11.003

[11] Miyoshi, Takahiro; Kusano, Kanya (September 2005). "A multi-state HLL approximate Riemann solver for ideal magnetohydrodynamics". Journal of Computational Physics. 208 (1): 315–344. Bibcode:2005JCoPh.208..315M. doi:10.1016/j.jcp.2005.02.017.

[12] Donat, R.; Font, J.A.; Ibáñez, J.Ma; Marquina, A. (October 1998). "A Flux-Split Algorithm Applied to Relativistic Flows". Journal of Computational Physics. 146 (1): 58–81. Bibcode:1998JCoPh.146...58D. doi:10.1006/jcph.1998.5955.

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