그라스만 수

수학물리학에서 헤르만 그라스만(항공수 또는 슈퍼넘버라고도 함)의 이름을 딴 그라스만 번호는 복잡한 숫자에 대한 외부 대수학의 한 요소다.^[1] 1차원 대수학의 특수한 경우는 이중수로 알려져 있다. 그래스만 숫자들은 현재 초대칭이 구축된 초공간을 위한 기초로서 널리 사용되고 있지만, 페르미온의 장에 대한 경로 적분 표현을 표현하기 위해 물리학의 초기 사용을 보았다.

비공식 토론

그래스만 번호는 반커밍 요소 또는 물체에 의해 생성된다. 반공칭 객체의 개념은 수학의 여러 영역에서 발생한다: 그것들은 전형적으로 미분형 형태인 미분형 기하학에서 나타난다. 차등형식은 일반적으로 다지관의 파생상품으로 정의되지만, 기초적인 다지관의 존재를 '잊어버린다'거나 '무시하다'거나 '유아하다'거나 '무시하다'거나 '유아하다'거나 '무시하다'거나 '무시하다'거나 '무시하다'거나 '무시하다'거나 '무시하다'거나 '무시하다'거나 하는 상황을 고려할 수 있다.다른 사전 정의 또는 사전 정의 속성이 없는 경우. 그러한 물체는 대수학, 특히 그라스만 대수학 또는 외부 대수학을 형성한다.

그래스만 숫자는 그 대수학의 요소들이다. "숫자"의 호칭은 그들이 "일반적인" 숫자와 다르게 행동하지 않는다는 사실에 의해 정당화된다: 그것들은 더해지고, 곱해지고, 나누어질 수 있다: 그들은 거의 들판처럼 행동한다. 더 많은 것을 할 수 있다: 사람들은 Grassmann 숫자의 다항식들을 고려할 수 있고, 이것은 홀로모르픽 함수의 아이디어로 이어진다. 그런 기능들의 파생상품을 가져가고, 그 다음에 반파생제도 고려할 수 있다. 이러한 각각의 아이디어는 세심하게 정의될 수 있으며, 일반 수학의 동등한 개념에 합리적으로 잘 대응된다. 비유는 여기서 그치지 않는다: 유클리드 공간의 아날로그가 초공간이고, 다지관의 아날로그가 초공간이고, 다지관의 아날로그가 초공간이며, 리 대수학의 아날로그가 리 초지구브라(Lie superalgebra) 등이 그것이다. 그라스만 숫자는 이 모든 것을 가능하게 하는 기초적인 구성이다.

물론, 어떤 다른 분야나 심지어 링에 대해서도 비슷한 프로그램을 추구할 수 있고, 이것은 실제로 수학에서 광범위하게 그리고 일반적으로 행해진다. 그러나, 슈퍼매틱스는 물리학에 있어서 특별한 의미를 갖는다. 왜냐하면 반커밍 동작은 페르미온의 양자-기계적 동작과 강하게 구별될 수 있기 때문이다: 반커밍은 Pauli 배제 원리의 그것이다. 따라서, 그라스만 숫자와, 그리고 일반적으로 초수학 연구는 물리학에서의 그들의 효용성에 의해 강하게 추진된다.

구체적으로는 양자장 이론, 또는 보다 좁게 제2의 양자화에서는 다분자 양자 상태를 만드는 사다리 연산자와 함께 작용한다. 페르미온의 사다리 연산자는 Pauli 제외 원리에 의해 강제되기 때문에 반드시 대칭파 함수가 있어야 하는 필드 퀀타를 생성한다. 이러한 상황에서 그라스만 번호는 일부(일반적으로 불확실한) 페르미온 수를 포함하는 파동 함수에 즉시 직접 대응한다.

페르미온의 수가 고정되고 유한할 때, 반공관계와 스피너 사이의 명시적인 관계는 스핀 그룹을 통해 주어진다. 이 그룹은 클리포드 대수에서 단위 길이 벡터의 하위 집합으로 정의될 수 있으며, 자연적으로 반 커밍 웨일 스피너로 인수된다. 반 커밋과 스피너로서의 표현은 모두 스핀 그룹에게 자연스러운 방식으로 발생한다. 본질적으로 그라스만 숫자는 스핀에서 발생하는 관계를 버리고 반 커밋에 의한 관계만을 유지하는 것으로 생각할 수 있다.

일반 설명 및 속성

그래스만 번호는 n개의 그래스만 변수 또는 그래스만 방향 또는 슈퍼차지${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \{\theta _{i$에 의해 생성되는 외부 대수의 개별 요소 또는 지점이며, n은 무한일 수 있다. "그래스만 변수"라는 용어의 용어는 역사적이다; 그것들은 변수들이 아니다; 그것들은 단일 대수학의 기본 요소로 더 잘 이해된다. 이 용어는 일차적으로 통합을 정의하는 데 있으며, 통합의 변수가 그라스만(Greasmann) 값이라는 점에서 유래하여, 언어의 남용으로 그라스만(Greasmann) 변수라고 한다. 마찬가지로 방향의 개념은 일반적인 유클리드 공간이 그라스만 가치의 추가 "방향"으로 확장되는 초공간 개념에서 비롯된다. 전하의 호칭은 물리학의 전하 개념에서 비롯되는데, 이는 (노에더의 정리를 통해) 물리적 대칭의 생성자에 해당한다. 인식된 대칭은 단일 그래스만 ${\displaystyle {}_{}}$에 의한 곱셈이 페르미온과 보손 사이의 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ 2 ${\$}}등급으로$$ 교환된다는 것이다. 이는 아래에서 자세히 설명된다.

그래스만 변수는 벡터 공간의 기본 벡터(차원 n)이다. 그들은 한 분야에 걸쳐 대수학을 형성하는데, 비록 사람들은 실제와 같은 다른 분야를 고려할 수 있지만, 그 분야는 대개 복잡한 숫자로 간주된다. 대수학(大學)은 단수 대수학이며, 발전기는 다음과 같이 반 커밍(anti-communcing)한다.

${\displaystyle \theta_{i}\theta_{j}=-\theta_{j}\theta_{i}}$

$\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 복잡한 숫자에 걸친 벡터 공간의 요소들이기$$ 때문에, 정의상 복잡한 숫자로 통근한다. 즉, 콤플렉스 x의 경우, 사람은

$\displaystyle \theta _{i}x=x\theta _{i}.}$

발전기의 사각형은 사라진다.

${\displaystyle }$(${\displaystyle i_{}{}^{}}$i )${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle (\theta _{i}}^{2}=0,$ $이후$ ${\displaystyle i_{}{}_{}{}_{}}$ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle i_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \theta \{i}\i}=-\theta _{$i}=-{$i}.$$}$

즉 그라스만 변수는 0이 아닌 제곱근이다.

형식 정의

Formally, let V be an n-dimensional complex vector space with basis ${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$. The Grassmann algebra whose Grassmann variables are ${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$ is defined to be the exterior algebra of V, namely

${\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V,}$

여기서 $\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge}$은(는) 외장 제품이고 $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$은(는) 직접 합이다. 이 대수학의 개별 원소를 그라스만 수라고 한다. 정의가 확립되면 Grassmann 번호를 쓸 때$$ 쐐기 기호 $∧{\displaystyle \wedge }$를 생략하는 것이 표준이다. 일반 그라스만 번호는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

where ${\displaystyle (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})}$ are strictly increasing k-tuples with ${\displaystyle 1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k}$, and the ${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$ are complex, completely antisymmetric tenk급 흉터 다시, 나는}{\displaystyle \theta_{나는}은 θ,θ j∧은 θ)나는 j θ{\displaystyle \theta_{나는}\wedge고, 더 큰 플레이어와 한정되어 제품, 여기 Λ{\displa의 subspaces의 토대 벡터의 역할을 하는 볼 수 있\theta _{j}=\theta _{나는}\theta _{j}}(나는에 <, j{\displaystyle i<. j과목})θ.ystyl$e \Lambda$ $\}.$

n개의 선형 독립 Grassmann 변수에 의해 생성된 Grassmann 대수에는 차원 2가ⁿ 있다. 이는 위의 합계에 적용된 이항 정리 및 변수의 (n + 1)-폴드 곱셈이 위의 반계명 관계에 의해 사라져야 한다는 사실에 따른 것이다. ${\displaystyle {\lambda k}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$의 치수는 이항 계수인 n 선택 k에 의해 주어진다$$. n = 1의 특수한 경우를 이중수(dual number)라고 하며, 1873년 윌리엄 클리퍼드에 의해 도입되었다.

V가 무한 차원일 경우, 위의 시리즈가 종료되지 않고 하나가 정의된다.

${\displaystyle \Lambda _{\infit }(V)=\mathb {C} \oplus \lambda ^{1}V\oplus \lambda ^{2}V\oplus \cdots.}$

일반적 요소는 지금

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infort }\sum _{i_{1}{1},\cdots,i_{k}}{\frac {1}{1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}\theta _{i_{1}}\cdots \{i_2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

여기서 ${\displaystyle z_{}}$ ${\$는 때때로 body, $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\$는 supernumber $z{\displaystyle }$ ${\displaysty z}$의 soul로 언급된다$.$

특성.

유한차원의 경우(동일한 용어를 사용) 영혼은 영적(nilpotent), 즉 영적(nilpotent)이다.

${\displaystyle z_{S}^{n+1}=0,}$

하지만 무한 차원 사례에서 반드시 그렇지는 않다.^[2]

V가 유한한 차원이라면

${\displaystyle \theta_{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Rightarrow z=c\c\cdots \{1}\n}\cdots \theta_{n},\quad c\in \mathb {C},}$

그리고 만약 V가 무한^[3] 차원이라면

$\displaystyle \theta _{a}z=0\quad \all a\Rightarrow z=0.}$

유한 대 계수 가능한 발전기 집합

문헌에는 일반적으로 n = 1, 2, 3 또는 4의 발전기 수가 유한한 것과 셀 수 없이 무한히 많은 발전기 수가 있는 두 가지 독특한 종류의 슈퍼넘버가 나타난다. 이 두 가지 상황은 처음에 보이는 것처럼 그렇게 관계가 없는 것은 아니다. 첫째, 슈퍼맨ifold의 정의에서 한 변종은 셀 수 없이 무한히 많은 발전기를 사용하지만, 그 다음에는 차원을 효과적으로 적은 한정된 숫자로 줄이는 위상(위상)을 사용한다.^[4][5]

다른 경우에는 한정된 수의 발전기로 시작할 수 있지만, 2차 정량화 과정에서 페르미온이 운반할 수 있는 모든 모멘텀에 대해 각각 하나씩 무한한 발전기의 필요성이 발생한다.

비자발, 필드 선택

복잡한 숫자들은 보통 실제 숫자와는 달리 그라스만 숫자의 정의를 위한 분야로 선택되는데, 이는 결합이나 비자발성이 도입되었을 때 일부 이상한 행동을 피하기 때문이다. * 연산자를 그라스만 번호에 다음과 같은 방법으로 도입하는 것이 일반적이다.

${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$

$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$이(가) 제너레이터인$$ 경우

${\displaystyle (\theta _{i}\theta_{j}\cdots \theta_{k}^{*}=\theta_{k}\cdots \theta_{j}\cdots \cdots \{i}}}}}}}}$

그런 다음,${\displaystyle }z{\displaystyle }$ = ${\displaystyle {}^{}}$ = z ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$z=$z$에 해당하는 Grassmann 숫자 z를 실제 용어로 간주할 수 있으며, $z{\displaystyle {}^{}-{}^{}}$= - z$${\$displaystyle$ z$^{*}=-z}$를 준수하는 값은$$ 가상(super)이라고 한다. 이러한 정의는 Grassmann 수치가 실제 숫자를 기준 영역으로 사용하더라도 잘 수행되지만, 이러한 경우 발생기 수가 4개 미만일 경우 많은 계수가 사라지게 된다. 따라서 관례에 따라 그라스만 번호는 일반적으로 복잡한 숫자에 걸쳐 정의된다.

다른 관습도 가능하다; 위와 같은 것을 DeWitt 규약이라고 한다; 로저스는 비자발성을 위해 for$$ =${\displaystyle {}^{}}i{\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle \the$^{*}=$i\ta }$을(를) 채용한다. 이 관습에서, 진짜 슈퍼넘버들은 항상 실제 계수를 가지고 있는 반면, DeWitt 관습에서, 진짜 슈퍼넘버들은 실제 계수와 가상 계수를 둘 다 가질 수 있다. 그럼에도 불구하고, DeWitt 컨벤션으로 일하는 것이 보통 가장 쉽다.

분석

홀수 수의 그래스만 제품은 서로 반-통제를 변수한다. 그러한 제품은 종종 a-숫자라고 불린다. 균일한 수의 그래스만 변수의 산물은 통근한다(모든 그래스만 숫자로).; 그것들은 종종 c-number라고 불린다. 용어의 남용으로 a-숫자를 nticommunting c-숫자로 부르기도 한다. 이러한 짝수 및 홀수 서브스페이스로의 분해는 $대수$에서 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle \mathbb{Z$} $_{2}}$개의 채점을 제공한다. 따라서 그라스만 알헤브라는 슈퍼 커뮤터티브 알헤브라의 원형적 예다. c-numer는 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Lambda$ $\}$의 하위 algebra를 형성하지만 a-numer는 그렇지 않다는 점에 유의하십시오(그들은 하위 공간이지 하위 공간은 아니다.

그래스만 숫자의 정의는 복잡한 숫자에 대한 분석과 유사하게 수학적 분석을 수행할 수 있게 한다. 즉, 초고형 함수를 정의하고, 파생상품을 정의하며, 통합도 정의할 수 있다. 일부 기본 개념은 이중 숫자에 관한 글에서 더 자세히 개발되었다.

일반적으로 무한한 수의 생성자를 가진 그래스만 숫자로 작업하면 보통 수학적 실체의 초대칭 아날로그를 정의하기가 더 쉽다: 대부분의 정의는 간단해지고, 해당 보소닉 정의로부터 넘겨받을 수 있다. 예를 들어, 그라스만 숫자 한 개를 1차원 공간을 생성하는 것으로 생각할 수 있다. 벡터 공간인 m-차원 초공간은 이 1차원 $of$의 m-폴드 카르테시아 산물로 나타난다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \Lambda.}$ 이것은$$^{[clarification needed]} 기본적으로 m 발생기를 가진 대수학과 동등하지만, 이것은 작업이 필요하다.^{[6][clarification needed]}

스피너 스페이스

The spinor space is defined as the Grassmann or exterior algebra ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$ of the space of Weyl spinors ${\displaystyle W}$ (and anti-spinors ${\displaystyle {\overline {W}}}$), such that the wave functions of n fermions belong in ${\displaystyle \textstyle {\bi$$gwedge }^{n}W}$.

통합

그라스만 숫자에 대한 통합은 베레진 통합(때로는 그라스만 통합이라고도 함)으로 알려져 있다. 페르미 필드에 통합된 경로를 재현하기 위해서는 그라스만 통합의 정의는 다음과 같은 특성을 가질 필요가 있다.

• 직선성

$[\displaystyle \int \,[af(\theta )]+bg(\theta )]\,d\d\d\theta =a\int \,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta }$

• 부분집적식

$\\displaystyle \int \왼쪽[{\frac {\bask }{\put \theta }}}}{\put \theta }\\,d\theta =0.theta =0.}$

Moreover, the Taylor expansion of any function ${\displaystyle f(\theta )=A+B\theta }$ terminates after two terms because ${\displaystyle \theta ^{2}=0}$, and quantum field theory additionally require invariance under the shift of integration variables ${\displaystyle \theta \to \theta +\eta$$}$ 그런$$ 것

$\d\theta f(\theta )=\int d\theta(A+B\theta )\equiv \int d\theta(A+B\eta )+B\theta.}$

이 조건을 만족하는 유일한 선형 함수는 상수(컨벤션적으로 1) 곱하기 B이므로 Berezin은 정의했다^[7].

$(A+B\theta )\equiv B.}$

이에 따라 Grassmann 수량의 통합에 대한 다음과 같은 규칙이 생성된다.

• $\displaystyle \int \,1\,d\theta =0}$
• $\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1}$

따라서 우리는 그라스만 숫자의 통합과 분화의 운영이 동일하다고 결론짓는다.

양자장 이론의 경로 적분 공식에서 페르미온 항공명장에 대해서는 Grassmann 수량의 다음과 같은 가우스 적분(Gaussian 적분)이 필요하며, A는 N × N 행렬이다.

${\displaystyle \int }$ ${\displaystyle \exp }$[${\displaystyle }$-${\displaystyle {}^{}}$T ${\displaystyle A^{}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\eta }$ = ${\displaystyle det}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \int \exp \exp$ \eprete$[-\theta ^{\rm{T}A\eta$ \right$]\,d\\$eta =\$deta$A$}$

규약 및 복잡한 통합

여러 그래스만 숫자에 걸쳐 통합할 때 모호성이 발생한다. 가장 안쪽 적분 첫 번째 수율을 수행하는 규칙

$[\displaystyle \int d\theta \int d\eta \;\eta \theta =+1]}$

일부 저자들은 또한 운영자의 에르미트적 결합과 유사한 복잡한 결합을 정의한다.^[8]

${\displaystyle (\theta \eta )^{*}\equiv \equiv \equiv \eta ^{*}\theta ^{*}=-\the ^{*}\theta ^{*}\eta ^{*}.}$

추가 컨벤션과 함께

${\displaystyle \theta ={\fract _{1}+i\theta _{2}}:},\propert ^{*}={\fraca _{1}-i_{2}}:}}}, {\preta _{1}-{\sqrt}}}}},},},},}$

우리는 θ과 θ*를 독립된 그라스만 숫자로 취급하고 채택할 수 있다.

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,(\theta \theta ^{*}=1)}$

따라서 가우스 적분은 다음과 같이 평가한다.

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,e^{-\theta ^{*}b\theta }=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1-\theta ^{*}b\theta )=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1+\theta \theta ^{*}b)=b}$

extraθ*의 추가 인자는 일반 가우스 인자와 마찬가지로 효과적으로 (1/b)의 인자를 도입한다.

${\displaystyle \int d\theta ^{*d\theta \,\theta ^{*}\,e^{-\the ^{*b\theta }=1.}$

단위성을 입증한 후, 우리는 고유값 b를_i 가진 은둔자 행렬 B를 포함하는 일반적인 가우스 적분을 평가할 수 있다.^[8][9]

${\displaystyle \left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}B_{ij}\theta _{j}}=\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}b_{i}\theta _{i}}=\prod _{i}b_{i}=\det B.}$

행렬 표현

그래스만 숫자는 행렬로 나타낼 수 있다. 예를 들어 두 개의 그래스만 숫자로 $생성$된 그래스만 대수 algebra ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ $\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 이 그래스만 숫자는 4×4 행렬로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \theta_{1}={\begin{bmatrix}0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0\end{bmatrix}}\qquad\theta _{2}={\begin{bmatrix}0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0\\0&, -1&, 0&, 0\end{bmatrix}}\qquad\theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&, 0&a.융점, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0\end{bmatrix}}.}$

일반적으로 n개의 발전기에 대한 Grassmann 대수학은 2ⁿ × 2 제곱ⁿ 행렬로 나타낼 수 있다. 물리적으로 이러한 행렬은 직업 번호 기준으로 동일한 페르미온의 힐버트 공간에 작용하는 운영자를 키우는 것으로 생각할 수 있다. 각 페르미온의 점령 번호는 0 또는 1이므로, 2개의ⁿ 가능한 기본 상태가 있다. 수학적으로 이러한 행렬은 그라스만 대수 자체에서 왼쪽 외부 곱셈에 해당하는 선형 연산자로 해석할 수 있다.

일반화

그라스만 수에는 몇 가지 일반론이 있다. 여기에는 다음과 같은 N 변수 측면에서 규칙이 필요하다.

${\displaystyle \theta _{i_{1}}\theta _{2}}\cdots \theta _{i_{i_{{i_{}}}N}+\theta _{i_{N}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0}$

모든 순열에서 지수를 합산하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle(\theta _{i})^{{{}}}N}=0\,}$

일부 N > 2의 경우. N > 2인 N-tensor의 초결정제 계산과 2보다 큰 힘에 대한 다항식 변별제 계산에도 유용하다. 또한 N은 무한대 경향이 있기 때문에 제한적인 경우가 있는데, 이 경우는 숫자에 대한 분석 기능을 정의할 수 있다. 예를 들어, N = 3인 경우 그래스만 번호는 행렬로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \theta ={\put{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0\end{bmatrix}\qquad }}$

따라서 ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$3 = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \theta$^{$3}=0$ 두 그라스만 숫자의 경우 행렬의 크기는 10×10이 된다.

예를 들어, 두 개의 그래스만 변수가 있는 N = 3에 대한 규칙은 다음을 암시한다.

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{1}{1}\theta _{2}+(\theta _{2}^{1}=0}$

라는 것을 보여줄 수 있도록

${\displaystyle \theta _{1}(\theta_{2})^{2}=-{\frac {1}{1}2}}\theta _{2}\theta _{2}=(\theta _{2})^{1}{1}}}}$

등등

${\displaystyle (\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2})^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2}(\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},}$

2×2×2 텐서의 초결정성에 대한 정의를 다음과 같이 제시한다.

${\displaystyle (A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\psi _{2})^{2}.}$

참고 항목

• 그라스만어
• 헤르만 그라스만(언어학자 및 수학자)
• 초공간
• 외부 대수

메모들

참조

• DeWitt, B. (1984). Supermanifolds. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42377-5.

• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). An introduction to quantum field theory (5. (corrected) printing. ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 9780201503975.

• Rogers, Alice (2007a). Supermanifolds: Theory and Applications (PDF). World Scientific. Chapter 1. doi:10.1142/1878. ISBN 978-981-3203-21-1.

• Rogers, Alice (2007). Supermanifolds: Theory and Applications. World Scientific. ISBN 978-981-3203-21-1.