로렌츠 스칼라

상대론적 물리학 이론에서 로렌츠 스칼라는 어떤 로렌츠 변환 하에서 불변성인 스칼라를 평가하는 이론의 항목에서 형성된 표현이다. 로렌츠 스칼라는 벡터의 스칼라 제품 또는 이론의 수축 텐서 등에서 생성될 수 있다. 벡터와 텐서의 구성요소는 일반적으로 로렌츠 변환에 따라 변경되지만 로렌츠 스칼라는 변경되지 않는다.

로렌츠 스칼라는 항상 수학적인 의미에서 불변성 스칼라로 즉시 보여지는 것은 아니지만, 그 결과 스칼라 값은 고려된 이론의 기반이 되는 벡터 공간에 적용되는 어떤 기준 변환에서도 불변한다. Minkowski spacetime의 간단한 로렌츠 스칼라는 두 개의 고정 이벤트의 스페이스타임 거리("차이의 길이")이다. 이벤트의 "위치"-4 벡터는 서로 다른 관성 프레임 사이에서 변화하지만, 해당 로렌츠 변환 하에서 그 간격 시간은 불변으로 유지된다. 로렌츠 스칼라의 다른 예로는 4-벨로시티(아래 참조)의 "길이" 또는 일반상대성이론(General relative)의 한 점의 리치 만곡률 텐서(Ricci curtain)가 있는데, 이는 거기서 리만 곡률 텐서(Riemann 곡률 텐서)의 수축이다.

특수 상대성에서의 단순 스칼라

위치 벡터의 길이

특수 상대성에서 4차원 공간 시간에서의 입자의 위치는 다음과 같다.

${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}$

여기서 $x{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {v} t}$은 입자의 3차원 공간에서의 위치, $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은 3차원 공간에서의 속도, c ${\displaystyc}$은 빛의 속도다.

벡터의 "길이"는 로렌츠 스칼라(Lorenzz scalar)이며 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle x_{\mu }x^{}}}\eta _{\mu \nu }x^{}}{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \\stackrel {def}{}}}}}}{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\c\c\tauthatc\taugtauthot\tau\tau\tau\tau\ta$

여기서 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau}$은(는) 입자의 나머지 프레임에서 클럭으로 측정한 적절한 시간이며$$, Minkowski 메트릭은 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

이것은 시간과 같은 측정법이다.

종종 민코프스키 측정지표의 대체 서명이 사용되는데, 그 서명은 그것들의 기호가 거꾸로 되어 있다.

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$.

이것은 공간과 같은 미터법이다.

Minkowski 메트릭에서 공간과 같은 간격 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$은(는) 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}}$.

우리는 이 글의 나머지 부분에 공간 같은 민코프스키 측정법을 사용한다.

속도 벡터의 길이

스페이스타임의 속도는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right)}$

어디에

${\displaystyle \gamma \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{e}}}$ ${\displaystyle f\stackrel{}{}\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{1}}\frac{\sqrt{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{\sqrt{v\frac{\mathbf{}}{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{\cdot }{}}}{}}$ v ${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{1\mathbf{}}{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{c\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}{}}$ ${\$

4폭풍의 크기는 로렌츠 스칼라,

${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,}$.

따라서 c는 로렌츠 스칼라다.

가속 및 속도의 내부 생산물

4 가속도는 다음과 같다.

${\displaystyle {\mu }^{}{}^{}\stackrel{}{}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{e}}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mu d}}{}}$ ${\$}}\$over$d\$tau$ $\}\}\}\}\}\}.$

4 가속도는 항상 4 가속도에 수직이다.

${\displaystyle 0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }}$.

따라서, 우리는 스페이스 타임에서의 가속을 단순히 4-속도 회전으로 간주할 수 있다. 가속과 속도의 내생물은 로렌츠 스칼라로 0이다. 이 회전은 에너지 절약의 표현일 뿐이다.

${\dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }$

$여기$서 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은(는) 입자의 에너지$,$ F {\$displaystyle$ \$mathbf {F}$은$($는) 입자의 3-강력이다.

에너지, 휴식량, 3-모멘텀, 4-모멘텀부터 3-속도

입자의 4-모멘텀은

${\displaystyle p^{\mv^{}=\lift(\gamma mc,\gamma mc, {v} \right)=\left(\gamma mc,\mathbf {p} \right)=\ef({E \over c}\mathbf {p}\p}\right)}\righatmathbf)}\rig)}$

여기서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은(는) 입자 정지 질량이고, $p{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) 3-공간에서 모멘텀이며,

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}\,}$

입자의 에너지다.

입자의 에너지 측정

4-속도 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$과 3-속도 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}.$$두 번째 입자의 나머지 프레임에서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 있는 $u{\displaystyle }$ ${\displaystystyle u}$의 내생산은 첫 번째 입자의 에너지에 비례한다$$.

${\displaystyle p_{\mu }u^{\mu }=-{E_{1}}}}$

여기서 첨자 1은 첫 번째 입자를 나타낸다.

두 번째 입자의 나머지 프레임에서는 관계가 사실이기 때문에 어떤 기준 프레임에서도 사실이다. ${\displaystyle E_{}}$ ${\$두 번째 입자의 틀에서 첫 번째 입자의 에너지인 로렌츠 스칼라(Lorenz scalar)이다. 그러므로

${\displaystyle {E_{1}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{1}c^{1}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}}:$

${\displaystyle {모든\mathrm{}}_{}}$ 관성 기준 프레임에서, $여기$서 E 1 ${\$}는 여전히$$ 두 번째 입자의 프레임에서 첫 번째 입자의 에너지 입니다.

입자의 나머지 질량 측정

입자의 나머지 프레임에서 운동량의 내부 생산물은

${\displaystyle {}_{}{p\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ p ${\displaystyle {\mu }^{}}$=${\displaystyle }$- (${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c{}^{}}$) 2 $displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=-(mc)^{2}\,}$.

따라서 나머지 질량(m)은 로렌츠 스칼라(Lorenz scalar)이다. 그 관계는 내부 제품이 계산되는 프레임과는 무관하게 참으로 남아 있다. 대부분의 경우 상대론적 질량과의 혼동을 피하기 위해$$ $rest mass$를 m 0 {\displaystyle m_${0$}로 표기하는데, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이다.

입자의 3-모멘텀 측정

참고:

${\displaystyle \left({\frac {p_{\mu }u^{\mu }}{c}}\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\ri$$ght)(mc)^{2}=\mcdbf{v}{{1}^{$1}{{1}\$mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p}$$_{1}.$

두 번째 입자의 틀에서 측정된 입자의 3-모멘텀 크기의 제곱은 로렌츠 스칼라다.

입자의 3단 측정

두 번째 입자의 프레임에 있는 3속은 두 개의 로렌츠 스칼라로 구성될 수 있다.

${\displaystyle v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={{\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}} \over {E_{1}^{2}}}c^{4}}$.

더 복잡한 스칼라

Scalars may also be constructed from the tensors and vectors, from the contraction of tensors (such as ${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$), or combinations of contractions of tensors and vectors (such as ${\displaystyle g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }}$).

참조

• Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1975). Classical Theory of Fields (Fourth Revised English ed.). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.