리만 문제

베른하르트 리만(Bernhard Riemann)의 이름을 딴 리만(Riemann) 문제는 관심 영역에 단일 불연속성을 갖는 조각상수 초기 데이터와 함께 보존 방정식으로 구성된 특정 초기 가치 문제다.리만 문제는 오일러 보존 방정식과 같은 방정식의 이해에 매우 유용하다. 충격과 희박 반응 파동과 같은 모든 성질이 용액의 특성으로 나타나기 때문이다.그것은 또한 오일러 방정식과 같은 몇몇 복잡한 비선형 방정식에 정확한 해답을 준다.null

수치해석에서 리만 문제는 그리드의 불완전성으로 인한 보존법 방정식의 해법에 대해 유한 체적방법으로 자연적으로 나타난다.이를 위해 계산 유체 역학 및 계산 자기유체역학 시뮬레이션에 널리 사용된다.이 분야에서는 리만 해결사를 사용하여 리만 문제를 계산한다.null

선형화된 가스 역학의 리만 문제

간단한 예로 가스 역학에서 1차원 리만 문제의 성질을 조사한다(Toro, Eleuterio F. (1999)Riemann Solvers 및 Fluid Dynamics에 대한 수치적 방법, 페이지 44, 예 2.5)

초기 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\u_{{{}}}}}}}L}\end{bmatrix}}{\text{ for }}x\leq 0\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}{\text{ for }}x>0}$

여기서 x = 0은 선형화된 기체 동적 방정식과 함께 두 개의 다른 상태를 분리한다(유도는 기체 역학 참조).null

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial x}}&=0\\[8pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}&=0\end{aligned}}}$

여기서 우리는 ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a\geq$ 0}을$($를) 일반성의 손실 없이 가정할 수 있다$.$ 이제 위의 방정식을 보수적인 형태로 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle U_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U_{t}+A\cdot U_{x}=0}$:

, where

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&\rho_{0}\\frac{a^{0}}&0}\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 지수는 해당 변수(예: x 또는 t)에 대한 부분파생상품을 나타낸다.null

시스템의 고유값은 시스템 ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \lambda _{1}=-a,\lambda _{2}=a}$의 특성이다$.$그것들은 여기서 음속인 불연속성을 포함한 매체의 전파속도를 제공한다.해당 고유 벡터는

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(1)={\bmatrix}\rho _{0}\\\a\end{bmatrix}},\matbf {e}^{(2)={\nd{bmatrix}\rho _{0}\a\nd{bmatrix}.}$

고유 벡터 단위로 왼쪽$$ 상태 ${\displaystyle u_{}}$ L ${\$을 분해하여 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}를 구한다$.$

${\displaystyle U_{L}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\u_{{}}L}\end{bmatrix}=\alpha _{1}\mathbf {e} ^{(1)+\alpha _{2}\mathbf {e}.}$

이제 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$:

${\displaystyle {\begin}\alpha _{1}&={\frac {a\rho _{L}-\rho _{0}u_{0}{L}{{2a\rho _{0}\[8pt]\alpha _{2}&={\frac {a\rho _{L}+\rho _{0}u_{0}u_{{}}}}}{{}}}}}}}L}{{2a\rho_{0}\end{arged}}}$

유사하게

${\displaystyle U_{R}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\u_{R}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e}^{1}{1}+\beta _{2}\mathbf {e}{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{2}}:$

을 위해

${\displaystyle {\begin{aigned}\beta _{1}&={\frac {a\rho _{R}-\rho _{0}u_{{0}u_{}}}}}R}{{2a\rho _{0}\[8pt]\beta _{2}&={\frac {a\rho _{R}+\rho _{0}u_{0}u_{}}}{{}}}}}}}}R}{{2a\rho_{0}\end{aigned}}}$

${\displaystyle 이}$를 통해 두${\displaystyle }특성{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$= x$$/ {\$displaystyle t$=$$x /$a}$ 사이의 도메인에서 최종 상수 솔루션을 얻는다$.$

${\displaystyle U_{*}={\begin{bmatrix}\rho _{*}\\u_{*}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}}$

전체 도메인 > ${\displaystyle t>0}$의 (부분 상수) 솔루션

${\displaystyle U(t,x)={\begin{bmatrix}\rho(t,x)\u(t,x)\end{bmatrix}={\begin{case}U_{L},&0<t\leq -x/a\\U_{*},&0\leq x /a<t\\\U_{R},&0<t\leq x/a\end{case}}}$

간단한 예이긴 하지만, 여전히 기본적인 성질을 보여준다.가장 주목할 만한 것은 이 특성이 솔루션을 세 개의 영역으로 분해한다는 점이다.이 두 방정식의 전파속도는 음의 전파속도와 같다.null

가장 빠른 특성은 쿠란트-프리드리히스-를 규정한다.컴퓨터 시뮬레이션에서 최대 시간 단계의 제한을 설정하는 Lewy(CFL) 조건.일반적으로 보존 방정식을 더 많이 사용할수록 더 많은 특성이 개입된다.null

참조

• Toro, Eleuterio F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• LeVeque, Randall J. (2004). Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81087-6.

참고 항목

• 계산 유체 역학
• 계산 자기유체역학
• 리만 해결사