파인만 파라메트리제이션

파인만 파라메트리제이션은 하나 이상의 루프를 가진 파인만 다이어그램에서 발생하는 루프 통합을 평가하는 기법이다.그러나 순수 수학 영역에서도 통합에 유용할 때가 있다.

공식

리처드 파인만은 다음과 같이 보았다.

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\\왼쪽[uA+(1-u)B\오른쪽]^{2}}:$

A와 B를 연결하는 라인 세그먼트에 0이 포함되지 않는 한 모든 복잡한 번호 A와 B에 유효하다.이 공식은 다음과 같은 통합을 평가하는 데 도움이 된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dp}{A(p)B(p)}}&=\int dp\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}du\int {\frac {dp}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}.\end{정렬}}}$

만약 A(p)와 B(p)가 p의 선형 함수라면, 마지막 적분은 치환법을 사용하여 평가할 수 있다.

보다 일반적으로 Dirac 델타 함수 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$을(를) 사용하는 방법$:$^[1]

${\displaystyle {\begin{aigned}{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\frac (1-\sum _{k=1}u_{k}}}\};}{\sum _{k=1}u_{k}k}}}}}}}A_{k}\오른쪽)^{n}}\&=(n-1)!\int _{0}^{1}^{1}du_{1}\int _{0}^{1-u_{1}{1}{1}}\cdots \int \{0}^{0}^{1-u_{n-2}}:du_{n-1}{n-1}{n-1}{1}\frac {1}{\왼쪽[]A_{1}+u_{1}(A_{2}-A_{1})+\dots +{n-1}(A_{n}-A_\1}\right]^{n}}}.\end{정렬}}}$

이 공식은 0이 볼록한 선체에 포함되지 않는 한 모든 복잡한₁ 숫자 A,... A에_n 유효하다.

더욱 일반적으로, $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle n}$ ${\$$displaystyle {\re}(\alpha_{j})0}$에 대해 다음과 같이 )> ${\$$displaystyle$n${\\leq j\leq n}$을(를) 제공한다면$:$

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n}}}}={\frac {\Gamma (\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}}\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;u_{1}^{\alpha _{1}-1}\cdots u_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\오른쪽)^{\sum _{k=1}^{n}\알파 _{k}}}}}$

$여기$서 감마 함수 function ${\displaystyle \Gamma }$이(가) 사용되었다$$.^[2]

파생

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}={\frac {1}{A-B}}\왼쪽({\frac {1}-{B}-{{1}-{A}\오른쪽)={\frac {1}{A-B}\int _{B}^{B}{\frac {dz}{2}}.}$

이제 대체물을 이용해 선형적으로 변형하면

${\displaystyle u=(z-B)/(A-B)}$ which leads to ${\displaystyle du=dz/(A-B)}$ so ${\displaystyle z=uA+(1-u)B}$

원하는 결과를 얻는다:

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\\왼쪽[uA+(1-u)B\right]^{2}}.}$

더 일반적인 경우에서 파생은 슈윙거 파라메트리제이션(Schwinger parametrization)을 사용하여 매우 효율적으로 수행될 수 있다.예를 들어 Feynman 파라메트리화 형식을 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{A\mathrm{}}_{}}{}}$.${\displaystyle \frac{}{}}$. ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$ ${\$$A_{n$ 먼저 분모의 모든 요소를 Schwinger 파라메트리화 형태로 다시 표현한다.

${\displaystyle {\frac {1}{A_{i}}}=\int _{0}^{0}^{}ds_{i}\, e^{-s_{i}A_{i}\ \{\text{{}i=1,\ldots,n}$

다시 쓰고,

${\displaystyle {\frac {1}{1}{1}\cdots A_{n}}}=\int_{0}^{0}^{\nds_{1}\cdots \int_{0}^{0}{0}^{n}\put \put(-\-\{1}A_{1}+cdots_{n}+cdcdots_{n}}).A_{n}\오른쪽)\오른쪽).}$

그런 다음 다음과 같은 통합 변수 변경을 수행한다.

${\displaystyle \cHB =s_{1}+...+s_{n}}$

${\displaystyle \i}={\frac {s_{i}{s_{1}+\cdots +s_{n};\i=1,\ldots,n-1,}$

얻으려면,

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}\int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp \left(-\alpha \left\{\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}\오른쪽\}\오른쪽).}$

where ${\textstyle \int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}}$ denotes integration over the region ${\displaystyle 0\leq \alpha _{i}\leq 1}$ with ${\textstyle \sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}\leq 1}$.

다음 단계는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 통합을$$ 수행하는 것이다.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp(-\alpha x)={\frac {\partial ^{n-1}}{\partial (-x)^{n-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }d\alpha \exp(-\alpha x)\right)={\frac {\left(n-1\right)!}{x^{n}}}.}$

where we have defined ${\displaystyle x=\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)$$A_{n}}$

이 결과를 대체해서, 우리는 초자연적인 형태를 취하게 되고,

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}=\왼쪽(n-1\오른쪽)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}{\frac {1}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}]^{n}},}$

그리고, 추가적인 적분을 도입한 후에 파인만 파라메트리제이션의 최종 형태 즉,

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}=\왼쪽(n-1\오른쪽)!\int _{0}^{1}d\cdots \int _{0}^{1}d\int _{0}d\int _{n}{n}{\frac {\frac(왼쪽 1-\incdots _{1}\cdots -\n}\right)}}{{{n1}A_{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n}}}{n}^{n}}}}.}$

마찬가지로 가장 일반적인 사례의 파인만 파라메트리제이션 형태를 도출하기 $$는 $\frac{1{}_{}^{}}{}$ $\frac{{A\mathrm{}}_{}^{}}{}$ $\frac{{{}_{}}_{}^{}}{}$ $\frac{{{\alpha \mathrm{}}_{}}_{}^{}}{}$1. .$\frac{}{}$. $\frac{{}_{}^{}}{}$ $\frac{n_{}^{}}{}$ $\frac{{{\alpha n}_{}}_{}^{}}{}$ ${\$$A_{n}^{\alpha _{n}}}$ 분모에$$ 있는 인자의 서로 다른 슈윙거 파라메트리제이션 형식, 즉,

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}}={\frac {1}{1}{1}-1\right!}}}\int _{0}^{{0}^{{0}^{1}\,s_{1}^{1}^{1}-e^{-s_{1}A_{1}}={\frac {1}{\Gamma (\alpha _{1})}}{\frac {\partial ^{\alpha _{1}-1}}{\partial (-A_{1})^{\alpha _{1}-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }ds_{1}e^{-s_{1}A_{1}:{1}\오른쪽)}$

이전 사건의 전철을 정확히 밟은 다음 단계로 넘어가는 거야

대체형식

때로는 유용한 파라메트리제이션의 대체 형태는

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{{0}^{\frac {d\lambda }{{\\왼쪽[\lambda A+B\오른쪽]^{2}}.}$

이 형태는 변수 $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$ -$){\displaystyle \lambda =u/(1-u)}$의 변화를 사용하여 도출할 수 있다$.$ $제품{\displaystyle }$ 규칙을 ${\displaystyle \mathrm{사용}}$하여${\displaystyle }$d ${\displaystyle d}$ = d${\displaystyle u}$/ ( 1${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$ $)$ 2 {\$displaysty$d$\lambda =du$/(1-u$)^{2$ 그$$후

${\displaystyle {\reasoned}{\frac {1}{AB}}&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{(1-u)^{2}}}{\frac {1}{\left[{\frac {u}{1-u}}A+B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}}}\\\end{aligned}}}$

더 일반적으로 우리는

${\displaystyle {\frac {1}{A^{m}B^{n}}={\frac {\frac {\Gamma(m+n)}{\\감마(m)\감마(n)}}\int _{0}^{0}^{\inflat }{\frac {\lambda ^{m-1d\lambda ^}{\lambda A+B\right]^{n+m}}}}}}}}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은 감마함수다.

이 형식은 헤비쿼크 유효 이론$($HQET)과 같이 선형 분모 $A{\displaystyle }$ ${\$디스플레이 $스타일$ A$}$과 2차$$ 분모 $B{\displaystyle }$ ${\디스플레이$ 스타일 B$}$을(를) 결합할 때 유용할 수 있다.

대칭형식

파라메트리제이션의 대칭 형식을 사용하는 경우가 있는데, 여기서 적분은 대신$$$[{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ 간격으로 수행되어 다음과 같은 결과를 초래한다.

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=2\int _{-1}^{1}{\frac {du}{\왼쪽[(1+u)A+(1-u)B\right]^{2}}.}$

참조